2020-2021学年湖南省长沙市天心区九年级（下）期中数学试卷(word解析版)

2020-2021学年湖南省长沙市天心区九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列实数是无理数的是（　　）
A．0
B．
C．
D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）2021年2月27日，岳麓山多个地方人头攒动，当日麓山景区接待游客122700人次，高居全省各景区第一位，其中122700用科学记数法表示为（　　）
A．1.227×105
B．1.227×106
C．1.227×104
D．0.1227×107
4．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5
B．3a﹣2a＝1
C．（3a）2＝9a
D．a?a2＝a3
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　）
A．4
B．2
C．1
D．﹣4
6．（3分）圆锥的底面圆的半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是（　　）
A．10π
B．15π
C．30π
D．45π
7．（3分）不等式组的解在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）
A．逐渐增大
B．不变
C．逐渐减小
D．先增大后减小
9．（3分）如图，AB∥CD，∠A＝47°，∠C＝28°，则∠AEC的大小应为（　　）
A．19°
B．29°
C．65°
D．75°
10．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长（　　）
A．2π
B．π
C．
D．
11．（3分）植树节这天有20名同学种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（　　）
A．8
B．12
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是　
　．（填“甲”或“乙”）
14．（3分）分解因式：2a3﹣8a＝　
　．
15．（3分）在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，则cosA＝　
　．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，则其解析式为　
　．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x﹣4y），其中，x＝1，y＝﹣1．
19．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作图题：在AC边上，找一个点D，使点D到AB的距离等于DC，下列选项中，选出作法正确的　
　；
①取AC的中点D；
②用尺规作角B的平分线，交AC于点D；
③用尺规作AB边的中垂线，交AC或其延长线于点D；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，AC＝4，求CD的长．
20．（8分）随着手机互联网技术的迅猛发展，越来越多的市民喜欢用手机APP进行沟通交流．某校数学兴趣小组为了解长沙某社区20～60岁居民最喜欢的手机APP沟通方式，针对给出的四种APP（A：微信、B：QQ、C：钉钉、D：其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数是　
　；
（2）补全条形统计图；
（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．
（1）求证：FH＝ED；
（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数．
22．（9分）在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.2元，且用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3960元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若，求．
24．（10分）我们约定：图象关于y轴对称的函数称为“Even函数”．例如：函数y＝x2的图象关于y轴对称，则称函数y＝x2是“Even函数”．
（1）下列函数是“Even函数”的有　
　（填序号）；
①y＝﹣x2+2020；
②y＝2x+3；
③y＝；
④y＝2x2﹣5x．
（2）已知二次函数y＝kx2+（k2﹣1）x+4（k为常数）是“Even函数”，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为M，点P是抛物线的对称轴上的一个动点．连接PB，求PM+PB的最小值．
（3）将（2）中“Even函数”图象进行平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c（c≠0）的图象，其图象与y轴交于点C，与x轴交点A'、B'之间的距离为4，且以A'B'为直径的圆恰好经过点C，求a，b，c的值．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它与x轴的另一个交点记作点C，对称轴是直线x＝2，点P在对称轴上，从抛物线上的点A出发，沿对称轴向上运动，运动时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图，连接OA，AC，当点B位于直线AC下方的抛物线上（不与点A，C重合）时，过点B作BD∥OA交AC于点D，求线段BD的最大值；
（3）连接AB，若点P的运动速度为每秒个单位，当△AOB为直角三角形时，求t的值．
2020-2021学年湖南省长沙市天心区九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列实数是无理数的是（　　）
A．0
B．
C．
D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、属于无理数，故本选项符合题意；
C、是分数，是有理数，故本选项不符合题意；
D、﹣＝﹣4，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
3．（3分）2021年2月27日，岳麓山多个地方人头攒动，当日麓山景区接待游客122700人次，高居全省各景区第一位，其中122700用科学记数法表示为（　　）
A．1.227×105
B．1.227×106
C．1.227×104
D．0.1227×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：122700＝1.227×105．
故选：A．
