北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试卷（word版含答案）

第一单元《勾股定理》测试卷1
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列各组数据中，不是勾股数的是(　　)
A．3，4，5
B．7，24，25
C．8，15，17
D．5，6，9
2．在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为(　　)
A．7
B．8
C．9
D．10
3．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为(　　)厘米．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是(　　)
A．a＝2，b＝3，c＝4
B．a＝3，b＝4，c＝5
C．a＝4，b＝5，c＝6
D．a＝7，b＝8，c＝9
5．在Rt△ABC中，若三边长分别是a、b、c，则下列不可能成立的结论是(　　)
A．a＝3，b＝4，c＝5
B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
C．a：b：c＝1：1：2
D．∠A+∠B＝∠C
6．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为(　　)
A．36
B．9
C．6
D．18
7．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为(　　)
A．(a+b)2＝c2
B．(a﹣b)2＝c2
C．a2+b2＝c2
D．a2﹣b2＝c2
8．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为(　　)
A．25
B．7
C．25或7
D．25或16
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
10．如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，且AB＝13，BC＝15，AC＝14，则点O到边AB的距离为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上
11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝　
　．
12．在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，则AB2＝　
　．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的边AB、BC、AC向外作等腰Rt△ABF，等腰Rt△BEC和等腰Rt△ADC，记△ABF、△BEC，△ADC的面积分别是S1，S2，S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是　
　
14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是　
　cm2．
15．斜边上的中线长为5的等腰直角三角形的面积为　
　．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则△ABD的面积为　
　．
17．如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝　
　．
18．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为　
　cm2．
三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，求证：△ABC是直角三角形．
20．某中学有一块四边形空地ABCD，如图现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝16m，BC＝25m，CD＝15m，AD＝12m．若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
21．在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC+AD＝32，BD＝5，CD＝16，试确定AB的长．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝24，AM＝AC，BN＝BC，求MN的长．
24．△ABC的三边长分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
(1)判断三角形的形状；
(2)若以边b为直径的半圆面积为2π，求△ABC的面积；
(3)若以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q，求以边c为直径的半圆面积．(用p、q表示)
25．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
(1)请用含有x的整式表示线段AD的长为　
　m；
(2)求这棵树高有多少米？
26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来．“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题：
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)；
(2)证明勾股定理；
(3)若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求(a+b)2的值．
答案
一、选择题
1．D．2．D．3．C．4．B．5．C．6．A．7．C．8．C．9．C．10．C．
二、填空题
11．8．
12．225或63．
13．S1＝S2+S3．
14．17．
15．25．
16．36．
17．9
18．81．
三、解答题
19．证明：AC2＝22+32＝13，AB2＝62+42＝52，BC2＝82+12＝65，
∵13+52＝65，
∴AC2+AB2＝CB2，
∴∠CAB＝90°，
∴：△ABC是直角三角形．
20．∵∠A＝90°，AB＝16m，DA＝12m，
∴DB20(m)，
∵BC＝25m，CD＝15m，
∴BD2+BC2＝DC2，
∴△DBC是直角三角形，
∴S△ABD+S△DBC12×1615×20＝246(m2)，
∴需投入总资金为：100×246＝24600(元)．
21．在Rt△ACD中，
AC5cm，
在△ABC中，
∵AB2+BC2＝9+16＝25，
AC2＝52＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积AB?BCAC?CD3×45×12＝36cm2．
22．设AD＝x，则AC＝32﹣x，
∵AD⊥BC于点D，
∴△ADC和△ADB是直角三角形，
∵CD＝16，
∴x2+162＝(32﹣x)2，
解得：x＝12，
∴AD＝12，
在直角三角形ABD中，AB13．
23．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，
∴BC7．
又∵AC＝24，BC＝7，AM＝AC，BN＝BC，
∴AM＝24，BN＝7，
∴MN＝AM+BN﹣AB＝24+7﹣25＝6．
24．(1)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵在△ABC中，三条边长分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1)，
∴a2+b2＝(n2﹣1)2+(2n)2＝n4﹣2n2+1+4n2＝(n2+1)2，c2＝(n2+1)2，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形．
(2)∵以边b为直径的半圆的半径为r，则π()2＝2π，
解得：b＝4，
∴2n＝4，
∴n＝2，
∴a＝3，
∴△ABC的面积ab3×4＝6；
(3)∵以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q，
∴pπ()2，qπ()2，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴以边c为直径的半圆面积π()2(a2+b2)p+q．
25．(1)设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，
即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，
故答案为：15﹣x；
(2)∵∠C＝90°
∴AD2＝AC2+DC2
∴(15﹣x)2＝(x+5)2+102
∴x＝2.5
∴CD＝5+2.5＝7.5
答：树高7.5米；
26．(1)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，a2+b2＝c2．
(2)∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b﹣a)2，4SRt△＝4ab＝2ab，
∴c2＝2ab+(b﹣a)2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，
即a2+b2＝c2．
(3)∵4SRt△＝S大正方形﹣S小正方形＝13﹣1＝12，
∴2ab＝12．
∴(a+b)2
＝a2+b2+2ab
＝c2+2ab
＝13+12
＝25．