2021-2022学年苏科版八年级数学上册1.3探索三角形全等的条件同步能力提升专题训练 （word解析版）

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《1.3探索三角形全等的条件》
同步能力提升专题训练（附答案）
1．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE．
其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（　　）
A．（m﹣60）°
B．（180﹣2m）°
C．（2m﹣90）°
D．（120﹣m）°
3．如图，∠ACB＝90°，AC＝CD，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E．若AB＝2DE，则∠BAC的度数为（　　）
A．45°
B．30°
C．22.5°
D．15°
4．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝2∠B，F是BC的中点，EF∥AD交AB于点E，且BE＝4AE，若CD＝4，则AB的长为（　　）
A．10
B．9
C．8
D．6
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠F＝∠BCF
B．AE＝7cm
C．EF平分AB
D．AB⊥CF
6．如图，在四边形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，直线EF经过四边形ABCD的对角线AC和BD的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：
①BO＝OD；②△AOD的周长﹣△ODC的周长＝AD﹣CD；③AD∥BC；④S△ABO＝S四边形ABNM；⑤图中全等的三角形的对数是9对；
其中正确结论的个数是（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
7．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
8．如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（　　）个．（不含△ABC）
A．28
B．29
C．30
D．31
9．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（　　）
A．∠B＝∠E，BC＝EC
B．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝EC
D．BC＝EC，AC＝DC
10．如图，AB⊥CD于点E，且AB＝CD＝AC，若点I是△ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点．下列结论：①∠AIC＝135°；②BD＝BI；③S△AIC＝S△BID；④IF⊥AC．其中正确的是　
　（填序号）．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，A
（0，﹣2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为　
　．
12．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB两边上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB．作图过程用到了△OPM≌△OPN，那么△OPM≌△OPN所用的判定定理是　
　．
13．如图，在下列条件中，能证明△ABD≌△ACD的是　
　．（填序号）
①BD＝DC，AB＝AC；
②∠ADB＝∠ADC，BD＝DC；
③∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；
④∠B＝∠C，BD＝DC．
14．如图：已知DE＝AB，∠D＝∠A，请你补充一个条件，使△ABC≌△DEF，并说明你判断的理由：　
　或　
　．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F．通过观察或测量OE，OF的长度，你发现了什么？试说明理由．
16．在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．
17．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
18．如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE．
19．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连接BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，若D为AC边上的中点．
①填空：∠C＝　
　，∠DBC＝　
　；
②求证：△BDE≌△CDF．
（2）如图2，D从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．
20．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．
（1）请说明CD＝BD；
（2）若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积．
21．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
22．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有　
　（请写序号，少选、错选均不得分）．
参考答案
1．解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，故①正确；③错误，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②正确；
∵AM⊥EF，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF＝DN，故④正确；
∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°，
∴BA＝BN，
∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE，
∴△EBA≌△EBN（SAS），
∴∠BNE＝∠BAE＝90°，
∴∠ENC＝∠ADC＝90°，
∴AD∥EN．故⑤正确，
故选：D．
2．解：如图，连接AE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠ABC＝60°，
∵∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，
∴∠ADC＝180°﹣m°，∠ADE＝180°﹣m°，
∴∠ADC＝∠ADE，
∵AD＝AD，DC＝DE，
∴△ADC≌△ADE（SAS），
∴∠C＝∠AED＝60°，∠DAC＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DBA，
∴∠BDE＝∠BAE＝180°﹣2m，
∵AE＝AC＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣180°+2m）＝m，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝（m﹣60）°，
故选：A．
3．解：
连接AD，延长AC、DE交于M，
∵∠ACB＝90°，AC＝CD，
∴∠DAC＝∠ADC＝45°，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠ACB＝∠DCM，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴由三角形内角和定理得：∠CAB＝∠CDM，
在△ACB和△DCM中
∴△ACB≌△DCM（ASA），
∴AB＝DM，
∵AB＝2DE，
∴DM＝2DE，
∴DE＝EM，
∵DE⊥AB，
∴AD＝AM，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠DAC＝＝22.5°，
故选：C．
4．解：如图作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，在AB上截取AM＝AC，
∵DA平分∠BAC，
∴DG＝DH，
∴＝＝＝，
设BF＝FC＝4a，
∴FD＝a，CD＝3a＝4，
∴a＝，BD＝5a＝，
在△ADM和△ADC中，
，
∴△DAM≌△DAC（SAS），
∴DM＝DC，∠AMD＝∠C，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AMD＝∠B+∠MDB＝2∠B，
∴∠B＝∠MDB，
∴BM＝MD＝CD＝4，设AC＝AM＝x，
∴x＝6，
∴AB＝BM+AC＝4+6＝10，
故选：A．
5．解：∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠F＝∠BCF，故A正确；
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△FEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△FEC（HL），
∴AC＝EF＝12cm，
∵CE＝BC＝5cm，
∴AE＝AC﹣CE＝7cm．故B正确；
如果AE＝CE，
∵EF∥BC，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EF平分AB，
而AE与CE不一定相等，
