2021-2022学年苏科版八年级数学上册 2.4.3角平分线的性质与判定 课后提升练（word版含解析）

2.4.3角平分线的性质与判定
【课后提升练】-2021-2022学年八年级数学上册（苏科版）
一、选择题
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝3，
则点D到AB的距离是（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
(1题)
(2题)
(3题)
2、如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（　　）
A．线段CD的中点
B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点
D．CD与∠AOB的平分线的交点
3、如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是
（
）
A．15
B．30
C．45
D．60
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）
A．12cm2
B．8cm2
C．6cm2
D．4cm2
(4题)
(5题)
(6题)
5、如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，
BD＝4，则点O到边AC的距离是（??
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?1.5??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?3
6、如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　）
A．8.5
B．15
C．17
D．34
7、三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
8、在△ABC
内一点
P
到三边的距离相等，则点
P
一定是△ABC
的（???
）
A.?三边垂直平分线的交点????????B.?三条内角平分线的交点????????C.?三条高的交点????????D.?三条中线的交点
9、如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于点M，且OM＝3，
则AB、CD之间的距离为（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
(9题)
(10题)
(11题)
10、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．4
B．6
C．3
D．12
二、填空题
11、如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为　
　．
12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是　
　
（2）若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是　
　．
(12题)
(13题)
(14题)
13、如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为　
　．
14、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，PM⊥AC于点M.若PM＝6cm，
则点P到AB的距离为________cm．
15、如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB
的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是
__________
．
(15题)
(16题)
16、如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，
则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝　
　．
三、解答题
17、作图题：已知：∠AOB，点M、N．求作：点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM=PN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法步骤）
18、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC．
19、如图，已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：点D在∠BAC的平分线上．
20、在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3cm，BC=10cm，求△DBC的面积．
如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G，求证：DF=DG．
22、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于H，
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离．
（2）求证：AP平分∠HAC．
23、如图所示，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且点E是CD的中点，问：AD、BC和AB之间有何关系？并说明理由．
24、如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，作OD⊥AB于点D，连接CO．
（1）求证：CO平分∠ACB；
（2）当AB＝7，BC＝8，AC＝9时，求AD的长．
2.4.3角平分线的性质与判定
【课后提升练】-2021-2022学年八年级数学上册（苏科版）（含答案）
一、选择题
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝3，
则点D到AB的距离是（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E．
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，即点D到直线AB的距离是3．
故选C．
2、如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（　　）
A．线段CD的中点
B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点
D．CD与∠AOB的平分线的交点
解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．
故选：D．
3、如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是
（
）
A．15
B．30
C．45
D．60
【答案】B
【详解】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
∴△ABD的面积＝AB×DE＝×15×4＝30，
故选：B．
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）
A．12cm2
B．8cm2
C．6cm2
D．4cm2
解：作DH⊥BC于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
5、如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，
BD＝4，则点O到边AC的距离是（??
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?1.5??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?3
【答案】
C
【考点】角平分线的性质
解：过O作OE⊥AC于E，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，
∴OB＝OE＝OD，
∵BD＝4，
∴OB＝OE＝OD＝2，
∴点O到边AC的距离是2，
故答案为：C.
【分析】过O作OE⊥AC于E，根据角平分线的性质即可得到结论.
6、如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　）
A．8.5
B．15
C．17
D．34
解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，
∴点O到△ABC各边的距离相等，
而OD⊥BC，OD＝4，∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，
∴AB+AC+BC＝17，即△ABC的周长为17．
故选：C．
7、三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
8、在△ABC
内一点
P
到三边的距离相等，则点
P
一定是△ABC
的（???
）
A.?三边垂直平分线的交点????????B.?三条内角平分线的交点????????C.?三条高的交点????????D.?三条中线的交点
【答案】
B
【考点】角平分线的性质
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知点P一定是△ABC内角平分线的交点.
解：∵在△ABC内一点P到三边的距离相等，∴点P一定是△ABC内角平分线的交点.
故答案为：B.