4．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5
B．3a﹣2a＝1
C．（3a）2＝9a
D．a?a2＝a3
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
B、3a﹣2a＝a，故本选项不合题意；
C、（3a）2＝9a2，故本选项不合题意；
D、a?a2＝a3，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　）
A．4
B．2
C．1
D．﹣4
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，
解得：c＝4．
故选：A．
6．（3分）圆锥的底面圆的半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是（　　）
A．10π
B．15π
C．30π
D．45π
【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
【解答】解：由勾股定理得：母线l＝＝＝5，
∴S侧＝?2πr?l＝πrl＝π×3×5＝15π．
故选：B．
7．（3分）不等式组的解在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．
【解答】解：由不等式①，得2x＞2，解得x＞1，
由不等式②，得﹣2x≤﹣4，解得x≥2，
∴数轴表示的正确的是C选项，
故选：C．
8．（3分）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）
A．逐渐增大
B．不变
C．逐渐减小
D．先增大后减小
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，由反比例函数的性质可知无论B点怎样变化△OBD的面积不变，当点B的横坐标逐渐增大时纵坐标减小，故△ABD的面积减小，所以△OAB的面积将会减小．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵B是双曲线y＝上的点，
∴无论B点怎样变化△OBD的面积不变，
∵当点B的横坐标逐渐增大时纵坐标减小，
∴△ABD的面积减小，
∴△OAB的面积将会减小．
故选：C．
9．（3分）如图，AB∥CD，∠A＝47°，∠C＝28°，则∠AEC的大小应为（　　）
A．19°
B．29°
C．65°
D．75°
【分析】先根据平行线的性质可得出∠C＝∠B＝28°，再由外角定理即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝28°，
∴∠AEC＝∠A+∠B＝28°+47°＝75°．
故选：D．
10．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长（　　）
A．2π
B．π
C．
D．
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B＝135°，
∴∠D＝180°﹣135°＝45°，
∴∠AOC＝90°，
则的长＝＝π．
故选：B．
11．（3分）植树节这天有20名同学种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．
【解答】解：设男生有x人，女生有y人，
根据题意可得：，
故选：A．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（　　）
A．8
B．12
C．
D．
【分析】由折叠可得，BE＝B'E＝AE，点B′在以E为圆心EA为半径的圆弧上运动．当D、B′、E共线时，B′D的长度最小．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E＝BE＝4，即可求出B′D的最小值．
【解答】解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心EA为半径的圆弧，
∴当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．
根据折叠的性质，可得△EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，EB′＝EB，
∵E是AB边的中点，AB＝8，
∴AE＝EB′＝4，
∵AD＝BC＝12，
∴DE＝＝4，
∴DB′＝DE﹣B'E＝﹣4．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是　甲　．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵，，
∴S甲2＜S乙2，
∴射击成绩较稳定的是甲；
故答案为：甲．
14．（3分）分解因式：2a3﹣8a＝　2a（a+2）（a﹣2）　．
【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
15．（3分）在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，则cosA＝　　．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，
由勾股定理得，AC＝＝8，
则cosA＝＝＝，
故答案为：．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，则其解析式为　y＝x2+x　．
【分析】根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，通过变形，可以分别求出a、b、c的值，从而可以得到二次函数的解析式．
【解答】解：y＝ax2+bx+c，对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，
∴对一切实数x恒有x≤ax2+bx+c≤2x2+，
∴当x＝0时，0≤c≤，
∵c为整数，
∴c＝0，
∴x≤ax2+bx≤2x2+，
当ax2+bx≥x时，可得ax2+（b﹣1）x≥0，
∴，
解得b＝1，
∴ax2+x≤2x2+，
∴（2﹣a）x2﹣x+≥0，
∴当a＝2时，﹣x+≥0不是对于一切x成立，故不符合题意；
当a≠2时，，
解得a≤1，
又∵a＞0且为整数，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2+x，
故答案为：y＝x2+x．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝﹣1﹣3+1﹣2×
＝﹣3﹣
＝﹣3．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x﹣4y），其中，x＝1，y＝﹣1．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+4xy
＝4y2，
当x＝1，y＝1时，
