2020-2021学年河北省唐山市路南区七年级（下）期末数学试卷(word解析版)

2020-2021学年河北省唐山市路南区七年级（下）期末数学试卷
一、精心选一选（本大题共12个小题；16小题每题3分，7-12小题每题2分满分共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）在某个电影院里，如果用（2，15）表示2排15号，那么图框中的座次可以表示为（　　）
A．（2，15）
B．（2，5）
C．（5，9）
D．（9，5）
2．（3分）以下问题，不适合全面调查的是（　　）
A．调查我市中学生心理健康现状
B．调查和一新冠肺炎感染者密切接触人群
C．检测长征运载火箭的零部件质量情况
D．调查某中学在职教师的身体健康状况
3．（3分）4的平方根是（　　）
A．±2
B．2
C．﹣2
D．±
4．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）若+|2y+1|＝0，则x+y的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣
D．
6．（3分）下列表示的不等关系中，正确的是（　　）
A．a不是负数，表示为a＞0
B．m比4至少多1，表示为m﹣4≥1
C．x与1的和是非负数，表示为x+1＞0
D．x不大于5，表示为x＜5
7．（2分）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（　　）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
8．（2分）在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（﹣2，m），当线段AB最短时，m的值为（　　）
A．5
B．3
C．4
D．0
9．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2分）某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转80°，则结果指针的指向（　　）
A．南偏东30°
B．北偏西40°
C．南偏东40°
D．北偏西50°
11．（2分）如图，将长方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大18°．设∠BAE和∠BAD的度数分别为x，y，那么x，y所适合的一个方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第21秒时，点P的坐标为（　　）
A．（21，﹣1）
B．（21，0）
C．（21，1）
D．（22，0）
二、填空题（本大题共6个小题：每小题2分，满分共12分.把答案写在题中横线上）
13．（2分）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是
　
　．
14．（2分）写出数轴上在哪两个邻近的整数之间
　
　．
15．（2分）若是方程ax﹣y＝1的一个解，则a的值是
　
　．
16．（2分）如果点P在第四象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标为
　
　．
17．（2分）如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝　
　．
18．（2分）某纸厂要制作如图的甲、乙两种无盖的小长方体盒子．该厂利用边角材料裁出了长方形和正方形两种纸片，其中长方形纸片的宽和正方形纸片的边长相等．现用150张正方形纸片和300张长方形纸片制作这两种小盒，恰好用完．设可做成甲、乙两种盒子各x、y个，根据题意，可列正确的方程组为
　
　．
三、解答题：（本大题共7个小题，满分共58分解答应按要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点B（3，2），将点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到点C．
（1）写出点C的坐标，并画出△ABC；
（2）将△ABC三个顶点的横坐标都减去2，纵坐标不变，得到对应的△A1B1C1．画出△A1B1C1，并回答△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置有什么关系？
21．（9分）（1）解二元一次方程组．
（2）已知（1）中的解满足0＜ax+3y＜6．求正整数a的算术平方根．
22．（8分）如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°．求∠AGD的度数．
23．（7分）某地七年级有3000名学生参加网上“爱我中华知识竞赛”活动．为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从中抽取了200名学生的得分进行统计．
成绩x（分）
频数
频率
50≤x＜60
10
a
60≤x＜70
16
0.08
70≤x＜80
b
0.20
80≤x＜90
62
c
90≤x＜100
72
0.36
请根据不完整的表格，解答下列问题：
（1）写出表中的a，b，c的值；
（2）补全如图所示的频数分布直方图；
（3）若将得分转化为等级，规定50≤x＜60评为“D”，60≤x＜70评为“C”，70≤x＜90评为“B”，90≤x＜100评为“A”．这次七年级参加竞赛的学生约有多少人参赛成绩被评为“B”等级？
24．（11分）为了整治环境卫生，某地区需要一种消毒药水3250瓶，药业公司接到通知后马上采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区．已知一个大包装箱价格为5元，可装药水10瓶；一个小包装箱价格为3元，可以装药水5瓶．该公司采购的大小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需药水．
（1）求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个？
（2）药业公司准备派A、B两种型号的车共10辆运送该批药水，已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱药水；B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水，求出一次性运完这批药水的所有车型安排方案；
