4.5 函数的应用（二） 同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学培优卷（人教A版2019必修第一册）（Word含答案解析）

2021-2022学年高一数学培优小卷（人教A版2019）
第4.5课时
函数的应用（二）
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意
1．已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．函数的零点是（
）
A．
B．和
C．和
D．以上都不是
3．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
级数
一级
二级
三级
每月应纳税所得额元（含税）
税率
3
10
20
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（
）
A．1800
B．1000
C．790
D．560
5．某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（
）
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
6．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
7．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有，则m的值为(　　)
A．7
B．8
C．9
D．10
8．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为
A．3
B．4
C．5
D．6
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意
9．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（
）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
10．已知函数若函数恰有2个零点，则实数m可以是（
）
A．
B．0
C．1
D．2
11．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．
则下列说法正确的是（
）
A．前5min温度增加的速度越来越快
B．前5min温度增加的速度越来越慢
C．5min以后温度保持匀速增加
D．5min以后温度保持不变
12．关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（
）
A．当时，，
B．若，则
C．当时，则
D．的零点是和
三、填空题。本大题共4小题
13．函数的零点是________．
14．已知函数的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N(字/分钟)所需的学习时间，N(字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时.
15．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.
所以f(x)在区间________内存在零点x0.填表：
区间
中点m
f(m)的符号
区间长度
16．函数在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是___________.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法.实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价格为(n+1)元时，比礼品价格为n(n∈N
)元时的销售量增加10%.
（1）写出礼品价格为n元时，利润关于n的函数关系式；
（2）请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润.
18．已知二次函数.
（1）若二次函数有零点，求实数的取值范围；
（2）如果是满足（1）的最大整数，且二次函数的零点是二次函数的一个零点，求的值及二次函数的另一个零点.
19．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系如下：当时，y是x的二次函数；当时，.
测得数据如表(部分).
x(克)
0
1
2
9
…
y
0
3
…
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求函数f(x)的最大值．
20．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P＝
(t∈N
)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？
21．某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量．
（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）
22．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
参考答案
1．B
【解析】解：因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，
所以，即
解得，
故选：B
2．C
【解析】令，即，解得：或，
的零点是和.
故选：.
3．C
【解析】随x的增大，指数函数的增长速度最快，
的增长速度最快，
故选：C.
4．C
【解析】解：李某月应纳税所得额（含税）为：元，
不超过3000的部分税额为元，
超过3000元至12000元的部分税额为元，
所以李某月应缴纳的个税金额为元．
故选：．
5．D
【解析】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.
故选：D.
6．D
【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为，故选D．
7．D
【解析】根据题意得＝ae5n，
令＝aent，即＝ent，
因为
＝e5n，故＝e15n，
故t＝15，m＝15－5＝10.
故选D
8．A
【解析】求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是或，根据题意画图：
所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.
9．ABD
【解析】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．
故选：．
10．ABC
【解析】因为函数恰有2个零点，
所以函数的图象与直线恰有两个交点，
画出函数的图象如图：
由图可知，或，结合选项，因此可以为-1，0，1．
故选：ABC．
11．BD
【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即前5min每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则BD正确．
故选：BD.
12．ABD
【解析】A选项，当时，原不等式可化为，解得，所以，；A正确；
B选项，设，所以；
因为不等式的解集为，，即不等式有解，所以必有，B正确；
C选项，令，当时，可由函数向上平移个单位得到；又的零点为和；函数的零点为和；所以；C错；
D选项，由C选项可知，，
所以，令可得或，即的零点是和.故D正确.
故选：ABD.
13．2和0
【解析】由题意，令即，解得或，
所以函数的零点是2和0.
故答案为：2和0.
14．144
【解析】当N=90时，.
故答案为：144.
15．答案见解析.
【解析】因为方程为x3＋3x－5＝0，
令f(x)=x3＋3x－5，
所以f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，
f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为
区间
中点m
f(m)的符号
区间长度
(1，2)
1.5
＋
1
(1，1.5)
1.25
＋
0.5
(1，1.25)
1.125
－
0.25
(1，125，1.25)
1.187
5
＋
0.125
(1.125，1.187
5)
1.156
25
＋
0.062
5
因为|1.187
5－1.125|＝0.062
5<0.1，
所以原方程的近似解可取为1.187
5.
故答案为：-5，-1，9，31，，表见解析；
16．
【解析】为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
，即，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
17．（1）；（2）当礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润.
【解析】（1）设未赠礼品时的销售量为m件，
则当礼品价格为n元时，销售量为m(1+10%)n件，
利润.
（2）令，即，解得，
所以.
令，即，解得，
所以.
答：当礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润.
18．（1）；（2），另一个零点为4.
【解析】（1）由题意得，所以，解得.
（2）由（1）可知，
所以方程的根，二次函数的零点是，
∴二次函数的一个零点是，
∴方程的一个根为2，
∴，解得，
∴，解得或，
所以二次函数的另一个零点为4.
19．（1）
；（2）4.
【解析】解：（1）当时，由题意，设，
由表格数据可得，解得
所以，当时，
当时，，由表格数据可得，解得
所以当时，
综上，
（2）当时，
所以当时，函数f(x)的最大值为4；
当时，单调递减，所以f(x)的最大值为
因为，所以函数的最大值为4.
20．销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
【解析】设日销售金额为元，则
，
即，
当时，，时有最大值900；
当时，是减函数，时有最大值1125.
综上所述，时有最大值1125，
所以，第25天日销售金额最大，最大值为1125元.
21．（1）（2）当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．
【解析】（1）由题意，
当时，
；
当时，
；
故
（2）当时，；
当时，（元
当时，（元
，
当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．
22．（1）f(x)＝；（2）475件．
【解析】（1）当05时，产品只能售出500件．
所以,
即f(x)＝.
（2）当0所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781
25(万元)．
当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．