4.4 对数函数 同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学培优卷（人教A版2019必修第一册）（Word含答案解析）

2021-2022学年高一数学培优小卷（人教A版2019）
第4.4课时
对数函数
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意
1．在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（
）
A．∪
B．∪
C．
D．
2．已知对数式（Z）有意义，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是（
）
A．0
B．1
C．2
D．a
4．已知函数的图像过点，而且其反函数的图像过点，则是（
）
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数
5．下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（
）
A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳
B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快
C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳
D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快
6．已知函数，则的增区间为（
）
A．（–∞，–1）
B．（–3，–1）
C．[–1，+∞）
D．[–1，1）
7．函数f(x)＝的单调递增区间为（
）
A．(－∞，－2)
B．(－∞，)
C．(－2，)
D．(5，＋∞)
8．函数的部分图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意
9．函数的图象过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．（多选）在同一直角坐标系中，函数（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．关于函数，下列描述正确的有（
）
A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B．函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=4
D．函数f(x)=0有且仅有两个根
12．已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（
）
A．-1
B．0
C．2
D．3
三、填空题。本大题共4小题
13．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数解析式是_________．
14．函数的图像恒过一定点______．
15．已知f(x)＝在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
16．设，若t在上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数．
（1）画出函数的草图，并根据草图求出满足的x的集合；
（2）若，且，求证：．
18．已知函数.
（1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域；
（2）判断并证明的单调性.
19．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系如下：当时，y是x的二次函数；当时，.
测得数据如表(部分).
x(克)
0
1
2
9
…
y
0
3
…
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求函数f(x)的最大值．
20．设函数为常数，且
（1）求的值；
（2）设，求不等式的解集．
21．已知函数(，且).
（1）求的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并求函数的单调区间.
22．设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
参考答案
1．B
【解析】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义，
则
解得
或
.
故选：B．
2．C
【解析】由题意可知:，解之得:且.
∵Z，∴的取值范围为.
故选：C.
3．C
【解析】∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2．
故选：C
4．A
【解析】由反函数的意义，可知当反函数的图象过点时，原函数的图象过点，
结合函数的图象过点，
可得，
即函数为，
由对数型复合函数可知函数为增函数，且为非奇非偶函数.
故选：A.
5．C
【解析】观察函数、在区间上的图象如下图所示：
函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢；
函数在区间上，递减较慢，且越来越慢．
同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢．
函数的图象递减速度比较平稳．
故选：C.
6．B
【解析】由，得，
当时，函数单调递增，所以函数单调递增；
当时，函数单调递减，所以所以函数单调递减，
故选：B.
7．A
【解析】由题意，得x2－3x－10>0，
∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5．
令u＝x2－3x－10，
函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，
所以函数f(x)＝的单调递增区间为(－∞，－2).
故选：A．
8．D
【解析】，，是偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B，C．，在x轴上方，所以排除A.
故选：D．
9．BCD
【解析】的图象相当于是把的图象向左平移2个单位，
作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二?三?四象限.
故选：BCD.
10．AC
【解析】由函数，
当a＞1时，可得是递减函数，图象恒过（0，1）点，
函数，是递增函数，图象恒过，
当1＞a＞0时，可得是递增函数，图象恒过（0，1）点，
函数，是递减函数，图象恒过；
∴满足要求的图象为：A，C
故选：AC
11．ABD
【解析】函数的图像如图所示：
由图可得：函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故A正确；
函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，故B正确；
若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则当x1，x2>2时，x1+x2>4，故C错误；
函数f(x)与x轴有且仅有两个交点，故D正确．
故选：ABD.
12．CD
【解析】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.
故选：CD.
13．y＝a(1＋r)x，x∈N
【解析】已知本金为a元，利率为r，
则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，
2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2
3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…
x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N
.
故答案为：y＝a(1＋r)x，x∈N
.
14．
【解析】由函数图像的平移公式，我们可得：将函数的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数的图像．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数的图像恒过点
故答案为：
15．(－4，4]
【解析】解析二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4故答案为：(－4，4]
16．
【解析】设，，则问题转化为：对恒成立，
∴，则，
∴，即，得或．
故x的取值范围是．
故答案为：．
17．（1）图见解析，(0，)∪(10，＋∞)；（2）证明见解析.
【解析】（1）画出函数的草图，如图所示：
令，则,即，可得或．
故满足的x的集合是(0，)∪(10，＋∞)；
（2）因为，且，
不妨设，则，
所以，
即，，
所以.
18．（1），定义域为；（2）在区间上单调递增，证明见解析.
【解析】（1）解析：∵，开平方得，
整理得，
∴，定义域为.
（2）在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
，
因为，，，
所以，即
19．（1）
；（2）4.
【解析】解：（1）当时，由题意，设，
由表格数据可得，解得
所以，当时，
当时，，由表格数据可得，解得
所以当时，
综上，
（2）当时，
所以当时，函数f(x)的最大值为4；
当时，单调递减，所以f(x)的最大值为
因为，所以函数的最大值为4.
20．（1）；（2）．
【解析】（1），；
（2）由（1）知：，；
①当时，，即，解得：；
②当时，，即，，
解得：，；
综上所述：的解集为.
21．（1）；（2）函数为奇函数；当时，函数在，上为减函数；当时，函数在，上为增函数.
【解析】（1）∵(且)，
∴，即，
解得或，
故函数的定义域，
（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称，
∵，
∴函数为奇函数，
设，则，
因为函数u在和上均为减函数，
当时，函数在为增函数，
所以函数在，上为减函数，
当时，函数在为减函数，
故函数在，上为增函数.
22．（1）6；（2）；（3），此时；，此时．
【解析】（1）；
（2），又，，，所以t的取值范围为；
（3）由，
令，，
当时，，即，解得，
所以
，此时；
当时，，即，
，此时．