（3）如果A型车比B型车省油，采用哪个方案最好？
25．（11分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），点C在y正半轴上，且OC＝AB，将线段AB平移至线段CD，A点的对应点为C点，B点的对应点为D点，连结AC，BD，点P在x轴上．
（1）写出点C、点D的坐标分别为C（
　
　）、D（
　
　）；
（2）若△PAC的面积是△PBD面积的3倍时，求P的坐标；
（3）若∠ACP＝α，∠PDB＝β，∠DPC＝θ，判断α、β、θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明．
2020-2021学年河北省唐山市路南区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共12个小题；16小题每题3分，7-12小题每题2分满分共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）在某个电影院里，如果用（2，15）表示2排15号，那么图框中的座次可以表示为（　　）
A．（2，15）
B．（2，5）
C．（5，9）
D．（9，5）
【分析】根据用（2，15）表示2排15号可知第一个数表示排，第二个数表示号，进而可得答．
【解答】解：∵（2，15）表示2排15号可知第一个数表示排，第二个数表示号
∴5排9号可以表示为（5，9），
故选：C．
2．（3分）以下问题，不适合全面调查的是（　　）
A．调查我市中学生心理健康现状
B．调查和一新冠肺炎感染者密切接触人群
C．检测长征运载火箭的零部件质量情况
D．调查某中学在职教师的身体健康状况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A．调查我市中学生心理健康现状，适合抽样调查，故本选项符合题意；
B．调查和一新冠肺炎感染者密切接触人群，适合全面调查，故本选项不合题意；
C．检测长征运载火箭的零部件质量情况，适合全面调查，故本选项不合题意；
D．调查某中学在职教师的身体健康状况，适合全面调查，故本选项不合题意；
故选：A．
3．（3分）4的平方根是（　　）
A．±2
B．2
C．﹣2
D．±
【分析】依据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故选：A．
4．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
5．（3分）若+|2y+1|＝0，则x+y的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣
D．
【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性，求出x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵+|2y+1|＝0，
∴x﹣1＝0，2y+1＝0，
∴x＝1，y＝﹣，
∴x+y＝1﹣＝，
故选：D．
6．（3分）下列表示的不等关系中，正确的是（　　）
A．a不是负数，表示为a＞0
B．m比4至少多1，表示为m﹣4≥1
C．x与1的和是非负数，表示为x+1＞0
D．x不大于5，表示为x＜5
【分析】根据负数、非负数等概念，对四个选项逐一进行分析．
【解答】解：A、a不是负数，表示为a≥0，选项错误，不符合题意；
B、m比4至少多1，表示为m﹣4≥1，选项正确，符合题意；
C、x与1的和是非负数，表示为x+1≥0，选项错误，不符合题意；
D、x不大于5，表示为x≤5，选项错误，不符合题意；
故选：B．
7．（2分）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（　　）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
8．（2分）在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（﹣2，m），当线段AB最短时，m的值为（　　）
A．5
B．3
C．4
D．0
【分析】可得出点B在过点（﹣2，0），且与y轴平行的直线上运动，根据垂线段最短即可解决．
【解答】解：∵B（﹣2，m），
∴点B在过点（﹣2，0），且与y轴平行的直线上运动，
根据垂线段最短知，AB⊥y轴时，AB最短，此时m＝4，
故选：C．
9．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合各选项中解集在数轴上的表示即可．
【解答】解：解不等式﹣2x+5≥3，得：x≤1，
解不等式3（x﹣1）＜2x，得：x＜3，
故选：B．
10．（2分）某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转80°，则结果指针的指向（　　）
A．南偏东30°
B．北偏西40°
C．南偏东40°
D．北偏西50°
【分析】根据南偏西50°顺时针转80°，可得指针的指向．
【解答】解：一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转80°，则结果指针的指向是北偏西30°，
故选：D．
11．（2分）如图，将长方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大18°．设∠BAE和∠BAD的度数分别为x，y，那么x，y所适合的一个方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据题意可得等量关系：①∠BAD﹣∠BAE大18°；②∠BAD+2∠BAE＝90°，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设∠BAE和∠BAD的度数分别为x°和y°，
依题意可列方程组：．
故选：B．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第21秒时，点P的坐标为（　　）
A．（21，﹣1）
B．（21，0）
C．（21，1）
D．（22，0）
【分析】计算点P走一个半圆的时间，确定第21秒点P的位置．