原式＝4×1＝4．
19．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作图题：在AC边上，找一个点D，使点D到AB的距离等于DC，下列选项中，选出作法正确的　②　；
①取AC的中点D；
②用尺规作角B的平分线，交AC于点D；
③用尺规作AB边的中垂线，交AC或其延长线于点D；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，AC＝4，求CD的长．
【分析】（1）利用角平分线的性质定理解决问题即可．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：（1）作∠ABC的角平分线交AC于点D．
故答案为：②．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵DE⊥AB
设CD＝x，则DE＝x，
在△ADE中：AD2＝AE2+DE2，
即：（4﹣x）2＝4+x2，
解得：，
∴CD的长为．
20．（8分）随着手机互联网技术的迅猛发展，越来越多的市民喜欢用手机APP进行沟通交流．某校数学兴趣小组为了解长沙某社区20～60岁居民最喜欢的手机APP沟通方式，针对给出的四种APP（A：微信、B：QQ、C：钉钉、D：其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数是　500人　；
（2）补全条形统计图；
（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果．
【分析】（1）根据A的人数÷其所占的比例＝参与问卷调查的总人数；
（2）求出C的人数，再将条形统计图补充完整即可；
（3）列表得出所有结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）200÷40%＝500（人），
即参与问卷调查的总人数为500人，
故答案为：500人；
（2）500×15%＝75（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）根据题意列表如下：
所有可能结果如下：AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC共9种，
小强和爸爸选择同一种APP的可能结果有AA，BB，CC共3种，
∴小强和他爸爸选择同一种APP的概率为．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．
（1）求证：FH＝ED；
（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数．
【分析】（1）根据正方形的性质，可得EF＝CE，再根据∠CEF＝∠90°，进而可得∠FEH＝∠DCE，结合已知条件∠FHE＝∠D＝90°，利用“AAS”即可证明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性质可得FH＝ED；
（2）根据矩形的性质得到CD＝AB＝3，求得DE＝4，根据全等三角形的性质得到FH＝DE＝4，EH＝CD＝3，得到AH＝FH，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，
∴CE＝EF，
∵∠FEC＝∠FEH+∠CED＝90°，∠DCE+∠CED＝90°，
∴∠FEH＝∠DCE，
在△FEH和△ECD中，
∴△FEH≌△ECD（AAS），
∴FH＝ED；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，
∴CD＝AB＝3，
∵AE＝1，
∴DE＝4，
∵△FEH≌△ECD，
∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3，
∴AH＝4，
∴AH＝FH，
∵∠FHE＝90°，
∴∠FAD＝45°．
22．（9分）在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.2元，且用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3960元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设B型口罩的单价为x元，则A型口罩的单价为（x+1.2）元，根据“用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A型口罩的数量是a个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3960元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设B型口罩的单价为x元，则A型口罩的单价为（x+1.2）元，
根据题意，得：．
解方程，得：x＝1.8．
经检验：x＝1.8是原方程的根，且符合题意．
所以x+1.2＝3．
答：A型口罩的单价为3元，则B型口罩的单价为1.8元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是a个，则购买B型口罩的数量是2a个．
根据题意，得：3a+1.8×2a≤3960．
解不等式，得：a≤600．
答：增加购买A型口罩的数量最多是600个．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若，求．
【分析】（1）根据题意，作出合适的辅助线，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，即可证明结论成立；
（2）根据题意和锐角三角函数、三角形相似，可以得到BE和AC的关系，然后即可得到的值．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
又∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠ACB，
∴∠ODC＝∠B，
∴OD∥AB，
∵EF⊥AB，
∴OD⊥EF，
又∵OD是圆的半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）∵tan∠CFD＝，
∴tan∠CFD＝＝，
设AE＝3k，EF＝4k，则AF＝5k，
由（1）知OD∥AB，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴，
∴3（5k﹣OA）＝5OA，
解得OA＝，
∴AB＝AC＝，
∴BE＝AB﹣AE＝﹣3k＝k，
∴．
24．（10分）我们约定：图象关于y轴对称的函数称为“Even函数”．例如：函数y＝x2的图象关于y轴对称，则称函数y＝x2是“Even函数”．
（1）下列函数是“Even函数”的有　①③　（填序号）；
①y＝﹣x2+2020；
②y＝2x+3；
③y＝；
④y＝2x2﹣5x．
