2021-2022学年苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程优生辅导专题提升训练（word版含答案）

2021年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》优生辅导专题提升训练（附答案）
1．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
2．解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
4．已知Rt△ABC的三边长为a、b、c，且关于x的一元二次方程x2+（b﹣2）x+b﹣3＝0有两个相等的实数根．
（1）求b的值；
（2）若a＝3，求c的值．
5．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝4，若b、c是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0两个实数根，求等腰△ABC的周长．
6．已知关于x的一元二次方程x2+2x＝m（m为常数）．
（Ⅰ）当m＝5时，求这个方程的解；
（Ⅱ）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？
7．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
8．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
9．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的一个实数根为4，求k的值和另一个实数根．
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
10．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．
（1）若方程有实根，求k的取值范围；
（2）若方程两根x1，x2，满足x12+x22﹣4x1x2＝1，求k的值．
11．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+3x＝2m﹣3有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足x1?x﹣x12﹣x22+7＝0，求m的值．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m+3＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若，m为整数，求m的值．
13．已知k为实数，关于x的方程x2+k2+1＝2k（x﹣1）有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若（2x1+1）（2x2+1）＝21，试求k的值．
14．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：　
　．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：　
　．
（2）请写出一种完整的解答过程．
15．2020年我县加大玫瑰产业的宣传，平阴玫瑰香飘世界，某商店在2019年至2021年期间销售一种玫瑰礼盒．2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒且全部售完；2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完．礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，求19﹣21年增长率是多少？
16．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．
（1）若参加聚会的人数为6，则共握手　
　次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　
　次；
（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；
（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为　
　元；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利　
　元，平均每天可售出　
　件（用含x的代数式进行表示）；
（3）请列出方程，求出x的值．
18．如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD．已知旧墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的AB边长为xm．
（1）若围成的花圃面积为70m2时，求BC的长；
（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78m2，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
19．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
20．开发商准备以每平方米20000元价格出售某楼盘，为遵循政府有关房地产的调控政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米16200元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
21．第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进A、B两种牡丹制品，若购进A种牡丹制品5件，B种牡丹制品3件，共需450元；若购进A种牡丹制品10件，B种牡丹制品8件，共需1000元．
（1）购进A、B两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的A、B两种牡丹制品，在销售中发现，A种牡丹制品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；B种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种牡丹制品每天总获利为10000元，A种牡丹制品每件降价多少元？
参考答案
1．解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x＝＝，
即x1＝1，x2＝﹣．
2．解：（1）∵（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x1＝5，x2＝1；
（2）∵x2﹣4x﹣8＝0，
∴x2﹣4x＝8，
则x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
3．解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
4．解：（1）∵方程有两个相等的实数根
∴（b﹣2）2﹣4×（b﹣3）＝0
∴b＝4；
（2）当c为斜边时，c＝＝5；
当b为斜边时，c＝＝，
即c的值为5或．
5．解：根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣16k+8
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∴x＝，
即x1＝2，x2＝2k﹣1，
∵△ABC为等腰三角形，
而b＝c＝2时，b+c＜a不合题意，
∴2k﹣1＝4，解得k＝，
∴等腰△ABC的周长为4+4+2＝10．
6．解：（Ⅰ）当m＝5时，方程为x2+2x＝5，
x2+2x+1﹣1＝5，
（x+1）2＝6，
解得，x1＝，x2＝﹣；
（Ⅱ）∵b2﹣4ac＝4+4m，
∴4+4m＝0时，方程有两个相等的实数根，
解得：m＝﹣1，
即m＝﹣1时，方程有两个相等的实数根．
∴4m+4＜0
解得：m＜﹣1，
即m＜﹣1时，方程没有实数根．
7．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
8．（1）证明：当m≠0时，△＝（m+2）2﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程有实数根，
当m＝0时，方程﹣2x+2＝0，有实数根；
（2）解：解方程得，x＝，