【解答】解：点P运动一个半圆用时为＝2秒，
∵21＝10×2+1，
∴21秒时，P在第11个的半圆的最高点，
∴点P坐标为（21，1），
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题：每小题2分，满分共12分.把答案写在题中横线上）
13．（2分）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是
　　．
【分析】设这个正方形的边长为x（x＞0），由题意得x2＝3，根据算术平方根的定义解决此题．
【解答】解：设这个正方形的边长为x（x＞0）．
由题意得：x2＝3．
∴x＝．
故答案为：．
14．（2分）写出数轴上在哪两个邻近的整数之间
　3和4　．
【分析】根据算术平方根的意义求解即可．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜＜4，
故答案为：3和4．
15．（2分）若是方程ax﹣y＝1的一个解，则a的值是
　3　．
【分析】将代入方程ax﹣y＝1即可求a．
【解答】解：∵是方程ax﹣y＝1的一个解，
∴a﹣2＝1，
∴a＝3，
故答案为3．
16．（2分）如果点P在第四象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标为
　（4，﹣3）　．
【分析】应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断点的具体坐标．
【解答】解：∵点P在第四象限内，
∴点P的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
17．（2分）如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝　5　．
【分析】直接利用平移的性质得出顶点C平移的距离．
【解答】解：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，
∴三角板向右平移了5个单位，
∴顶点C平移的距离CC′＝5．
故答案为：5．
18．（2分）某纸厂要制作如图的甲、乙两种无盖的小长方体盒子．该厂利用边角材料裁出了长方形和正方形两种纸片，其中长方形纸片的宽和正方形纸片的边长相等．现用150张正方形纸片和300张长方形纸片制作这两种小盒，恰好用完．设可做成甲、乙两种盒子各x、y个，根据题意，可列正确的方程组为
　　．
【分析】根据题意和图示可知，甲种小盒需要一个正方形和4个长方形，乙种小盒需要2个正方形和3个长方形，甲、乙两种小盒需要的正方形总量＝150＝做成甲种小盒的个数+做成乙种小盒的个数×2，甲、乙两种小盒需要的长方形总量＝300＝做成甲种小盒的个数×4+做成乙种小盒的个数×3．根据以上条件可列出方程组．
【解答】解：设可做成甲种小盒x个，乙种小盒y个．
根据题意，得，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7个小题，满分共58分解答应按要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣|3﹣5|﹣2
＝1﹣2﹣2
＝﹣3．
20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点B（3，2），将点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到点C．
（1）写出点C的坐标，并画出△ABC；
（2）将△ABC三个顶点的横坐标都减去2，纵坐标不变，得到对应的△A1B1C1．画出△A1B1C1，并回答△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置有什么关系？
【分析】（1）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加写出点C的坐标，再描出点A、B、C，顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C向左平移2个单位后的对应点的位置，然后顺次连接即可，结合图形可得两个三角形的关系．
【解答】解：（1）点A（1，0）向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到点C的坐标为（1﹣2，0+4），即（﹣1，4），
如图所示，△ABC即为所求：
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，
由图知△A1B1C1与△ABC的大小、形状完全相同；它可以看成是将△ABC向左平移2个单位得到的．
21．（9分）（1）解二元一次方程组．
（2）已知（1）中的解满足0＜ax+3y＜6．求正整数a的算术平方根．
【分析】（1）用代入消元法解此方程组；
（2）把（1）中的解代入不等式中，组成新的一元一次不等式组，解不等式组．
【解答】（1）由①得，x＝1﹣2y③，
把③代入②，2（1﹣2y）+y＝5，
得，y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③，
得，x＝3，
∴此方程组解为．
（2）把（1）中的解代入不等式中得，0＜3a﹣3＜6，
解得，1＜a＜3，
∵a是正整数，
∴a＝2，
∴2的算术平方根是．
22．（8分）如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°．求∠AGD的度数．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠3，然后求出∠1＝∠3，再根据内错角相等，两直线平行判断出DG∥AB，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AB，
∴∠AGD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°．
23．（7分）某地七年级有3000名学生参加网上“爱我中华知识竞赛”活动．为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从中抽取了200名学生的得分进行统计．
成绩x（分）
频数
频率
50≤x＜60
10
a
60≤x＜70
16
0.08
70≤x＜80
b