（2）已知二次函数y＝kx2+（k2﹣1）x+4（k为常数）是“Even函数”，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为M，点P是抛物线的对称轴上的一个动点．连接PB，求PM+PB的最小值．
（3）将（2）中“Even函数”图象进行平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c（c≠0）的图象，其图象与y轴交于点C，与x轴交点A'、B'之间的距离为4，且以A'B'为直径的圆恰好经过点C，求a，b，c的值．
【分析】（1）y＝﹣x2+2020和y＝的图象关于y轴对称；
（2）由题意先求出二次函数解析式为y＝﹣x2+4，再求出，过点P作PG⊥AM于G，在Rt△PMG中，，所以PM+PB＝PG+PB，过点B作BH⊥AM于点H，则PG+PB≥BH，线段BH的长就是PM+PB的最小值；
（3）由平移过程中a的值不变，则平移得到新的二次函数为y＝﹣x2+bx+c，设A'（x1，0），B'（x2，0）（x1＜x2），由根与系数关系可知：x1+x2＝b，x1x2＝﹣c，AB＝4，可得b2+4c＝16，圆心为F（，0），则（）2+c2＝4，得b2+4c2＝16，联立方程组，即可求b、c的值．
【解答】解：（1）①y＝﹣x2+2020对称轴为y轴，是“Even函数”，
②y＝2x+3图象是直线，不是“Even函数”，
③y＝图象关于y轴对称，是“Even函数”，
④y＝2x2﹣5x＝2（x﹣）2﹣，对称轴为直线x＝，不是“Even函数”，
∴①③关于y轴对称，是“Even函数”，
故答案为①③；
（2）如图1，
∵二次函数y＝kx2+（k2﹣1）x+4（k为常数）是“Even函数”，
∴，
解得：k＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4，
据图形的对称性可知∠AMO＝∠BMO，AM＝BM＝2，
∴，
过点P作PG⊥AM于G，
∴在Rt△PMG中，，
∴PM+PB＝PG+PB，
过点B作BH⊥AM于点H，则PG+PB≥BH，
∴线段BH的长就是PM+PB的最小值，
∵＝8，
又∵，
∴，即
，
∴PM+PB的最小值为；
（3）如图2，
∵平移抛物线时，开口方向和形状都不变，即a的值不变，
∴平移得到新的二次函数为y＝﹣x2+bx+c，
由题意知，新函数的图象与x轴交于A'，B'两点（A'在B'的左侧），与y轴交于点C，
设A'（x1，0），B'（x2，0）（x1＜x2），
令x＝0，得y＝c，
∴C（0，c），
∵A'B'＝4，
∴x2﹣x1＝4，
由根与系数关系可知：x1+x2＝b，x1x2＝﹣c，
∵（x1+x2）2﹣4x1x2＝（x2﹣x1）2，
∴b2+4c＝42，即b2+4c＝16，
∵以A'B'为直径的圆恰好经过点C，
∴该圆的圆心为F（，0），即F（，0），
∴CF＝2，即（）2+c2＝4，
整理，得：b2+4c2＝16，
联立方程组，
∵c≠0，
∴解得：，；
∴或．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它与x轴的另一个交点记作点C，对称轴是直线x＝2，点P在对称轴上，从抛物线上的点A出发，沿对称轴向上运动，运动时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图，连接OA，AC，当点B位于直线AC下方的抛物线上（不与点A，C重合）时，过点B作BD∥OA交AC于点D，求线段BD的最大值；
（3）连接AB，若点P的运动速度为每秒个单位，当△AOB为直角三角形时，求t的值．
【分析】（1）由已知可得c＝0，，即可求解析式；
（2）设直线AC与y轴交于点H，过点B作BE∥y轴交AC于点E，先证明△OHA∽△BED，再求出直线AC的解析式为y＝2x﹣8，分别求出OH＝8，OA＝2，则可求BD＝，设点B（a，a2﹣4a），则点E（a，2a﹣8），所以BE＝﹣（a﹣3）2+1，当a＝3时，BE取最大值1，此时
BD取最大值；
（3）分三种情况讨论：①若OB2＝OA2+AB2，可求直线OB解析式为，P（2，﹣3），所以；②若AB2＝OA2+OB2，可求直线OB解析式为，P（2，1），所以；③若OA2＝AB2+OB2，可求直线OB解析式为y＝﹣x，P（2，﹣2），所以；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，
∴c＝0，，
∴b＝﹣4，c＝0，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；
（2）设直线AC与y轴交于点H，过点B作BE∥y轴交AC于点E，
∴∠OHA＝∠BED，
∵OA∥BD，
∴∠OAD＝∠BDA，
∴∠OAH＝∠BDE，
∴△OHA∽△BED，
∴，
由点A（2，﹣4），点C（4，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣8
∴点H（0，8），
∴OH＝8，
又∵OA＝，
∴，
∴BD＝，
设点B（a，a2﹣4a），则点E（a，2a﹣8），
∴BE＝（2a﹣8）﹣（a2﹣4a）＝﹣a2+6a﹣8＝﹣（a﹣3）2+1，
当a＝3时，BE取最大值1，此时
BD取最大值；
（3）∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴点A（2，﹣4），
又∵点B（a，a2﹣4a），
∴OA2＝22+42＝20，OB2＝a2+（a2﹣4a）2，AB2＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，
①若OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，
解得a＝2（舍）或，
∴，，
∴直线OB解析式为，
当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），
∴；
②若AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，
解得a＝0（舍）或，
∴，，
∴直线OB解析式为，
当x＝2时，y＝1，即P（2，1），
∴；
③若OA2＝AB2+OB2，则20＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，
整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18＝0，
∴a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18
＝a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）
＝（a﹣3）（a2﹣5a+6）
＝（a﹣3）2（a﹣2）
＝0，
∴a＝3或a＝2（舍），
∴B（3，﹣3），
∴直线OB解析式为y＝﹣x，
当x＝2时，y＝﹣2，即P（2，﹣2），
∴；
综上所述，当△AOB为直角三角形时，t的值为2或4或10．