【专题复习】折叠问题的处理 （含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
立体几何折叠问题解决
一．学习目标
折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形，再对立体图形的位置和数量关系进行论证和计算，考察由此产生的位置关系和数量关系，这类问题由于涉及到平面与空间的动态变化，对空间想象能力，识图能力及分析能力要求均较高，是近年来高考的热门题型。
处理折叠问题，要先画好平面图形，并且注意平面图形与立体图形的对照使用，这样有利于分析元素间的位置关系和数量关系．
要注意分析折叠前后位置关系及数量关系的变化。一般位于折线一边的点、线间的位置关系和数量关系不变，位于折成两边的点、线间的位置关系，数量关系要发生变化：不变的关系，要注意在平面图形中处理；变化的关系，一般在立体图形中处理。
二．基础知识
第一步：看两图
两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形，，并且注意平面图形与立体图形的对照使用，这样有利于分析元素间的位置关系和数量关系，对比两个图形，思考下面的问题；
①折痕是哪些直线？折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素，是顺利解决后面问题的关键，要注意分析折叠前后位置关系及数量关系的变化．一般位于折线一边的点、线间的位置关系和数量关系不变，位于折成两边的点、线间的位置关系，数量关系要发生变化．不变的关系，要注意在平面图形中处理；变化的关系，一般在立体图形中处理；
②折叠前后哪些点重合了？重合的点往往意味着重合的线段，即立体图形中明明是一条线段，但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。
③折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间？
第二步：挖掘折叠特征
折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的，它是解题的一个重要已知条件，常见的折叠特征有以下三种：
①将平面图形折叠成某个度数的二面角，比如直二面角，这种情况应注意分析找到这个二面角的平面角，在立体图中标出；
②使其中几个点重合，这种情况我们就应该标出哪些点重合的；比如若A，B两点重合记为点P的话，我们可以在图上标记为P(A，B)，这样便于翻折前后的对比；
③使指定的两个点的距离是某值，那么我们应该连接相关的点；
第三步：结合问题，寻找不变量
通过前两步，我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解，对翻折得到的立体图形的空间形态也有了全方位的认识，那么最后一步，就是结合问题，充分利用翻折前后图形的性质来寻找解题的途径，而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键，常见的不变量有“不变的垂直关系，不变的长度关系，不变的平行关系”这三类，当解题受阻时就应该思考“哪些量是不变的？”，可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙！
平面图形折叠成空间图形，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况。主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角（从而观察是否存在线面垂直），然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段翻折后不在同一个平面上的性质发生变化．
三．典例分析与性质总结
1.不变的垂直关系
例1：如图，是正方形，是的中点，将和沿和折起，使与重合，记与重合后的点为，求
(1)求证：；(2)二面角的度数
练习1.如图，菱形的对角线AC与交于点O，，，点分别在
上，，交于点；将沿折到的位置，
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
2.不变的长度关系
例2：把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在四点所在的球面上，与两点之间的球面距离为（　　）
A.
B.
C.
D.
练习2：将边长为的正方形沿对角线AC折起，使得，则三棱锥的体积是（
）
A.
B.
C.
D.
3.不变的平行关系
例3：已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，如图所示，求证：
练习3：如图，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点，将沿折成三棱锥以后，与所成角的度为
（
）
A．90°
B．60°
C．
（D）
4.折叠特征分析
例4：如图，在矩形中，点分别在线段上，；沿直线
将翻折成，使平面平面，求二面角的余弦值；
练习4：正方形的边长是2，分别是和的中点，将正方形沿折成直二面角（如图
所示）；为矩形内的一点，如果，和平面所成角的正切值为，
那么点到直线的距离为_________。
四．变式演练与提高
1.如图，在等腰梯形中，，，为的中点，将与分别沿向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
2.如图，四边形中，，，，，将沿折起，使平面，构成几何体，则在几何体中，下列命题中正确的是(
)
A.平面
B.平面
C.平面
D.平面
3.如图1，在直角梯形中，，，，是的中点，
是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(I)证明：平面；
(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.
4.矩形中，，是的中点，沿将折起到的位置，使，分别是的中点．
(1)求证：；
(2)设，求四棱锥的体积．
5.如图1，正方形的边长为4，，，把四边形沿折起，
使得底面，是的中点，如图2.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
五．反思总结
1.确定翻折前后变与不变的关系
画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.