0.20
80≤x＜90
62
c
90≤x＜100
72
0.36
请根据不完整的表格，解答下列问题：
（1）写出表中的a，b，c的值；
（2）补全如图所示的频数分布直方图；
（3）若将得分转化为等级，规定50≤x＜60评为“D”，60≤x＜70评为“C”，70≤x＜90评为“B”，90≤x＜100评为“A”．这次七年级参加竞赛的学生约有多少人参赛成绩被评为“B”等级？
【分析】（1）根据抽取了200名学生的得分进行统计和频数分布表中的数据，可以分别计算出a、b、c的值；
（2）根据频数分布表中的数据和（1）中b的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出次七年级参加竞赛的学生约有多少人参赛成绩被评为“B”等级．
【解答】解：（1）a＝10÷200＝0.05，b＝200×0.20＝40，c＝62÷200＝0.31，
即a，b，c的值分别为0.05，40，0.31；
（2）由频数分布表可知，50≤x＜60对应的频数为10，
由（1）知b＝40，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）3000×（0.20+0.31）
＝3000×0.51
＝1530（人），
答：这次七年级参加竞赛的学生约有1530人参赛成绩被评为“B”等级．
24．（11分）为了整治环境卫生，某地区需要一种消毒药水3250瓶，药业公司接到通知后马上采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区．已知一个大包装箱价格为5元，可装药水10瓶；一个小包装箱价格为3元，可以装药水5瓶．该公司采购的大小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需药水．
（1）求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个？
（2）药业公司准备派A、B两种型号的车共10辆运送该批药水，已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱药水；B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水，求出一次性运完这批药水的所有车型安排方案；
（3）如果A型车比B型车省油，采用哪个方案最好？
【分析】（1）有两个等量关系：大包装箱装药水瓶数+小包装箱装药水瓶数＝3250，购买大包装箱钱数+购买小包装箱钱数＝1700，直接设未知数，列出二元一次方程组求解．
（2）有两个不等关系：A型车装运大包装箱个数+B型车装运大包装箱个数≥250，A型车装运小包装箱个数+B型车装运小包装箱个数≥150，设适当的未知数，列出一元一次不等式组，求出解集，根据实际问题含义，确定方案．
（3）根据题意，选择A型车多的方案．
【解答】解：（1）设公司采购了x个大包装箱，y个小包装箱．
根据题意得：（2分）解之得：
答：公司采购了250个大包装箱，150个小包装箱．（4分）
（2）设公司派A种型号的车z辆，则B种型号的车为（10﹣z）辆．
根据题意得：（6分）
解之得：（7分）
∵z为正整数
∴z取5、6、7、8（8分）
∴方案一：公司派A种型号的车5辆，B种型号的车5辆．
方案二：公司派A种型号的车6辆，B种型号的车4辆．
方案三：公司派A种型号的车7辆，B种型号的车3辆．
方案四：公司派A种型号的车8辆，B种型号的车2辆．（9分）
（3）∵A种车省油，
∴应多用A型车，
因此最好安排A种车8辆，B种车2辆，即方案四．（10分）
25．（11分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），点C在y正半轴上，且OC＝AB，将线段AB平移至线段CD，A点的对应点为C点，B点的对应点为D点，连结AC，BD，点P在x轴上．
（1）写出点C、点D的坐标分别为C（
　0，4　）、D（
　4，4　）；
（2）若△PAC的面积是△PBD面积的3倍时，求P的坐标；
（3）若∠ACP＝α，∠PDB＝β，∠DPC＝θ，判断α、β、θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明．
【分析】（1）根据A，B两点坐标，求出OA＝1，OB＝3，推出AB＝4，可得结论；
（2）由CD∥AB，可知△PAC，△PBD是等高三角形，推出面积比等于AP：BP，因为S△PAC＝3S△PBD，推出PA＝3BP，分两种情形：①当点P在线段OB上时，②当点P在AB的延长线上时，分别求出OP，可得结论；
（3）分三种情形：如图1中，当点P在线段AB上时，结论：θ＝α+β．如图2中，当点P在AB的延长线上时，结论：θ＝α﹣β．如图3中，当点P在BA的延长线上时，结论：θ＝β﹣α．分别利用平行线的性质证明即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝4，
∵CD∥AB，CD＝AB，OC＝AB＝4，
∴C（0，4），D（4，4）．
故答案为：0，4，4，4；
（2）∵CD∥AB，
∴△PAC，△PBD是等高三角形，
∵面积比等于AP：BP，
∵S△PAC＝3S△PBD，
∴PA＝3BP，
①当点P在线段OB上时，PA+PB＝4，
∴3BP+PB＝4，
∴PB＝1，OP＝2，
∴P（2，0）．
②当点P在AB的延长线上时，AP＝3BP，
∴AP﹣PB＝AB＝4，
∴3BP﹣PB＝4，
∴PB＝2，OP＝5，
∴P（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，0）或（5，0）；
（3）如图1中，当点P在线段AB上时，结论：θ＝α+β．
理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠CPT+∠DPT＝∠ACP+∠BDP，
∴θ＝α+β．
如图2中，当点P在AB的延长线上时，结论：θ＝α﹣β．
理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠CPT﹣∠DPT＝∠ACP﹣∠BDP，
∴θ＝α﹣β．
如图3中，当点P在BA的延长线上时，结论：θ＝β﹣α．
理由：理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠DPT﹣∠CPT＝∠BDP﹣∠ACP，
∴θ＝β﹣α．