2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元提升训练（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步能力提升训练（附答案）
1．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　）
A．6
B．36
C．64
D．8
2．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（　　）
A．1
B．2
C．12
D．13
4．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
5．在△ABC中，AB＝12cm，BC＝16cm，AC＝20cm，则S△ABC为（　　）
A．96cm2
B．120cm2
C．160cm2
D．200cm2
6．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（　　）
A．100cm
B．50cm
C．140cm
D．80cm
7．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）
A．1.2米
B．1.5米
C．2.0米
D．2.5米
8．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）cm．
A．14
B．15
C．16
D．17
9．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　）
A．23
B．46
C．65
D．69
10．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．13cm2
B．26cm2
C．48cm2
D．52cm2
11．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为　
　．
12．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为　
　cm2．
13．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝　
　．
14．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为　
　．
15．如图是一个四边形ABCD，若已知AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ABC＝90°，则这个四边形的面积是　
　cm2．
16．在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为　
　．
17．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是　
　．
18．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　
　；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　
　和　
　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过C作CF∥BD交ED于F．
（1）若∠A＝36°，求∠CFD的度数；
（2）若BC＝5，AB＝13，求AD的长度．
20．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两条直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答：
（1）图2中间小正方形的周长　
　，大正方形的边长为　
　．
（2）用两种方法表示图2正方形的面积．（用含a，b，c）
①S＝　
　；
②S＝　
　；
（3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式　
　．
（4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：
已知直角三角形的两条直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值．
21．已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，CD＝12，DA＝9；
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长．
参考答案
1．解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，
∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，
∴正方形A的面积为6，
故选：A．
2．解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，
由题意可得，，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，
∴这个直角三角形的面积＝ab＝．
故选：A．
3．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．
方法二、小正方形的边长就是|a﹣b|，其面积是1，
故选：A．
4．解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
5．解：∵122+162＝202，
∴由勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形，两直角边为12和16，
∴S△ABC＝×12×16＝96cm2．
故选：A．
6．解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，
∵正北方向和正东方向构成直角，
∴由勾股定理得＝100，
∴其距离为100cm．
故选：A．
7．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝1.5（米）
故选：B．
8．解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则
AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝15cm，
故选：B．
9．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）＝AC2﹣AB2＝132﹣102＝69．
故选：D．
10．解：∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2＝144，
∴（a+b）2﹣2ab＝144，
∴196﹣2ab＝144，
∴ab＝26，
∴S△ABC＝ab＝13cm2．
故选：A．
11．解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×c×h
可得h＝，
故答案为：．
12．解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，
则由勾股定理得：a2+b2＝c2，
则分别以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2＝7cm2+8cm2＝15cm2，
以斜边c为边长的正方形的面积是S＝c2＝a2+b2＝15cm2，
故答案为：15．
13．解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，
此时∠DAE＝∠FCG，
∵CF∥BD，
∴∠BAC＝∠FCA，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，
设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，
∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，
∴∠CAG＝90°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，
故答案为：45°．
14．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4＝18﹣6，
∴S正方形B＝8．
故答案为：8．
15．解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，
∴AC＝5cm，
∵CD＝12cm，DA＝13cm，
AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，
∴△ADC为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC
＝AC×CD﹣AB×BC
＝×5×12﹣×4×3
＝30﹣6
＝24（cm2）．
故四边形ABCD的面积为24cm2．
故答案为：24．
16．解：如图1，△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝20，AD＝12，
由勾股定理得，BD＝16，
在Rt△ADC中AC＝13，AD＝12，
由勾股定理得，DC＝5，
则BC的长为BD+DC＝9+16＝21，
△ABC的周长为：13+20+21＝54，
如图2，同（1）的作法相同，BC＝11，
△ABC的周长为：13+20+11＝44，
故答案为：44或54．
17．解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝4，
又∵S△ABC＝BC?AD＝BP?AC，
∴BP＝＝＝4.8．
故答案为：4.8．
18．解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，
∴n2+（）2＝（）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：，．
19．证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠A＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝27°，
∴∠BDC＝63°，
∵CF∥BD，
∴∠DCF＝∠BDC＝63°．
∵∠CDF＝∠ADE＝54°，
∴∠CFD＝180°﹣∠DCF﹣∠CDF＝63°．
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，
∴AC＝12，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴DC＝DE，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴AD＝．
20．解：（1）图2中间小正方形的周长4c，大正方形的边长为（a+b），
故答案为：4c；a+b；
（2）图2正方形的面积S＝（a+b）2或S＝2ab+c2，
故答案为：（a+b）2或2ab+c2；
（3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2；
（4）∵c2＝a2+b2＝82+62＝100，
∴c＝10（负值不合题意，舍去）．
21．解：（1）∵AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，
∴AC＝15；
（2）∵122+92＝152，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积为：×8×15+12×9＝60+54＝114．
22．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2
x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