9、如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于点M，且OM＝3，
则AB、CD之间的距离为（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
解：作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，
∵AB∥CD，∴FG垂直CD，
∴FG就是AB与CD之间的距离．
∵∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于M，
∴OM＝OF＝OG，
∴AB与CD之间的距离等于2OM＝6．
故选：C．
10、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．4
B．6
C．3
D．12
解：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，∴DP＝AD，
∵AD＝6，∴DP的最小值是6，
故选：B．
二、填空题
11、如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为　
　．
【考点】角平分线的性质．
【分析】由已知条件首先求出线段CD的大小，接着利用角平分线的性质得点D到边AB的距离等于CD的大小，问题可解．
【解答】解：∵BC=10，BD=6，
∴CD=4，
∵∠C=90°，∠1=∠2，
∴点D到边AB的距离等于CD=4，
故答案为：4．
12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是　
　
（2）若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是　
　．
【考点】角平分线的性质．
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再求出BD，然后根据BC=BD+CD计算即可得解．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，
∵BC=8，BD=5，∴CD=BC﹣BD=8﹣5=3，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=3，
即点D到AB的距离是3；
（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，
∵BD：DC=3：2，∴BD=6×=9，
∴BC=BD+CD=9+6=15．
故答案为：3；15．
13、如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为　
　．
【考点】角平分线的性质．
【分析】点O到三角形三边的距离相等，可知O点为三角形三角平分线的交点；
根据角平分线性质，在△BOC中，
∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A．
【解答】解：∵点O到三角形三边的距离相等，
∴OB、OC为三角形的角平分线，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A=120°．
故填120°
14、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，PM⊥AC于点M.若PM＝6cm，
则点P到AB的距离为________cm．
【考点】角平分线的性质
解：如图，过点P作PN⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别为点N、Q，
∵PB、PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴PN=PM，PQ=PN，
∴PQ=PM，
∵PM=6cm，
∴PQ=6cm，
即点P到AB的距离为6cm．
故答案为：6．
15、如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB
的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是
__________
．
试题分析：由已知条件，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质得到线段相等，利用等量代换结论可得．
试题解析：∵BD是∠ABC的内角平分线，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DG=DE，
∵CD是∠ACB的外角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，
∴DE=DF=DG．
故答案为：DE=DF=DG．
16、如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，
则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝　
　．
解：∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，∴P点到三边的距离相等，
设这个距离为m，
∴S△PAB：S△PBC：S△PCA＝×AB×m：×BC×m：×AC×m
＝AB：BC：AC
＝30：40：15
＝6：8：3．
故答案为6：8：3．
三、解答题
17、作图题：已知：∠AOB，点M、N．求作：点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM=PN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法步骤）
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题．
【分析】作出∠AOB的平分线；连接MN，作出MN的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点即为所求的点．
【解答】解：点P就是所求的点．
18、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC．
【分析】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的性质的逆定理可证AE平分∠FAC．
【解答】证明：如图所示：过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，
∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA，∴EH=EG．
∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC，
∴EI=EG，
∴EI=EH（等量代换），
∴AE平分∠FAC（到角两边距离相等的点一定在角的平分线上）．
19、如图，已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：点D在∠BAC的平分线上．
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD
(AAS)，∴DE=DF，
又∵
DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．
20、在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3cm，BC=10cm，求△DBC的面积．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，BD平分∠ABC，
∴DE=AD=3cm，
∵BC=10cm，
∴△DBC的面积=×10×3=15cm2．
21、如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G，求证：DF=DG．
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，
在△ABE和△CBE中，,∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠AEB=∠CEB，
∴∠AED=∠CED，又∵DF⊥AE，DG⊥EC，
∴DF=DG．
22、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于H，
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离．
（2）求证：AP平分∠HAC．
（1）解：过P点作PF⊥BC于F，如图，
∵BP平分∠ABC，PH⊥AB，PF⊥BC，
∴PF＝PH＝5cm，即点P到直线BC的距离为5cm；
（2）证明：∵CP平分∠ACB，PD⊥AC，PF⊥BC，∴PD＝PF，
而PF＝PH，∴PD＝PH，
∴点P在∠HAC的平分线上，即AP平分∠HAC．
23、如图所示，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且点E是CD的中点，问：AD、BC和AB之间有何关系？并说明理由．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】首先要作辅助线，EF⊥AB，根据角平分线性质求出DE=EF=CE，证△BFE和△BCE全等，推出BF=BC，即可得出答案．
【解答】解：AD+BC=AB，
理由是：过E作EF⊥AB于F，
∵AE平分∠DAB，DC⊥AD，∴EF=ED，∵E为DC中点，∴CE=DE，∴EF=CE，
∵AD∥BC，CD⊥AD，∴∠C=90°=∠BFE，
在Rt△EFB和Rt△ECB中，
，
∴Rt△EFB≌Rt△ECB（HL），∴BC=BF，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL），∴AD=AF，
∵AF+BF=AB，
∴AD+BC=AB．
24、如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，作OD⊥AB于点D，连接CO．
（1）求证：CO平分∠ACB；
（2）当AB＝7，BC＝8，AC＝9时，求AD的长．
【解答】（1）证明：过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，
∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE，
∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OF⊥BC，∴OD＝OF，
∴OE＝OF，∴CO平分∠ACB；
（2）解：设AD＝x，则BD＝AB﹣AD＝7﹣x，
在Rt△AOD和Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），
∴AD＝AE＝x，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣x，
同理可证明Rt△BOD≌Rt△BOF，Rt△COE≌Rt△COF，
∴BD＝BF＝7﹣x，CE＝CF＝9﹣x，
∵BC＝8，∴7﹣x+9﹣x＝8，解得x＝4，即AD的长为4．