2021-2022学年苏科版九年级数学上册 2.6正多边形与圆 同步提升训练（word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.6正多边形与圆》同步能力提升训练（附答案）
1．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（　　）
A．30°或150°
B．60°或120°
C．30°
D．60°
2．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A（﹣1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（　　）
A．
B．（1，0）
C．
D．（﹣1，0）
3．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（　　）
A．0
B．2
C．1
D．
5．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，BE，BD，AC与BE，BD分别交于点F，G，若AB＝2，则FG的长为（　　）
A．3﹣
B．﹣1
C．
D．2﹣3
6．已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（　　）
A．2
B．1
C．
D．
7．已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（　　）
A．2
B．2
C．
D．4
8．如图，AB，BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（　　）
A．六
B．八
C．十
D．十二
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（　　）
A．
B．
C．2
D．
10．如图边长为2+的正方形，剪去四个角成为一个正八边形，则这个正八边形边长为（　）
A．0.5
B．
C．1
D．
11．半径为3的正六边形的周长为（　　）
A．18
B．
C．
D．
12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A．8
B．10
C．12
D．15
13．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2
B．
C．2
D．2
14．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角（锐角）度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
15．正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（　　）
A．2
B．
C．1
D．
16．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，以C为圆心，CB为半径画弧交AD于点F，连接CF，则∠CFD＝　
　°．
17．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC距离为　
　．
18．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝　
　mm．
19．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝　
　．
20．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R．
21．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．
22．【阅读理解】
[阅读与思考]
如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝　
　；
如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝　
　；
如图③，在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝　
　；
[理解与运用]
在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝　
　；
在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝　
　；
[归纳与总结]
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是　
　．
参考答案
1．解：连接OA，OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
当点P不在上时，
∠APB＝∠AOB＝30°，
当点P在上时，
∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
故选：A．
2．解：连接OB，如图所示：
∵A（1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝1，∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
过B作BG⊥OA于点G，
则AG＝OA＝，BG＝AG＝，
∴B（，），
∴C（，），E（，﹣），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（，﹣），
第三次相遇地点在点A（﹣1，0），
…如此下去，
∵2021÷3＝673…2，
∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为（，﹣），
故选：C．
3．解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝3，
∴OA＝3，
∴AB＝＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
4．解：∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴AD＝2，EC＝，
∴AD为边的正方形的面积为4，EC为边的正方形的面积为3，
∴两个阴影部分的面积差a﹣b＝4﹣3＝1，
故选：C．
5．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAF＝∠ABF＝∠DBE＝36°，
∴FA＝FB，
∴∠ABG＝∠AGB＝∠BFG＝72°，
∴AB＝AG＝2，BG＝BF，
设AF＝BF＝BG＝x，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠GAB，
∴△BGF∽△AGB，
∴BG2＝GF?GA，
∴x2＝（2﹣x）×2，
∴x2+2x﹣4＝0，
∴x＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），
∴FG＝AG﹣AF＝2﹣（﹣1+）＝3﹣，
故选：A．
6．解：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM＝30°，AB＝2，
则AM＝1，
因而OM＝，
∴正六边形的边心距是．
故选：C．
7．解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝4，AB＝BC＝AC＝2，
故选：A．
8．解：连接OA，OB，OC．
由题意，∠AOB＝＝90°，∠BOC＝＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故选：D．
9．解：如图，连接OB、OC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，
故选：A．
10．解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，
∵正方形的边长为2+，
∴x+x+x＝2+，
解得x＝＝，
∴正八边形的边长为，
故选：D．
11．解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a＝3，
正六边形的周长l＝6a＝18，
故选：A．
12．解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD＝＝90°，∠AOF＝＝120°，
∴∠DOF＝∠AOF﹣∠AOD＝30°，
∴n＝＝12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
13．解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2．
则⊙O的半径为2．
故选：C．
14．解：如图，连接PF，BF，BF交GH于点P′，连接AP′．
∵正六边形ABCDEF中，G，H分别是AF和CD的中点，
∴GH是正六边形的对称轴，
∴PA＝PF，
∴PA+PB＝PB+PF，
∵PB+PF≥BF，
∴当点P与点P′重合时，PA+PB的值最小，
∵∠BAF＝120°，AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝30°，
∵∠FGP′＝90°，
∴∠FP′G＝60°，
故选：C．
15．解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，
∴OE＝OA＝×4＝2，
故选：A．
16．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE＝∠E＝＝108°，AE＝DE，
∴∠EDA＝∠EAD＝（180°﹣∠E）＝54°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDA＝108°﹣36°＝72°，
∵CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝72°，
故答案为：72．
17．解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
18．解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．
∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），
∴CH＝（mm），
∴a＝2CH＝（mm），
故答案为：．
19．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝108°，
∵四边形ABFG是矩形，
∴∠BAG＝90°，
∴∠EAG＝∠EAB﹣∠GAB＝108°﹣90°＝18°，
故答案为：18°．
20．解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴OC＝5（cm）．
即⊙O的半径R＝5cm．
21．解：如图所示：
22．解：[阅读与思考]
∵在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
∴∠B＝∠CAM，AB＝AC，
∵在△ABN和△CAM中
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN＝CM，∠BAN＝∠MCA，
∴∠NOC＝∠OAC+∠MCA＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°，
故答案为：60°；
∵在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AN＝DM，
∴AD＝AB，
在△ABN和△DAM中，
，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴∠AMD＝∠ANB，∠ADM＝∠BAN，
∴∠DON＝∠DAN+∠ADM＝90°，
答案为：90°；
∵在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，
∴AB＝AE，∠EAM＝∠ABN，
∵在△AEM和△BAN中，
，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝EM，∠AEM＝∠BAN，
∴∠EON＝∠AEM+∠EAO＝108°，
故答案为：108°；
[理解与运用]
∵正三角形的内角度数为：60°，
正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，
所以同理可得：
在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝120°；
故答案为：120°；
同理可得：
在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝144°；
故答案为：144°；
[归纳与总结]
根据以上所求的角恰好等于正n边形的内角，
所以所求的角恰好等于正n边形的内角．
故答案为：以上所求的角恰好等于正n边形的内角