x1＝，x2＝1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1或2，m＝2不合题意，
∴m＝1．
9．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根，
∴△＝22﹣4×1×（2k﹣5）＝﹣8k+24≥0，解得k≤3，
即k的取值范围是k≤3；
（2）设方程的另一个根为m，则4+m＝﹣2，解得m＝﹣6，
∴2k﹣5＝4×（﹣6），解得k＝﹣
∴k的值为﹣，另一个根为﹣6，
（3）∵k为正整数，且k≤3，
∴k＝1或k＝2或k＝3，
当k＝1时，原方程为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
当k＝2时，原方程为x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
当k＝3时，原方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1，
∴k的值为1或3．
10．解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，
①当方程为一元二次方程时，△≥0且k﹣1≠0，
即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，k≠1，
∴k≥﹣3且k≠1．
②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，
∴k＝1，
综上，k≥﹣3时方程有实根；
（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12+x22﹣4x1x2＝1，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝1，
∴（）2+＝1，
解得：k＝9或k＝﹣1
经检验，k＝9或k＝﹣1是分式方程的解，
∴k的值为9或﹣1．
11．解：原方程可变形为x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣2m+3＝0．
（1）∵原方程有两个实数根，
∴△＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4（m2﹣2m+3）＝﹣4m﹣3≥0，
解得：m≤﹣．
（2）∵方程的两实根分别为x1与x2，
∴x1+x2＝2m﹣3，x1?x2＝m2﹣2m+3，
∵x1?x﹣x12﹣x22+7＝0，
∴3（m2﹣2m+3）﹣（2m﹣3）2+7＝0，即﹣（m﹣3）2+16＝0．
解得m1＝﹣1，m2＝7，
∵m≤﹣，
∴m＝﹣1．
12．解：（1）由题意可得，△＝（﹣4）2﹣4（2m+3）＝4﹣8m，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣8m＞0．
解得m＜；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1x2＝2m+3，
∵，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤13，
即42﹣3（2m+3）≤13，
解得m≥﹣1，
由（1）可得﹣1≤m＜，
又∵m为整数，
∴m＝﹣1或m＝0．
13．解：（1）原方程即为x2﹣2kx+k2+2k+1＝0，
则△＝4k2﹣4（k2+2k+1）≥0，
∴k2﹣（k2+2k+1）≥0
∴﹣2k﹣1≥0
∴k≤﹣；
（2）由根与系数的关系，得x1+x2＝2k，x1x2＝k2+2k+1，
∵（2x1+1）（2x2+1）＝21，
∴4x1x2+2（x1+x2）+1＝21．
∴4（k2+2k+1）+4k+1＝21．即k2+3k﹣4＝0．
解得k1＝1，k2＝﹣4，
∵k≤﹣，
∴k的值为﹣4．
14．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，
依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．
故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．
（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，
解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
15．解：（1）设2019年这种礼盒的进价为x元/盒，则2021年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，
依题意得：＝，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．
答：2019年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）2019年所获利润为（3500÷35）×（60﹣35）＝100×25＝2500（元）．
2021年所获利润为100×（60﹣24）＝3600（元）．
设该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率为m，
依题意得：2500（1+m）2＝3600，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率是20%．
16．解：（1）若参加聚会的人数为6，共握手×6×5＝15（次），
若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手n（n﹣1）（次）．
故答案为：15；n（n﹣1）．
（2）依题意得：n（n﹣1）＝36，
整理得：n2﹣n﹣72＝0，
解得：n1＝9，n2＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：参加聚会的人数为9人．
（3）∵线段AB上共有（m+2）（包含端点A、B）个点，
∴线段总数为（m+2）（m+1）（条）．
17．解：（1）20×45＝900，
故答案为：900；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，
故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；
（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2100，
解得：x1＝10，x2＝30．
因尽快减少库存，故x＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
18．（1）解：根据题意得：BC＝（24﹣2x）m，
则（24﹣2x）x＝70，
解得：x1＝5，x2＝7，
当x1＝5时，BC＝14x2＝7时，BC＝10，
墙可利用的最大长度为13m，BC＝14舍去．
答：BC的长为10m．
（2）解：不能围成这样的花圃．理由如下：
依题意可知：（24﹣3x）x＝78，
即x2﹣8x+26＝0，△＝82﹣4×1×26＝﹣40＜0，
所以方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
19．解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．
（2）设每杯售价定为a元，由题意得：
（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，
解得：a1＝21，a2＝20．
∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
20．解：（1）设平均每次下调的百分率是x，
根据题意列方程得，20000（1﹣x）2＝16200，
解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去），
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）20000（1﹣5%）（1﹣15%）＝16150＜16200
∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
21．解：（1）设购进A种牡丹制品每件需x元，B种牡丹制品每件需y元，
则由题意得：，
解得：，
答：购进A种牡丹制品每件需60元，B种牡丹制品每件需50元；
（2）设种牡丹制品每件降价m元，
则由题意得：，
化简得：，
∴m＝10，
答：A种牡丹制品每件降价10元．