2020-2021年江苏省盐城市高一（上）期末考试_数学试卷苏教版(word含解析)

2020-2021年江苏省盐城市高一(上)期末考试
数学试卷
一、选择题
?
1.
角，则角终边所在象限是(?
?
?
?
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
?
2.
函数的零点所在区间是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
3.
扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知集合，，则?
?
?
??
A.
B.
C.
D.
?
5.
已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是(?
?
?
?
)
A.的定义域为
B.在其定义域上为减函数
C.是偶函数
D.是奇函数
?
6.
函数在区间上的最大值和最小值分别是(?
?
?
?
)
A.，
B.，
C.，
D.，
?
7.
已知，，，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
8.
函数的图象大致形状是?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
下列命题是假命题的是(?
?
?
?
)
A.若函数的图像在上连续不断，且满足?，，，则在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B.函数的零点是和
C.“”是“”成立的充要条件
D.已知，“幂函数在上为增函数”是“指数函数为增函数”成立的必要不充分条件
?
已知函数，，的最小正周期为，其图象的一个最高点为，下列结论正确的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到图象；再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
D.的图象关于对称
?
已知函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是(?
?
?
?
)
A.函数的图象关于直线对称
B.函数的图象关于点对称
C.函数在区间上单调递减
D.函数在上有个零点
?
已知，，则下列不等式中，正确的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
三、填空题
?
函数的定义域为________.
?
已知，则________.
?
已知，则的最小值是________.
?
已知
，，则________.
四、解答题
?
?
??
计算：
；
已知，，用，表示.
?
已知集合，集合.
若集合，求实数的值；
若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
?
已知函数，．
求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的最小值和最大值．
?
某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；
求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份（参考数据：，）.
?
已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为万元，每生产万部还需另投入万元．设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且
写出年利润(万元)关于年产量(万部)的函数解析式；
当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
?
设函数，且是定义域为的奇函数．
求的值；
若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；
若函数的图象过点，是否存在实数，使函数在上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021年江苏省盐城市高一(上)期末考试
数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
象限角、轴线角
【解析】
由题设，所以角的终边在第三象限.
【解答】
解：由题意，得，
则角的终边在第三象限.
故选.
2.
【答案】
D
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
由函数的解析式求得，再根据根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．
【解答】
解：，∵
，
，
∴
，故选项不符合题意；
，∵
，
，
∴
，故选项不符合题意；
，∵
，
，
∴
，故选项不符合题意；
，∵
，
，
∴
，
根据函数零点的判定定理，
得函数的零点所在的区间是,
故选项符合题意.
故选.
3.
【答案】
B
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
首先根据扇形的面积求出半径，再由弧长公式得出结果．
【解答】
解：根据扇形的面积公式，得，
即，
解得.
根据弧长公式，得，
则扇形的圆心角.
故选．
4.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
求出集合，然后求解交集即可．
【解答】
解：集合，，
则．
故选．
5.
【答案】
B
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】
先利用已知点求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题即可．
【解答】
解：由题意，设幂函数.
∵
幂函数的图象过点，
∴
，
解得，
∴
，
∴
的定义域为，且在其定义域上是减函数，
故选项错误，选项正确；
∵
函数的定义域为，不关于原点对称，
∴
函数不具有奇偶性，故选项错误，选项错误.
故选．
6.
【答案】
D
【考点】
对数函数的图象与性质
二次函数在闭区间上的最值
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
利用对数函数的单调性得得，再利用二次函数的最值得解.
【解答】
解：由对数函数的单调性，得当时，
，
又，
则当，即时，取得最小值，
且，
当，即时，取得最大值，
且.
综上所述，的最大值为，最小值为.
故选.
7.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用指数与对数函数的单调性即可解出.
【解答】
解：∵
，，
，
∴
.
故选.
8.
【答案】
D
【考点】
指数函数的图象
【解析】
根据函数，再根据函数的单调性和值域，结合所给的选项可得结论．
【解答】
解：函数
，
在上是减函数，
值域；
在上是增函数，
值域是.
