24.2.2直线与圆的位置关系-第3课时 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
24.2.2直线与圆的位置关系
---第3课时
人教版
九年级上
教学目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
（难点）
3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，
掌握内心的性质.（重点）
情境导入
同学们玩过空竹吗？在空竹旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
合作探究
思考1：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
P
O
B
A
O.
P
A
B
探究一：切线长定理
合作探究
P
1.切线长的定义：
切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量；
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里？
合作探究
思考2：
PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，在半透明纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB,
∠APO与∠BPO有什么关系？
发现：PA=PB，
∠
APO=
∠
BPO
你能证明这一发现吗？
B
P
O
A
合作探究
已知：如图，PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：∵PA、PB是☉O的两条切线，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP.
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证：
∴
OA⊥PA，OB⊥PB.
O.
P
A
B
合作探究
切线长定理:
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA
=
PB
∠OPA=∠OPB
符号语言:
O.
P
A
B
合作探究
思考3:若连接两切点A、B，AB交OP于点C.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA、PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.
O.
P
A
B
C
还有吗？
合作探究
（1）图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB
⊥PB，AB
⊥OP
（3）图中所有的全等三角形
△AOP≌
△BOP，
△AOC≌
△BOC，
△ACP≌
△BCP
（4）图中所有的等腰三角形
△ABP
、△AOB
（2）图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
O.
P
A
B
温馨提示：切线长定理为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直提供了新的方法.
趁热打铁
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=_____
P
A
B
C
O
60°
（4）OP交⊙O于M，则
，ＡＢ
ＯＰ
ＡＭ＝ＢＭ
⌒
⌒
M
⊥
（3）若∠P=70°，则∠AOB=
°
110
（1）若PA=4、PM=2，则圆O的半径OA
______
=3
1、如图，PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，填空：
趁热打铁
2、已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切
与点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E
、F、G、H，
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
∴
AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴
AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
趁热打铁
3、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
E
A
Q
P
F
B
O
证明：∵PA、PB、EF为切线
∴EQ=EA,
FQ=FB,PA=PB
∴
PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
∴周长为24cm
合作探究
探究二：三角形内切圆及作法
小杨在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
合作探究
思考1：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
合作探究
三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
思考2：
如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1)
如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
(2)
在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
为什么呢？
合作探究
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
做一做
A
B
C
合作探究
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
如图：
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
概念要点：
合作探究
B
A
C
O
思考3：
如图，☉O是△ABC的内切圆，那么AO、BO、CO有什么特点？
合作探究
B
A
C
O
思考4：如图，☉O是△ABC的内切圆，过点O分别作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F、G，那么线段OE、OF、OG之间有什么关系？
E
F
G
解：OE=OF=OG
合作探究
★三角形内心的性质:
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
B
A
C
I
E
F
G
AI、BI、CI
分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，
IE=IF=IG.
典例精析
例1、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.
解:
设
AF=x
cm，则
AE=xcm，
CD=CE=AC－AE=13－x，
BD=BF=AB－AF=9－x，
由BD+CD=BC可得
（9-x）
+（13-x）=14.
解得
x=4.
因此
AF=4cm，
BD=5
cm，
CE=9
cm.
·
C
A
B
E
F
O
D
趁热打铁
1、如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70
°，点I是△ABC的内心，求∠BOC的度数.
解：连接OB，OC.
A
B
C
O
∵点O是△ABC的内心，
∴BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB.
在△OBC中，
合作探究
比一比
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
中垂线的交
点
1.OA=OB=OC；
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.内心到三边的距离相等；
2.AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;
3.内心在三角形内部
A
B
O
A
B
C
I
趁热打铁
1.如图，在△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD.
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD.
∴BD=ID．
综合演练
1.如图,已知△ABC的内切圆☉O与各边相切于点D,E,F,则点O是△DEF的(
　　)
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
D
2.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点
分别是A、B.若AP=6，∠APB=
80°，
则∠APO=
，PB=
.
40°
6
综合演练
(3)若∠BIC=100
°，则∠A
=
°；
(2)若∠A=80
°，则∠BIC
=
°；
130
20
3.如图，在△ABC中，点I是内心.
(1)若∠ABC=50°，
∠ACB=70°，则∠BIC=_____°；
A
B
C
I
(4)试探索：
∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
120
综合演练
4.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=6，AB=7，BC=8，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为______.
7
5.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,C为劣弧AB上一点,∠APB=30°,则∠ACB=_____
105°
综合演练
6、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切，且测得PA=5
cm，求铁环的半径．
B
C
综合演练
在Rt△OPA中，PA＝5cm，∠POA＝30°.
O
Q
解：设铁环的圆心为O，AB与⊙O相切于点Q，连接OP、OA、OQ.
∵AP、AQ为⊙O的切线，
又∠PAQ＝180°－60°=120°，
即铁环的半径为
B
C
∴OA=2PA=10
cm.
∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
∴
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO=∠QAO.
综合演练
证明：连接BD.
∵AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B，
∴DC=BC，CO平分∠DCB．
∴OC⊥BD．
∵BE为⊙O的直径，
∴DE⊥BD．
∴DE∥OC．
7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
提能训练
8.如图,已知AB是☉O的直径,DC是☉O的切线,点C是切点,AD⊥DC,垂足为D,且与圆O相交于点E.
(1)求证:∠DAC=∠BAC.
(2)若☉O的直径为5cm,EC=3cm,求AC的长
∵DC切☉O于C,∴OC⊥DC,
∵AD⊥DC,∴AD∥OC,
∴∠DAC=∠OCA,∵OA=OC,
∴∠BAC=∠OCA,∴∠DAC=∠BAC.
(2)∵∠DAC=∠BAC,∴EC=BC=3,
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
由勾股定理得,AC=4
解:(1)连接OC,
课堂总结
说一说
1、什么是切线长定理？
2、由切线长定理我们还能的到哪些角相等、线段相等、线段垂直？
3、如何去作三角形的内切圆？
4、什么是三角形的内心？它有什么性质？
5、常见的辅助线该如何去作？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题24.2
P101页：6、11
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