∴不能证明EF平分AB，故C错误；
∵Rt△ABC≌Rt△FEC，
∴∠A＝∠F，
∴∠A+∠ACD＝∠F+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AB⊥CF，故D正确．
∴结论不正确的是C．
故选：C．
6．解：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠DCA，
在△ABO和△CDO中
，
∴△ABO≌△CDO，
∴OB＝OD，所以①正确；
OA＝OC，
∵△AOD的周长＝AD+OA+OD，△ODC的周长＝DC+OA+OC，
∴△AOD的周长﹣△ODC的周长＝AD﹣DC，所以②正确；
在△ADO和△CBO中
，
∴△ADO≌△CBO，
∴∠DAO＝∠BCO，
∴AD∥BC，所以③正确；
易证△AMO≌△CNO，
∴S△AMO＝S△CNO，
∴S四边形ABNM＝S△ABC，
∵OA＝OC，即OA＝AC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∴S△ABO＝S四边形ABNM，所以④正确；
图中全等的三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△MOD≌△NOB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CAD，△AEM≌△CFN，△BOE≌△DOF，
△BNE≌△DMF，所以⑤错误．
故选：B．
7．解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC，
同理：B′E′＝A′C′，
∴BE＝B′E′，AE＝A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′，
∴∠CAD＝∠C′A′D′，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故选：A．
8．解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，
当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，
∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，
故选：D．
9．解：A、若AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合题意．
B、若AB＝DE，AC＝DC，∠B＝∠E，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
C、若AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
D、若AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，由SSS不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
故选：A．
10．解：如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K．
∵AB⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠IAC+∠ICA＝∠EAC+∠ECA＝45°，
∴∠AIC＝180°﹣45°＝135°，故①正确，
∵AB＝AC，∠IAB＝∠IAC，AI＝AI，
∴△AIB≌△AIC（SAS），
∴∠AIB＝∠AIC＝135°，IA＝ID，
∴∠BIC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
同法可证：△ICA≌△ICD（SAS），
∴∠AIC＝∠CID＝135°，IA＝ID，
∴∠AID＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴∠DIB+∠AIC＝180°，
∵DF＝FB，IF＝FG，
∴四边形IBGD是平行四边形，
∴ID＝BG＝AI，ID∥BG，
∴∠DIB+∠IBG＝180°，
∴∠AIC＝∠IBG，
∵IA＝ID，IC＝IB，
∴△AIC≌△GBI（SAS），
∴∠GIB＝∠ACI，S△AIC＝S△BGI＝S平行四边形DGBI＝S△BDI，故③正确，
∵∠GIB+∠CIK＝90°，
∴∠CIK+∠ICK＝90°，
∴∠IKC＝90°，即IF⊥AC，故④正确，
不妨设BI＝BD，则△BDI是等腰直角三角形，显然ID＝IB，即AI＝IC，显然题目不满足这个条件，故②错误．
故答案为①③④．
11．解：过B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠ACO＝∠DCB+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠DCB，
∵AC＝BC，
∴△OAC≌△DCB（AAS），
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A
（0，﹣2），C（1，0），
∴OA＝2，OC＝1，
∴CD＝2，BD＝1，
∴OD＝3，
∵B点在第四象限，
∴B（3，﹣1）．
故答案为（3，﹣1）．
12．解：∵OM＝ON，OP＝OP，∠OMP＝∠ONP＝90°
∴△OPM≌△OPN
所用的判定定理是HL．
13．解：①②③，
理由是：①∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
②∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
③∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS）；
④连接BC，
∵BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：①②③④．
14．解：∵已知DE＝AB，∠D＝∠A，
∴根据ASA判断全等添加∠B＝∠E；
根据AAS判断全等添加∠ACB＝∠DFE；
根据SAS判断全等添加AF＝CD．
故填空答案：∠B＝∠E或∠ACB＝∠DFE或AF＝CD．
15．解：OE＝OF．
证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBE＝45°，AC⊥BD．
∵∠AOF+∠FOB＝∠EOB+∠FOB＝90°，
∴∠AOF＝∠EOB．
在△AOF和△BOE中
∠OAB＝∠OBE，OA＝OB，∠AOF＝∠EOB，
∴△AOF≌△BOE（ASA）．
∴OE＝OF．
16．（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴AE＝DE，BE＝CE，
∴AC＝DB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∵∠AEB＝∠ECB+∠EBC＝50°，
∴∠EBC＝25°．
17．证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
18．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
19．（1）①解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D为AC边上的中点，
∴∠C＝45°，∠DBC＝45°；
故答案为：45°；45°；
②证明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，
故BD⊥AC，
∵ED⊥DF，
∴∠BDE＝∠FDC，
∴∠C＝∠DBC＝45°，
∴BD＝DC，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：如图①所示：当t＝0时，△PBE≌△CAE一对；
如图②所示：当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共3对；
如图③所示：当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．
20．解：（1）∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED＝∠CFD，
∵D是EF的中点，
∴ED＝FD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴CD＝BD；
（2）由（1）得：CF＝EB＝6，
∵AF＝CF，
∴AF＝6，
∵D是EF的中点，
∴DF＝DE＝3，
∴AD＝9，
∴△ACD的面积：AD?CF＝×9×6＝27．
21．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
22．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD．
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，
又∠CNM＝∠ANB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NMC＝90°，
∴AE⊥CD．
（3）结论：②
理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．
∵△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，
∴?AE?BK＝?CD?BJ，
∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，
∴BM平分∠AMD．
不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．
故答案为②．