故选．
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
命题的真假判断与应用
函数的零点
函数零点的判定定理
幂函数的性质
【解析】
利用函数零点存在性定理以及零点的概念判定A,B，利用充分必要条件的判定C,D.幂函数，指数函数的单调性，难度适中.
【解答】
解：，若函数的图像在上连续不断，
且?，，，
由函数零点存在性定理可知，在区间上一定有零点，
在区间上零点不确定，故选项错误；
?，函数，
令，
解得或，
因为二次函数的零点是指图象与轴交点的横坐标，
所以函数的零点是和，
故选项错误；
，因为当时，不一定成立，
所以充分性不成立，
因为当时，一定有成立，
所以必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选项错误；
，若幂函数在上为增函数，
则；
若指数函数为增函数，
则，
解得，
又是的必要不充分条件，
所以“幂函数在上为增函数”是
“指数函数为增函数”成立的必要不充分条件，
故选项正确.
故选.
【答案】
B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的对称性
【解析】
利用题设得所以，再利用图象的变换，对称性得解.
【解答】
解：∵
函数的最小正周期，
∴
，
解得，故选项错误；
∵
函数的最高点为，
∴
，
即，
解得，故选项正确；
∵
函数，
将图象上所有点横坐标变为原来的，
纵坐标不变，得，
再向右平移个单位长度，得
，故选项正确；
由正弦函数的对称性可知，，，
解得，，故选项错误.
故选.
【答案】
C,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
正弦函数的奇偶性
【解析】
函数＝的最小正周期是，，解得＝．＝，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，＝，可得＝＝，可得，．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．
【解答】
解：函数的最小正周期是，
∴
，解得．
∴
.
若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，
∴
，
可得，
∴
，，
取，可得．
∴
.
验证：，，故，不正确；
若，则，
因此函数在区间上单调递减，故正确；
若，则，
因此函数在区间上只有个零点，故正确．
故选.
【答案】
A,D
【考点】
对数值大小的比较
基本不等式在最值问题中的应用
指数函数单调性的应用
【解析】
利用不等式的基本性质可判断的真假，利用基本不等式可判断的真假．
【解答】
解：，，，
，，
，故选项正确；
，?，
??，
，故选项错误；
，，
，
，故选项错误；
，?，，
，
?，
，故选项正确．
故选．
三、填空题
【答案】
【考点】
函数的定义域及其求法
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
根据函数解析式可知，且，求解即可．
【解答】
解：要使函数有意义，则
解得，
则函数的定义域为．
故答案为：.
【答案】
【考点】
三角函数的化简求值
运用诱导公式化简求值
【解析】
利用诱导公式化简得出，根据$``1"$的代换结合齐次式化简计算得出函数值.
【解答】
解：∵
，
即，
∴
，
∴
.
故答案为：.
【答案】
【考点】
基本不等式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
先将化简成的形式，再利用基本不等式求最小值.
【解答】
解：∵
，且?，，
∴
，
当且仅当，即，时取等号，
∴
的最小值是.
故答案为：.
【答案】
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由两边平方得，，确定角是第二象限角，得值，解关于正弦和余弦的方程组得正弦和余弦的值，两值相比求得正切值.
【解答】
解：∵
，
∴
，
∴
.
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，，
∴
.
故答案为：.
四、解答题
【答案】
解：
.
∵
，
∴
，
又，
∴
.
【考点】
对数的运算性质
指数式与对数式的互化
换底公式的应用
【解析】
利用对数的运算法则求解即可；
由题意得到，利用换底公式和对数的运算求解即可.
【解答】
解：
.
∵
，
∴
，
又，
∴
.
【答案】
解：∵
即，
∴
，
又，
∴
解得.
∵
“”是“”的必要条件，
∴
，
∵
集合，集合，
解得，，
∴
∴
.
【考点】
一元二次不等式的应用
集合的包含关系判断及应用
【解析】
求解一元二次不等式化简集合，再利用，，求解实数的取值范围．
【解答】
解：∵
即，
∴
，
又，
∴
解得.
∵
“”是“”的必要条件，
∴
，
∵
集合，集合，
解得，，
∴
∴
.
【答案】
解：由正弦函数的单调性，令，，
即，.
