2021-2022学年八年级数学苏科版上册 2.4.3角平分线的性质与判定 课前预习练（word版含解析）

2.4.3角平分线的性质与判定
【课前预习练】-2021-2022学年八年级数学上册（苏科版）
一、选择题
1、如图，在中，，平分，，，则点D到AC的距离为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
（1题）
（2题）
（3题）
2、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　
　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
4、如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC=10
cm，则△DEC的周长是（
）
A．8
cm
B．10
cm
C．11
cm
D．12
cm
（4题）
（5题）
（6题）
5、如图，在中，平分，且，
则的面积是（
）
A．9
B．12
C．15
D．18
6、如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，
则点O到边BC的距离是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7、三角形中，到三边距离相等的点是（
）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
8、如图，点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰好是、、三条平分线的交点．上述结论中，正确的个数有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
（8题）
（9题）
9、在正方形网格中，的位置如图所示，到的两边距离相等的点应是（
）
A．点M
B．点Q
C．点P
D．点N
10、如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
）
A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
（10题）
（11题）
（12题）
二、填空题
11、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
12、如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
13、如图所示，已知△ABC的面积是36，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的周长是_____．
（13题）
（14题）
（15题）
14、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=______（度）．
15、如图，已知∠CDA=∠CBA=90°，且CD=CB，则点C在∠________的平分线上，
点A在∠__________的平分线上．
16、如图，在△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=40°，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD=40°，则∠CED=__________．
三、解答题
17、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6．
（1）用无刻度的直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AD于点E；（不要求写作法，但要保留清晰的作图痕述）
（2）求（1）中DE的长．
18、已知，如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P
求证：点P在∠A的平分线上。
19、如图，点E，F分别在OA，OB上，DE=DF，∠OED+∠OFD=180°,求证：OD平分∠AOB
20、如图，BE=CF，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且DB=DC．
求证：（1）Rt△BED≌Rt△CFD；
（2）AD是∠BAC的平分线．
21、如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC得平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G．
求证：（1）BF=CG；（2）AF=（AB+AC）．
2.4.3角平分线的性质与判定
【课前预习练】-2021-2022学年八年级数学上册（苏科版）（含答案）
一、选择题
1、如图，在中，，平分，，，则点D到AC的距离为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】A
【分析】由D在∠BAC的平分线AD上得，点D到AC的距离与点D到AB的距离BD相等，因此求得BD的长即可．
【详解】解：∵BC=10，CD=6，∴BD=4．
∵∠B=90°，AD平分∠BAC
．
由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于BD=4．
故选：A．
2、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　
　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【答案】B
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【详解】
作DE⊥AB于E，
∵AB=10，S△ABD
=15，
∴DE=3，
∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
故选A.
4、如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC=10
cm，则△DEC的周长是（
）
A．8
cm
B．10
cm
C．11
cm
D．12
cm
【答案】B
【提示】
根据角平分线的性质,得AD=DE,利用HL判定△BAD≌△BED,
得出AB=BE,进而得出BC=DE+DC+EC=10cm.
【详解】
解:BD平分∠ABE,DE⊥BC,DA⊥AB
AD=DE
又BD=BD，△BAD≌△BED
(HL)
AB=BE
又AB=AC
BE=AC
BC=BE+EC=AC+EC=AD+DC+EC=DE+DC+EC=10cm
△DEC的周长是10cm,
故选B.
5、如图，在中，平分，且，
则的面积是（
）
A．9
B．12
C．15
D．18
【答案】C
【分析】作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=
CD=2，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】如图，作DE⊥AB，
∵平分，
∴DE=CD=2
∴S△ABC=S△ABD+S△DBC=AB×DE+BC×CD=×9×2+×6×2=15
故选C．
6、如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，
则点O到边BC的距离是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【提示】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【详解】如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.
∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF
＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12
OD=3
故选：C
7、三角形中，到三边距离相等的点是（
）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点
故选C．
8、如图，点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰好是、、三条平分线的交点．上述结论中，正确的个数有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】D
【分析】利用角平分线的判定定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得．
【详解】∵点P到BE，BD的距离相等，∴点P在∠B的平分线上，故①正确；
∵点P到BD、AC的距离相等，∴点P在∠DAC的平分线上，故②正确；
∵点P到BE、AC的距离相等，∴点P在∠ECA的平分线上，故③正确；
∵点P到BE、BD、AC的距离都相等，∴恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三条平分线的交点，故④正确；
综上可得①②③④都正确．
故选：D．
9、在正方形网格中，的位置如图所示，到的两边距离相等的点应是（
）
A．点M
B．点Q
C．点P
D．点N
【答案】A
【详解】
解：观察图形可知点M在的角平分线上，
∴点M到的两边距离相等
故选：A
10、如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
）
A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
【答案】D
【分析】
由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【详解】
解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4处，
∴可供选择的地址有4处．
故选：D
二、填空题
11、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
【答案】15
【详解】
解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，∴DB=DQ=3，
∵AC=10，∴S△ACD=?AC?DQ=×10×3=15，
故答案为15．
12、如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
【答案】42
【详解】
解：连接AO,可知AO平分∠BAC,由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即
13、如图所示，已知△ABC的面积是36，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的周长是_____．
【答案】18
【详解】
如图，
过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=4，
∵S△ABC==2·△ABC的周长，
∴△ABC的周长=36÷2=18，
故答案为18.
