2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3.1正方形的性质同步练习题 （word版含答案）

1.3.1正方形的性质
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴上，点D的坐标为(3，5)，则点A的坐标为_______.
　　　
2.如图，边长为5的正方形ABCD与直角三角板如图放置，延长CB与三角板的直角边相交于点E，则四边形AECF的面积为_______.
3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠BED的度数为_______.
　　　
4.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥l于点E，BF⊥l于点F.若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_______.
二、选择题
5.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是(
)
A.邻边相等
B.对角线互相平分
C.四个角都是直角
D.对角线相等
6.如图，在正方形
ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
7.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为(
)
A.4
B.6
C.8
D.5
8.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且
EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形
ABCD的边长为a，则重叠部分四边形
EMCN的面积为(
)
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
三、解答题
9.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证：AE＝BF.
10.如图，E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接
EB，EA，延长BE交边AD于点F.
(1)求证：△ADE≌△BCE.
(2)求∠AFB的度数.
B组(中档题)
四、填空题
11.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，2)，以AB为边作正方形ABCD，则点C的坐标为_______.
12.如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以
BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接
DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接
MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝_______.
13.如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为_______.
五、解答题
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心.若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF，BC于点M，N，求线段MN的长.
C组(综合题)
15.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图1，在等边△ABC中，M是
BC边上一点(不含端点B，C)，N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN.求证：∠AMN＝60°.
点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与
NC
的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM.易证得△ABM≌△EBM(SAS)，可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3＋∠1＝∠4＋∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5；又因为∠2＋∠6＝120°，所以∠5＋∠6＝120°，则∠AMN＝60°.
问题：如图3，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点(不含端点B1，C1)，N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1.求证：∠A1M1N1＝90°.
参考答案
1.3.1正方形的性质
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴上，点D的坐标为(3，5)，则点A的坐标为(－2，5).
　　　
2.如图，边长为5的正方形ABCD与直角三角板如图放置，延长CB与三角板的直角边相交于点E，则四边形AECF的面积为25.
3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠BED的度数为45°.
　　　
4.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥l于点E，BF⊥l于点F.若DE＝4，BF＝3，则EF的长为7.
二、选择题
5.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是(
B
)
A.邻边相等
B.对角线互相平分
C.四个角都是直角
D.对角线相等
6.如图，在正方形
ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(
C
)
A.1
B.2
C.3
D.4
7.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为(
D
)
A.4
B.6
C.8
D.5
8.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且
EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形
ABCD的边长为a，则重叠部分四边形
EMCN的面积为(
D
)
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
三、解答题
9.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证：AE＝BF.
证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.
∵CE＝DF，∴BE＝CF.
在△AEB和△BFC中，
∴△AEB≌△BFC(SAS).
∴AE＝BF.
10.如图，E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接
EB，EA，延长BE交边AD于点F.
(1)求证：△ADE≌△BCE.
(2)求∠AFB的度数.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC.
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE.
∴∠ADE＝∠BCE＝30°.
∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE(SAS).
(2)∵△ADE≌△BCE，∴AE＝BE.
∴∠BAE＝∠ABE.
∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，
∴∠DAE＝∠AFB.
∵AD＝CD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA.
∵∠ADE＝30°，
∴∠DAE＝75°.
∴∠AFB＝75°.
B组(中档题)
四、填空题
11.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，2)，以AB为边作正方形ABCD，则点C的坐标为(2，6)或(－2，－2).
12.如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以
BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接
DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接
MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝.
13.如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为6－2.
五、解答题
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心.若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF，BC于点M，N，求线段MN的长.
解：连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于点S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于点T.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AH＝HC.
又∵Q是AB中点，
∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2.
同理：PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，
∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ.
∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°.
∵OT⊥QH，
∴四边形POTQ是矩形.
∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4.
∴TH＝2.
∴OH＝＝
＝2.
∴MN＝2OH＝4.
C组(综合题)
15.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图1，在等边△ABC中，M是
BC边上一点(不含端点B，C)，N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN.求证：∠AMN＝60°.
点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与
NC
的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM.易证得△ABM≌△EBM(SAS)，可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3＋∠1＝∠4＋∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5；又因为∠2＋∠6＝120°，所以∠5＋∠6＝120°，则∠AMN＝60°.
问题：如图3，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点(不含端点B1，C1)，N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1.求证：∠A1M1N1＝90°.
证明：延长A1B1至点E，使
EB1＝A1B1，连接EM1，EC1，
则EB1＝B1C1，∠EB1M1＝∠A1B1M1＝90°.
∴△EB1C1是等腰直角三角形.
∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°.
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，
∴∠M1C1N1＝90°＋45°＝135°.
∴∠B1C1E＋∠M1C1N1＝180°.
∴E，C1，N1三点共线.
在△A1B1M1和△EB1M1中，
∴△A1B1M1≌△EB1M1
(SAS).
∴A1M1＝EM1，∠B1A1M1＝∠B1EM1.
∵A1M1＝M1N1，
∴EM1＝M1N1.
∴∠M1EC1＝∠C1N1M1.
∵∠B1EM1＋∠M1EC1＝45°，∠C1N1M1＋∠N1MC1＝45°，
∴∠B1A1M＝∠B1EM1＝∠N1MC1.
∵∠B1A1M＋∠A1MB1＝90°，
∴∠N1MC1＋∠A1MB1＝90°.
∴∠A1M1N1＝180°－90°＝90°.