2021-2022学年北师大版数学八年级上册1.1探索勾股定理习题精练（Word版，附答案解析）

北师大版八年级第一章1.1探索勾股定理习题精练
一、选择题
在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
下列说法正确的是?
?
A.
若a，b，c是的三边，则
B.
若a，b，c是的三边，则
C.
若a，b，c是的三边，，则
D.
若a，b，c是的三边，，则
如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是
A.
121
B.
144
C.
169
D.
196
一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为
A.
13
B.
14
C.
D.
15
如图所示，已知中，，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于?
?
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，垂足为D，M为AD上任一点，则等于　　
A.
23
B.
46
C.
65
D.
69
意大利著名画家达芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为，右图中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是
A.
B.
C.
D.
利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图通过该图形，可以验证公式?
?
A.
B.
C.
D.
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A.
9
B.
6
C.
4
D.
3
由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为
A.
1
B.
3
C.
D.
二、填空题
已知中，，，，则______．
直角三角形的两直角边是3和4，则斜边是______
公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾，小正方形ABCD的面积是9，则弦c长为______．
如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成若较短的直角边，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图示的“数学风车”，若的周长是30，则这个风车的外围周长是______
．
三、解答题
如图，在中，，，，点D是外一点，连接DC，DB，且，求：四边形ABDC的面积．
在中，，，，
，，求c
，，求b．
用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形
解答下列问题：
请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．
方法1______；方法2______．
根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．
利用的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积．
勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，其中求证：．
?
?
?
?
?
?
?图1
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则．
，
，
．
．
将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，
其中请参照上述证法，证明．
?
?
?图2
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在直角三角形中，勾为3，股为4，
弦为．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：A、若不是直角三角形，则不成立，故本选项错误；
B、若c不是的斜边，则不成立，故本选项错误；
C、若?a、b、c是的三边，，则，故本选项错误；
D、若?a、b、c是的三边，，则，故本选项正确，
故选：D．??
3.【答案】C
【解析】解：直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，
直角三角形的较长直角边，
直角三角形斜边长，
大正方形的边长是13，
大正方形的面积是．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解：由勾股定理得，斜边长，
故选：A．
5.【答案】A
【解析】在中，，
，，
．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：在和中，
，，
在和中，
，，
．
故选D．?
7.【答案】B
【解析】解：观察图象可知：，
故选：B．
8.【答案】C
【解析】大正方形的面积可以表示为，
也可以表示为，
，
即，
．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
，
故选：D．
10.【答案】C
【解析】解：直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，
该直角三角形的另外一条直角边长为，
．
故选：C．
11.【答案】或
【解析】解：此题存在两种情况：
当高BD在内时，
在中，，，
，，
在中，，
当高BD在外时，
故答案为：或．
12.【答案】5
【解析】解：在直角三角形中，三边边长符合勾股定理，
已知两直角边为3、4，则斜边边长，
故答案为5．
13.【答案】15
【解析】解：小正方形的面积是9，
小正方形的边长是3，
勾，
股，
弦．
故答案为：15．
14.【答案】76
【解析】解：设“数学风车”中的四个全等的直角三角形的斜边长为x，，
则，，，
在中，由勾股定理得：，
的周长是30，
，
，
解得：，
“数学风车”的周长是：，
故答案为：76．
15.【答案】解：中，，，，
；
在中，，，，
，
是直角三角形，
四边形ABDC的面积．
【解析】在中，根据勾股定理即可求得BC的长；再利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式可求四边形ABDC的面积．
本题考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题的关键．
16.【答案】解：在中，，
；
．
17.【答案】解：方法1：大正方形的面积，
方法2：大正方形的面积；
故答案为：，；
因为大正方形的面积相等，所以；
由知，．
又，
所以．
所以小正方形的面积．
18.【答案】证明：?
如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，则．
，
，
，
．
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