2.确定翻折后关键点的位置
所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.
六．课后作业
1.设是直角梯形两腰的中点，于(如图)．现将沿折起，使二面角为45°，此时点在平面内的射影恰为点，则的连线与所成角的大小等于（
）.
2.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（
）
A．是定值
B．点在某个球面上运动
C．存在某个位置，使
D．存在某位置，使平面
3.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①；②是等边三角形；③三棱锥是正三棱锥；④平面平面；其中正确的是(
)
A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
4.如图1，在四边形中，，，，，，是
上的点，，为的中点，将沿折起到的位置，使得，如图
2.
求证：平面平面；求二面角的余弦值．
5.如图1，在中，，，点在上，交于点，交于点；沿将翻折成，使得平面平面；沿将翻折成，使得平面平面，如图2.
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的正切值．
6.如图1，平面四边形关于直线对称，，，，把沿折
起(如图2)，使二面角的余弦值等于。对于图2，
(1)求的长，并证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
7.如图1，已知为正三角形，为的中点，；现沿将折起，折起过程
中点仍然记作点，使得平面平面，如图2.
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成角(锐角)的余弦值．
8.如图1，在直角梯形中，，，，，是
的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图2．
（I）证明：平面；
（II）若平面平面，求平面与平面的夹角的余弦值．
9.如图，已知在长方形中，，分别是边上的点，且，于，为AB的中点；把长方形沿直线折起，使得平面面，且直线与平面所成的角为30°.
(1)求异面直线所成角的余弦值；
(2)求二面角的余弦值．
10.如图
1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，得到如图2所示的几何体．
(1)求证：平面；
(2)若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值.
www.
七．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析：
（1）由翻折过程可知，，故；
（2）取中点，连接，在原平面图形中，，，翻折后重合为，
故，可知，则是二面角的平面角，设正方形边长为
，得，，，则二面角的度数为30°
练习1解析：(1)证明：由已知得，
又由，得，故；因此，从而
由，，得
由，得；所以，
于是，故，所以平面.
(2)如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，故，，．
设是平面的法向量，
则
即
所以可取．
设是平面的法向量，同理可取．
于是
故.
因此二面角的正弦值是
例2：解析：
分析：此题折叠特征是直二面角，哪个角是它的平面角？不难看到，，这两组
垂直关系是不变的，故就是二面角的平面角，则，那么如何确定四点所在
的球心呢？找不变量！
通过比较两图可以发现，折叠前四点是共面的，翻折后不再共面，这是变化的量，而正方体中心到四个顶点的距离是不变的，即在折叠前后中始终有，所以就是翻折后
四点所在球的球心，易得该球半径，而与两点在球中所对球心角为，球面距离，故选B.
练习2解析：画出翻折前后的图形，可知不变量有和，，
而，可得，则，三棱锥体积
例3：解析：
要证明，只需证明BF与内的一条直线平行即可，而比较翻折前后的图形可以发现，这个平行关系是不变量，命题得证；
解：分别是正方形的边的中点，则且；四边形是平行四边形，所以，所以
练习3解析：画出折叠后的立体图形，因为三点重合为，翻折过程中不变量是
，即，故与所成角就是，其大小为60°
例4：解析：
取线段的中点，连结，
因为及是的中点，所以，
又因为平面，故平面.
如图，建立空间直角坐标系，则，，，
故，．
设为平面的一个法向量，
所以
令，则．
又平面的一个法向量，
故，所以二面角的余弦值为.
练习4解析：由，可知在平面内的射影在的平分线上，而，故的射影应该在原正方形的对角线上；
设在平面内的射影是，即，由面面垂直的性质定理可知，必在上，且
，和平面所成角即，，得，故到直线的距离为
（四．变式演练与提高）
1.解析：
提示：由已知易得均为正三角形，而翻折后重合于点，
故三棱锥实际为正四面体，计算可得外接球半径，
2.解析：
解析：由已知，，又平面，所以
从而；又，故.
所以平面平面.
3.解析：
(I)在图1中，因为，是的中点，，所以，即在
图2中，，从而平面，又，所以平面；
(II)由已知，平面平面，，所以平面，即是四棱锥
的高，由图1可知，，平行四边形的面积，从而四棱锥的体积为，由，得.
