反证法
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(共25张PPT)
间接证明:反证法
复习
复习
1.对立事件的概念
2.否命题的概念
3.命题否定的概念
4.直接证明
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数
甲:208个,乙:112个,丙:64个
复习
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。
路边苦李
小故事
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊 ”
王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”
*
*
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立;
则C必定是在撒谎.
*
*
学习目标
1. 掌握间接证明—反证法的含义
2. 能正确地运用反证法进行简单的推理
证明：在一个三角形中至少
有一个角不小于60°.
引例
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角.
求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角.
求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
证明：
假设 的三个内角A，B，C都小于60°，
所以
∠ A 60°，∠B 60°， ∠C 60°
<
<
<
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 相矛盾.
三角形内角和等于180°
∴ 不能成立，所求证的结论成立.
假设
反证法的一般步骤：
假设命题的结论不成立,即假
设结论的反面成立；
从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，
从而肯定命题的结论正确。
反设
归谬
结论
适宜使用反证法的情况
（1）结论以否定形式出现
（2）结论以“至多------，” ，“至少------”
“有无穷多个------”形式出现
（ 3）唯一性、存在性问题
（4） 结论的反面比原结论更具体更容易
研究的命题,如结论需分成很多类进
行讨论．
常见否定用语
是－－－不是 有－－－没有
等－－－不等 成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
都不是－部分或全部是，即至少有一个是
唯一－－至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都
反馈练习
1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”. (1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角
假设互补的两个角都大于90°.
假设△ABC中,至少有两个钝角
2、“已知: △ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤. (1)所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾. (2)所以∠B<90°. (3)假设∠B≥90°. (4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是( ) A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1) C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)
反馈练习
C
用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
例 1
证明：
假设弦AB、CD被P平分，
连结 AD、BD、BC、AC,
D
P
O
B
A
C
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四边形
所以
因为 ABCD为圆内接四边形
所以
因此
所以，对角线AB、CD均为直径，
这与已知条件矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
P
O
B
A
D
C
例 1
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有
所以，弦AB、CD不被P平分。
证明：
假设弦AB、CD被P平分，
即过点P有两条直线与OP都垂直，
这与垂线性质矛盾，即假设不成立
OP⊥AB，OP⊥CD，
1.用反证法证明：
如果a>b>0，那么
演练反馈
2. 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
演练反馈
3.求证： 是无理数。
演练反馈
总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．
①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些
演练反馈
1、写出下列命题，用反证法证明的第一步
（1）已知a=b，则a2=b2
（2）三角形最小的角小于或等于600
（3）两条直线相交，只有一个交点
（4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线
中的一条相交，那么和另一条也相交
2、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能
都是锐角三角形
演练反馈
1、写出下列命题，用反证法证明的第一步
（1）已知a=b，则a2=b2
（2）三角形最小的角小于或等于600
（3）两条直线相交，只有一个交点
（4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线
中的一条相交，那么和另一条也相交
2、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能
都是锐角三角形
演练反馈
2、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形
证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个
点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。
(1)如果点D在 之内，根据假设，
D
A
B
C
都为锐角三角形
所以
这与一个周角为360°矛盾。
演练反馈
2、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形
(1)如果点D在 之外，根据假设，
A
D
B
C
都是锐角三角形，即
这与四边形内角和矛盾。
所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。
即这些三角形不可能都为锐角三角形。
间接证明:反证法
复习
复习
1.对立事件的概念
2.否命题的概念
3.命题否定的概念
4.直接证明
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数
甲:208个,乙:112个,丙:64个
复习
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。
路边苦李
小故事
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊 ”
王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”
*
*
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立;
则C必定是在撒谎.
*
*
学习目标
1. 掌握间接证明—反证法的含义
2. 能正确地运用反证法进行简单的推理
证明：在一个三角形中至少
有一个角不小于60°.
引例
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角.
求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角.
求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
证明：
假设 的三个内角A，B，C都小于60°，
所以
∠ A 60°，∠B 60°， ∠C 60°
<
<
<
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 相矛盾.
三角形内角和等于180°
∴ 不能成立，所求证的结论成立.
假设
反证法的一般步骤：
假设命题的结论不成立,即假
设结论的反面成立；
从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，
从而肯定命题的结论正确。
反设
归谬
结论
适宜使用反证法的情况
（1）结论以否定形式出现
（2）结论以“至多------，” ，“至少------”
“有无穷多个------”形式出现
（ 3）唯一性、存在性问题
（4） 结论的反面比原结论更具体更容易
研究的命题,如结论需分成很多类进
行讨论．
常见否定用语
是－－－不是 有－－－没有
等－－－不等 成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
都不是－部分或全部是，即至少有一个是
唯一－－至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都
反馈练习
1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”. (1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角
假设互补的两个角都大于90°.
假设△ABC中,至少有两个钝角
2、“已知: △ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤. (1)所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾. (2)所以∠B<90°. (3)假设∠B≥90°. (4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是( ) A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1) C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)
反馈练习
C
用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
例 1
证明：
假设弦AB、CD被P平分，
连结 AD、BD、BC、AC,
D
P
O
B
A
C
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四边形
所以
因为 ABCD为圆内接四边形
所以
因此
所以，对角线AB、CD均为直径，
这与已知条件矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
P
O
B
A
D
C
例 1
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有
所以，弦AB、CD不被P平分。
证明：
假设弦AB、CD被P平分，
即过点P有两条直线与OP都垂直，
这与垂线性质矛盾，即假设不成立
OP⊥AB，OP⊥CD，
1.用反证法证明：
如果a>b>0，那么
演练反馈
2. 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
演练反馈
3.求证： 是无理数。
演练反馈
总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．
①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些
演练反馈
1、写出下列命题，用反证法证明的第一步
（1）已知a=b，则a2=b2
（2）三角形最小的角小于或等于600
（3）两条直线相交，只有一个交点
（4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线
中的一条相交，那么和另一条也相交
2、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能
都是锐角三角形
演练反馈
1、写出下列命题，用反证法证明的第一步
（1）已知a=b，则a2=b2
（2）三角形最小的角小于或等于600
（3）两条直线相交，只有一个交点
（4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线
中的一条相交，那么和另一条也相交
2、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能
都是锐角三角形
演练反馈
2、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形
证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个
点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。
(1)如果点D在 之内，根据假设，
D
A
B
C
都为锐角三角形
所以
这与一个周角为360°矛盾。
演练反馈
2、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形
(1)如果点D在 之外，根据假设，
A
D
B
C
都是锐角三角形，即
这与四边形内角和矛盾。
所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。
即这些三角形不可能都为锐角三角形。