2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3.2正方形的判定同步练习题（Word版，含答案）

1.3.2正方形的判定
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.(1)一个四边形满足__________________时，是正方形.
(2)一个平行四边形满足__________________时，是正方形.
(3)一个矩形满足__________________时，是正方形.
(4)一个菱形满足__________________时，是正方形.
2.如图，将一张矩形纸片对折两次(两条折痕互相垂直)，然后剪下一个角后，打开这个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成______角.
3.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA
的中点.若使四边形EFGH为正方形，则四边形ABCD的对角线应具有的性质是______.
二、选择题
4.如图，在菱形
ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是(
)
A.BD＝AB
B.AC＝AD
C.∠ABC＝90°
D.OD＝AC
5.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形.下列推理过程正确的是(
)
A.由②推出③，由③推出①
B.由①推出②，由②推出③
C.由③推出①，由①推出②
D.由①推出③，由③推出②
6.如图所示，两个含30°角的完全相同的三角板ABC和三角板DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是(
)
A.四边形ACDF是平行四边形
B.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D.四边形ACDF不可能是正方形
7.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，?ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF⊥BD分别交AB，CD于点F，E，连接
DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论.”有四位同学分别写出的结论如下：
小青：OE＝OF；小何：四边形
DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED＝S四边形FECB
；小雨：∠ACE＝∠CAF.
这四位同学写出的结论中不正确的是(
)
A.小青
B.小何
C.小夏
D.小雨
三、解答题
8.如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形.
9.如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形
BECF是什么四边形，并说明理由.
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论.
B组(中档题)
四、填空题
10.如图，在四边形
ABCD
中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则
DP的长是______.
　　　
11.如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD
和△ACD的高.给出下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是______.(填序号)
12.如图，分别以△ABC的三边为边作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形
AEFD为平行四边形；③当
AB＝AC，且∠BAC＝120°时，四边形
AEFD是正方形.其中正确的结论是______(请写出正确结论的序号).
五、解答题
13.如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点，过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E，F.
(1)求证：EB＝BF.
(2)当为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论.
(3)是否存在点A，B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与点B的坐标；若不存在，说明理由.
C组(综合题)
14.如图，四边形
ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形
DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形
DEFG是正方形.
(2)若AB＝2，CE＝，求CG的长度.
(3)当线段DE与正方形ABCD
的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数.
参考答案
1.3.2正方形的判定
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.(1)一个四边形满足对角线互相垂直平分且相等(答案不唯一)时，是正方形.
(2)一个平行四边形满足对角线互相垂直且相等(答案不唯一)时，是正方形.
(3)一个矩形满足对角线互相垂直(答案不唯一)时，是正方形.
(4)一个菱形满足对角线相等(答案不唯一)时，是正方形.
2.如图，将一张矩形纸片对折两次(两条折痕互相垂直)，然后剪下一个角后，打开这个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成45°角.
3.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA
的中点.若使四边形EFGH为正方形，则四边形ABCD的对角线应具有的性质是垂直且相等.
二、选择题
4.如图，在菱形
ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是(
C
)
A.BD＝AB
B.AC＝AD
C.∠ABC＝90°
D.OD＝AC
5.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形.下列推理过程正确的是(
A
)
A.由②推出③，由③推出①
B.由①推出②，由②推出③
C.由③推出①，由①推出②
D.由①推出③，由③推出②
6.如图所示，两个含30°角的完全相同的三角板ABC和三角板DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是(
B
)
A.四边形ACDF是平行四边形
B.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D.四边形ACDF不可能是正方形
7.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，?ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF⊥BD分别交AB，CD于点F，E，连接
DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论.”有四位同学分别写出的结论如下：
小青：OE＝OF；小何：四边形
DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED＝S四边形FECB
；小雨：∠ACE＝∠CAF.
这四位同学写出的结论中不正确的是(
B
)
A.小青
B.小何
C.小夏
D.小雨
三、解答题
8.如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.
∴△AEB≌△AFD(AAS).
∴AB＝AD.
∴矩形ABCD是正方形.
9.如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形
BECF是什么四边形，并说明理由.
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论.
解：(1)四边形BECF是菱形.理由如下：
∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC.
∴∠EBC＝∠ECB.
∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC＋∠A＝90°，∠ECB＋∠ACE＝90°.
∴∠A＝∠ACE.∴EC＝AE.
∴BE＝AE.
又∵CF＝AE.
∴BE＝EC＝CF＝BF.
∴四边形BECF是菱形.
(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形.
证明如下：∵∠ACE＝∠A＝45°，∴∠CEA＝90°.
∵四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形.
故当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形.
B组(中档题)
四、填空题
10.如图，在四边形
ABCD
中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则
DP的长是3.
　　　
11.如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD
和△ACD的高.给出下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是②③④.(填序号)
12.如图，分别以△ABC的三边为边作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形
AEFD为平行四边形；③当
AB＝AC，且∠BAC＝120°时，四边形
AEFD是正方形.其中正确的结论是①②(请写出正确结论的序号).
五、解答题
13.如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点，过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E，F.
(1)求证：EB＝BF.
(2)当为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论.
(3)是否存在点A，B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与点B的坐标；若不存在，说明理由.
解：(1)证明：∵OF是∠AOx的平分线，∴∠AOF＝∠FOx，
∵MN∥x轴，∴∠MFO＝∠FOx，
∴∠AOF＝∠MFO.∴BO＝BF.
同理：BO＝BE，
∴EB＝BF.
(2)当＝，四边形AEOF是矩形.
证明：∵＝，∴OB＝AB.
又∵BE＝BF，
∴四边形AEOF是平行四边形.
∵OE，OF是角平分线，∴∠EOF＝90°，
∴四边形AEOF是矩形.
(3)存在点A，B使四边形AEOF为正方形，
∵MN∥x轴，
∴当A点在y轴时，即A点坐标为(0，4)时，有OA⊥EF，此时，取OA的中点B(0，2)，由(2)知四边形AEOF是矩形.
∴四边形AEOF为正方形.
∴存在A(0，4)，B(0，2)，使四边形AEOF为正方形.
C组(综合题)
14.如图，四边形
ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形
DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形
DEFG是正方形.
(2)若AB＝2，CE＝，求CG的长度.
(3)当线段DE与正方形ABCD
的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数.
解：(1)证明：过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q.
∴∠EQF＝∠EPD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA＝∠BCA.
∴EQ＝EP，∠QEC＝∠PEC＝45°.
∴∠QEF＋∠FEC＝45°.
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°.
∴∠PED＋∠FEC＝45°.
∴∠QEF＝∠PED.
∴△EQF≌△EPD(ASA).
∴EF＝ED.
∴矩形DEFG是正方形.
(2)在Rt△ABC中，AC＝＝AB＝2.
∵CE＝，∴AE＝CE＝AC.
∴点F与点C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝.
(3)①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°；
②当DE与
DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°.
综上所述，∠EFC＝120°或30°.