4.解析：
(1)证明：矩形中，因为分别是的中点，
所以，所以
因为，所以，所以CD⊥平面，所以
(2)因为，所以，，
在等腰直角三角形中，且
因为且不平行，所以
所以几何体的体积
5.解析：
(1)证明：连接，因为，底面，
所以底面，所以，
易知四边形为菱形，所以，
所以平面.
(2)由(1)知四边形为菱形，，，
由图知，，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则所以
令，得，所以平面的一个法向量为
易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，由图易知为锐角，所以
（六．课后作业）
1.解析：
折叠后图形如图所示：易知，，所以.
取的中点，连接，
因为，，
，，是的中点
所以，，所以
因为，所以，即连线与成90°角．
2.解析：
取中点，连接，则，，∴平面平面，
∴平面，故D正确；
由，为定值，为定值，由余弦定理可得
，∴是定值，故A正确；
∵是定点，∴是在以为圆心，为半径的圆上，故B正确；
∵在平面中的射影为，与不垂直，∴存在某个位置，使错误，故选C．
3.解析：
由题意知，平面，故，①对；为等腰直角三角形斜边上的高，平面平面，所以，是等边三角形，②对；易知，又由②知③对；由①知④错．故选B.
4.解析：
(1)证明：如图
3，连接.
∵在四边形中，，，
，，，是上的点，，为的中点，
∴，，，，
∴，∴，∴.
∵，，
∴，∴.
∴平面，∴平面平面.
(2)如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，
，
设平面的法向量为，则
即
取，得．
易知平面的一个法向量，则
由图可知二面角是钝角，∴二面角的余弦值为
5.解析：
(1)证明：因为，所以
因为平面平面，，所以平面；
同理平面；
所以，从而
所以平面，从而平面
(2)法一：因为，，
所以，，，
如图，过作，垂足为，连接.
由(1)知平面，可得，
所以面，所以；所以即二面角的平面角．
在中，由等面积法易得，
所以在中，可得.
过作，垂足为，连接
同理可得即二面角的平面角，且
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正
切值为.
法二：易知两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，解得
所以平面的一个法向量为．
同理平面的一个法向量为
设二面角的大小为，易知为锐角，
则，
从而可得，即二面角的正切值为.
6.解析：
(1)取的中点，连接，由、，得，，∴就是
二面角的平面角，∴，
中，，，，
由，，∴，
，∴，即，，
∴平面.
(2)法一：由(1)知平面，∴面平面，作，则，
∴是与平面所成的角，.
法二：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则、、．
设平面的法向量为，则，得，取，
则，于是与平面所成角的正弦即为.
7.解析：
(1)证明：在正三角形中，取的中点，连接，此时为的中点，所以，因为，所以，
在折起的图形中，因为平面平面，所以平面，所以.
所以平面，所以
(2)由(1)的证明可知两两垂直，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正三角形边长为4，则，，，，．
设平面的法向量为，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量为．
显然为平面的一个法向量．
设平面与平面所成角(锐角)的大小为，则；所以平面与平面所成角(锐角)的余弦值为.
8.解析：
（I）在图1中，因为，，是的中点，，所以，即在图
2中，，，从而平面，又，所以平面.
（II）由已知，平面平面平面，又因为，，所以是二面角
的平面角，所以，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为，，所以，，，，得，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为，
则，得，取，
，得，取，
从而，即平面与平面夹角的余弦值为.
9.解析：
由已知条件可得两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，，可得，，．
又，所以与平面所成的角为，
又，，所以，，从而易得，
(1)因为，，
所以.所以所成角的余弦值为.
(2)易知平面的一个法向量．
设是平面的法向量，易知
所以
即；令，得．
设二面角的大小为，易知为锐角，所以
所以二面角的余弦值为.
10.解析：
(1)证明：因为平面平面，，
所以平面，所以.
又因为折叠前后均有，所以平面
(2)由(1)知平面，所以二面角的平面角为.
又平面，所以.
依题意；因为，所以
设，则
依题意，所以
即，解得；故而，，
以为坐标原点，射线分别为轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，所以，
由(1)知平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
由，得到
令，得，；所以为平面的一个法向量．
所以
由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为
.
.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)