江苏省泰兴市第二高级中学高一数学《函数中的几类易错问题》教案

函数中的几类易错问题
江苏省泰兴市第二高级中学 张杰
函数是高中数学的核心内容，也是高中数学中十分重要的概念之一。由于它涉及函数的定义域和值域、奇偶性、周期性、图象和解析式等问题，因而是高考中的必考内容，然而在学习中，学生对函数的内容经常会出现某些模糊的认识甚至错误，现对常见的问题给予列举，希望能够给大家以启发。
1．函数的定义域容易被忽略
例1：已知集合，若用列举法表
示集合，则A为（ ）
错解：原式转化为有
唯一的实数解，所以
答案：A
错因：忽略函数的定义域。
正解：原式等价于（）有唯一实数解。由图象可知，集合A有三个元素。故选D.
本题若用代数方法解，则讨论十分繁琐，而将方程的解转化为函数图象的公共点，利用数形结合的方法可简化讨论，避免繁冗的代数运算。
总结：由以上例题可以知道，只要遇到有关函数的问题，首当其冲考虑的问题是定义域，因为函数是由对应法则和定义域、值域组成的，给出的是对应法则，所以必须考虑定义域。
2、函数奇偶性性质应用不熟练
（1）f(x)是偶函数，等价于f(x)=f(|x|)；
（2）若函数f(x+a)是偶函数，则f(-x+a)=f(x+a)，即f(2a-x)=f(x)，也就是函数f(x)的图象关于直线x=a对称；
（3）．若函数f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)=-f(x+a)，即f(2a-x)=-f(x)，也就是函数f(x)的图象关于点(a，0)中心对称.
例2已知函数f(x+1)是偶函数，且x<1时，f(x)=x2+1，求x>1时，f(x)的解析式.
解析 关键是理解“f(x+1)是偶函数”的意义，即f(-x+1)=f(x+1). 然后利用对称性将x>1上f(x)的解析式求解转化到x<1上的解析式计算.
设x>1，则-x+2<1，于是f(-x+2)=(-x+2)2+1，而f(-x+2)=f(x)，从而f(x)=(-x+2)2+1.
故x>1时，f(x)的解析式为f(x)=x2-4x+5
例3 设定义域为(-∞，+∞)的偶函数f(x)在区间(0，+∞)上为减函数，解不等式f(x)>f(2x+1).
解析 如果分区间去讨论的话，不仅麻烦，而且容易导致分类不全的错误.我们可以借助偶函数的性质f(x)=f(|x|)来讨论.
对偶函数f(x)，不等式f(x)>f(2x+1)等价于f(|x|)>f(|2x+1|)，由于f(x)在区间(0，+∞)上为减函数，所以|x|<|2x+1|，解得x<-1或x>-.
所以原不等式的解集为.
3．函数周期的概念不清：
1．函数f(x)的最小正周期是T，则函数f(kx+b)(k≠0)的最小正周期为；
函数f(x)对任意x都有f(kx+b)=f(kx)，则b是函数f(x)的一个周期.
例4 已知f(x)是周期为T(T>0)的周期函数，那么f(2x+1)是(　　　　).
A.周期为T的周期函数　　　　　B.周期为2T的周期函数
C.周期为的周期函数　　　　　D.不是周期函数
　　解析　关键是理解周期函数的定义：对定义域内的任意一个自变量x，都有f(x+T)=f(x).注意这个正的常数T应是加在x上的.
因为f(x＋T)＝ f(x)，　所以f(2x+1)＝f(2x+1+T)=f[2(x+)+1].
所以f(2x+1)的周期为.
例5 (2003年北京春季高考)若存在常数，使得函数的一个正周期为 .
解析 这个题很容易误解为：由=得周期为. 导致这个错误的原因在于没有理解复合函数的意义.
令px=t，得，即，再令x为代入得，从而得到f(x)的一个正周期为.
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