14、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=______（度）．
试题分析：根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得答案．
试题解析：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC，
∵∠DBC=50°，
∴∠ABC=100°，
故答案为：100．
15、如图，已知∠CDA=∠CBA=90°，且CD=CB，则点C在∠________的平分线上，
点A在∠__________的平分线上．
试题分析：从已知条件进行思考，根据角平分线的逆定理可得答案．
试题解析：∵∠CDA=∠CBA=90°，且CD=CB，
根据角平分线性质的逆定理，则点C在∠BAD的平分线上，点A在∠BCD的平分线上．
故填∠BAD，∠BCD．
16、如图，在△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=40°，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD=40°，则∠CED=__________．
试题分析：作EN⊥BD，EM⊥BC，EH⊥AC，垂足分别是N
M
H，根据三角形的内角和定理求出∠ABD，∠ABM=70°，根据角平分线性质求出EN=EM=EH，推出DE是∠ADB的平分线，求出∠ADE=∠ACB=40°，根据平行线的性质和判定即可求出结论．
试题解析：∠A=180°-∠ACB-∠ABC=180°-110°-40°=30°，
∵作EN⊥BD，EM⊥BC，EH⊥AC，垂足分别是N、M、H，∠ABC=110°，∠CBD=40°，
∴∠ABD=70°，
∴∠ABC的外角是∠ABM=180°-110°=70°；
∴BE是∠DBM的角平分线，∴EM=EN，
∵CE是∠ACB的平分线，EM⊥CB，EH⊥AC，∴EM=EH，∴EH=EN，
∴DE是∠ADB的平分线，
∵∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-30°-70°=80°，
∴∠ADE=∠ADB=40°=∠ACB，∴DE∥CB，∴∠CED=∠ECB=20°
故答案为：20°．
三、解答题
17、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6．
（1）用无刻度的直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AD于点E；（不要求写作法，但要保留清晰的作图痕述）
（2）求（1）中DE的长．
【答案】（1）图见解析；（2）2．
【详解】
（1）分以下三步：
①以点B为圆心，小于AB长为半径画弧，分别交AB于点M，交BC于点N
②分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O
③过点B、O作射线，交AD于点E
则BE即为所作，如图所示：
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∵BE平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
18、已知，如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P
求证：点P在∠A的平分线上。
试题分析：作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，PE⊥AC于E，根据角平分线性质得出PM=PN，PN=PE，推出PM=PE，根据角平分线性质推出即可。
证明：作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，PE⊥AC于E，
∵PB、PC分别是△ABC的外角平分线，
∴PM=PN，PN=PE，
∴PM=PE，
∵PM⊥AB，PE⊥AC，
∴点P在∠A的平分线上。
19、如图，点E，F分别在OA，OB上，DE=DF，∠OED+∠OFD=180°,求证：OD平分∠AOB
试题分析：
过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，进而得出△EDM≌△FDN，由全等三角形的性质得出DM=DN，从而得出结论。
证明：过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，
∴∠DME=∠DNF=90°．
∵∠OED+∠OFD=180°，且∠OED+∠MED=180°，
∴∠MED=∠OFD．
在△EDM和△FDN中，
?∠DME＝∠DNF，
∠MED＝∠OFD，
DE＝DF，
∴△EDM≌△FDN(AAS)，
∴DM=DN．
∵DM⊥OA，DN⊥OB，
∴OD平分∠AOB．
20、如图，BE=CF，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且DB=DC．
求证：（1）Rt△BED≌Rt△CFD；
（2）AD是∠BAC的平分线．
试题分析：（1）根据直角三角形全等的判定HL证出即可；
（2）由（1）推出DE=DF，根据角平分线性质推出即可．
试题解析：证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．
证明：（2）∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线．
21、如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC得平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G．
求证：（1）BF=CG；（2）AF=（AB+AC）．
【解析】
证明：（1）连接BE和CE，
∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE=∠EGC=90°，EF=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF=CG；
（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE，
在△AFE和△AGE中
∴△AFE≌△AGE，∴AF=AG，
∵BF=CG，∴（AB+AC）=（AF-BF+AG+CG）=（AF+AF）=AF，
即AF=（AB+AC）．