故函数的单调递增区间为，.
∵
，
∴
?，
∴
当时，函数取得最小值，
且；
当时，函数取得最大值，
.
综上所述，函数在区间上的最小值为，最大值为.
【考点】
正弦函数的单调性
三角函数的最值
【解析】
（1）根据函数的周期性及求法，从而求得结果．
（2）?由于?函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，求得、、
的值，比较可得函数在区间上的最大值和最小值．
【解答】
解：由正弦函数的单调性，令，，
即，.
故函数的单调递增区间为，.
∵
，
∴
?，
∴
当时，函数取得最小值，
且；
当时，函数取得最大值，
.
综上所述，函数在区间上的最小值为，最大值为.
【答案】
解：由题意可知，函数和函数
在上都是增函数，
随着的增加，函数的值增加的越来越快，
但函数的值增加的越来越慢．
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，
所以函数模型符合要求．
由题意可知，时，；
时，，
所以
解得
故该函数模型的解析式是，．
由可知，，，
则当时，，
所以元旦放入凤眼莲面积是.
由题意，得，
即，
解得，
又，
所以.
故凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份是月份．
【考点】
函数模型的选择与应用
指数函数的实际应用
指数式与对数式的互化
【解析】
Ⅰ判断两个函数＝，在的单调性，说明函数模型＝适合要求．然后列出方程组，求解即可．
Ⅱ利用?＝时，，元旦放入凤眼莲面积是，列出不等式转化求解即可．
【解答】
解：由题意可知，函数和函数
在上都是增函数，
随着的增加，函数的值增加的越来越快，
但函数的值增加的越来越慢．
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，
所以函数模型符合要求．
由题意可知，时，；
时，，
所以
解得
故该函数模型的解析式是，．
由可知，，，
则当时，，
所以元旦放入凤眼莲面积是.
由题意，得，
即，
解得，
又，
所以.
故凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份是月份．
【答案】
解：由利润等于收入减去成本，可得
当时，；
当时，，
∴
当时，，
∴
时，；
当时，，
当且仅当，即时，.
∵
，
∴
时，的最大值为万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；
（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．
【解答】
解：由利润等于收入减去成本，可得
当时，；
当时，，
∴
当时，，
∴
时，；
当时，，
当且仅当，即时，.
∵
，
∴
时，的最大值为万元．
【答案】
解：∵
是定义域为的奇函数，
∴
，
解得.
由可知，，
∵
，
∴
，
又，
∴
.
∵
，
∴
，
∵
为奇函数，
∴
，
∵
，
∴
为上的增函数，
∴
对一切恒成立，
即对一切恒成立，
故
解得.
存在实数，
使函数在上的最大值为.??
理由如下：
∵
函数的图象过点，
∴
，
假设存在正数，且符合题意，
由，得
，
设，
则，
又，则，
记，
∴
函数在上的最大值为，
①若对称轴，
则，
解得，不符合题意；
②若对称轴，
则
即
解得，符合题意.
综上所述，存在实数，
使函数在上的最大值为.
【考点】
奇函数
函数恒成立问题
函数最值的应用
【解析】
（1）由奇函数的性质可知，得出；
（2）由得又，求出，判断函数的单调性为上的增函数，不等式整理为对一切恒成立，利用判别式法求解即可；
（3）把点代入求出，假设存在正数，构造函数设则，对底数进行分类讨论，判断的值．
【解答】
解：∵
是定义域为的奇函数，
∴
，
解得.
由可知，，
∵
，
∴
，
又，
∴
.
∵
，
∴
，
∵
为奇函数，
∴
，
∵
，
∴
为上的增函数，
∴
对一切恒成立，
即对一切恒成立，
故
解得.
存在实数，
使函数在上的最大值为.??
理由如下：
∵
函数的图象过点，
∴
，
假设存在正数，且符合题意，
由，得
，
设，
则，
又，则，
记，
∴
函数在上的最大值为，
①若对称轴，
则，
解得，不符合题意；
②若对称轴，
则
即
解得，符合题意.
综上所述，存在实数，
使函数在上的最大值为.
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