2020-2021学年江苏省高一（上）期中考试数学试卷苏教版(word含解析)

2020-2021学年江苏省高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
?
1.
若集合，，则集合（????????）
A.
B.
C.
D.
?
2.
命题“，”的否定是（?
?
?
?
）
A.，
B.，
C.，
D.，
?
3.
已知点在幂函数的图象上，则的表达式为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知函数则（?
?
?
?
）
A.
B.
C.
D.
?
5.
不等式的解集是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
6.
已知二次函数在区间内不是单调函数，则实数取值范围是(?
?
?
?
)
A.或
B.
C.或
D.
?
7.
若，，且，则有（?
?
?
?
?）
A.最大值
B.最小值
C.最小值
D.最小值
?
8.
定义在的函数满足下列两个条件：①任意的都有；②任意的，，当，都有，则不等式的解集是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
下列判断正确的是（????????）
A.
B.不是定义在上的减函数
C.是不等式成立的充分不必要条件
D.函数过定点
?
对任意实数，，，给出下列命题，其中真命题是(?
?
?
?
)
A.“”是“”的充要条件
B.“”是“”的充分条件
C.“”是“”的必要条件
D.“是无理数”是“是无理数”的充要条件
?
若，则下列正确的有（????????）
A.
B.
C.
D.
?
德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著．世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，其中真命题的是(?
?
?
?
)
A.函数是偶函数
B.，，恒成立
C.任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立
D.不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形
三、填空题
?
已知函数是指数函数，且当时，，则实数的取值范围是________.
?
若函数是定义在上的偶函数，则________.
?
若函数在上是单调函数，则的取值范围为________.
?
已知函数，关于的不等式的解集为，其中，在集合上的值域为，若，则________.
四、解答题
?
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合?，.
当时，求；
若________，求实数的取值范围．
?
计算下列各式的值：
；
．
?
运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶千米，按交通法规限制（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元．
求这次行车总费用关于的表达式；
当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
?
已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数．
求和的值；
求满足不等式的实数的取值范围．
?
已知．
当时，求的单调区间及值域；
若在上为单调增函数，求实数的取值范围．
?
已知，是定义在上的奇函数．
求的值；
若，且函数在上的值域为，求的值；
设函数，，是上的任意两个实数，且，若恒为一个常数，求非零常数的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
利用集合的交集运算得解.
【解答】
解：已知集合，，
所以.
故选.
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
将全称命题改为特称命题，即可得到结论．
【解答】
解：由全称命题的否定为特称命题知，
命题：“，”的否定是“，”.
故选．
3.
【答案】
B
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
设幂函数为，把点代入函数解析式求得的值，可得函数的解析式．
【解答】
解：设幂函数的表达式为，根据幂函数的图象过点，
可得，解得，
故幂函数的表达式是.
故选．
4.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
，
∴
．
故选．
5.
【答案】
D
【考点】
对数函数的图象与性质
【解析】
利用对数函数的单调性得到，然后求解即可.
?
【解答】
解：由题意，，
则有，解之得，
所以不等式的解集为.
故选.
6.
【答案】
B
【考点】
二次函数的性质
【解析】
根据二次函数的对称轴为，要使函数在区间内不是单调函数，则对称轴在区间内，求得实数的取值范围，从而得出结论．
【解答】
解：二次函数的对称轴为，
要使函数在区间内不是单调函数，
则对称轴在区间内，
∴
.
故选．
7.
【答案】
D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
和定积最大，直接运用均值不等式，就可解得的最小值，注意等号成立的条件．
【解答】
解：因为，，
所以，
当且仅当，时取等号.
故选.
8.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的判断
函数单调性的性质
【解析】
函数在上单调递减，根据函数奇偶性及单调性解不等式即可．
【解答】
解：任意的，都有，
∴
，是上的奇函数.
∵
任意的，，当，都有，
∴
在上是递减函数，
∴
在上也是递减函数，
即在上是递减函数，
∴
不等式等价于，
∴
∴
,
即不等式的解集为.
故选.
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
元素与集合关系的判断
函数的单调性及单调区间
幂函数的图像
【解析】
直接逐个判断即可.
【解答】
解：，空集是没有元素，故不会是空集的元素，故错误；
，的减区间为，，故正确；
，∵
，∴
或，
∴
“”是“或”的充分不必要条件，
即“”是“”的充分不必要条件，故正确；
，由于函数恒过定点，则函数恒过定点，故正确.
故选.
【答案】
C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义逐一进行分析即可得到答案．
【解答】
解：，∵
""""
但当时，""""，
∴
""是""的充分不必要条件，故为假命题；
，∵
“”“或”，
∴
“”是“”的必要不充分条件，故为假命题；
，∵
，
∴
“”是“”的必要不充分条件，故为真命题；
，∵
"是无理数""是无理数"，
"是无理数""是无理数"，
"是无理数"是"是无理数"的充要条件，故为真命题.
故选.
【答案】
A,D
【考点】
对数的运算性质
指数函数的性质
【解析】
直接利用指数函数，对数函数的单调性，判断即可.
【解答】
解：，由于在上为增函数，
∴
，故正确；
，由于在上为增函数，
∴
，故错误；
，由于在上为增函数，
∴
，则，
即，故错误；
，由于在上为减函数，
∴
，故正确.
故选.
【答案】
A,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
函数奇偶性的判断
函数新定义问题
【解析】
根据函数解析式，逐项判断即可．
【解答】
解：对于，当，则，；
当，则，，
，
是偶函数，故选项正确；
对于，取，，
则，，，故选项错误；
对于，若，则，满足；
若，则，满足，故选项正确；
对于，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点在＝上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为矛盾，故不成立；
②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为矛盾，故不成立；
③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为矛盾，故不成立；
④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项正确．
故选．
三、填空题
【答案】
【考点】
指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】
讨论指数函数的底数，确定指数函数的性质，从而确定参数范围.
【解答】
解：由题意可知：
当，即时，
若，此时函数，不合题意，舍去；
当，即时，
若，此时函数，满足题意.
综上：.
故答案为：.
【答案】
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
本题主要通过偶函数求出参数的值，然后通过参数确定从而确定函数的具体求值
【解答】
解：∵
函数是定义在上的偶函数，
∴
，即.
∵
，
∴
，
∴
，
即.
则.
故答案为：.
【答案】
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
首先分别确定两函数在各自定义域内为减函数要满足的条件，再考虑分界位置，两函数值得大小关系，即可构造不等式组，解出即可.
【解答】
解：由题意知：函数在上为增函数，
则解得.
故答案为：.
【答案】
【考点】
函数的值域及其求法
函数恒成立问题
【解析】
?
??
【解答】
解：由题意，设，
∴
对于方程，
根据韦达定理有：，.
又∵
为解集，
∴
，为方程的两个根，
∴
，?，
∴
，
∴
.
故答案为：.
四、解答题
【答案】
解：?时，集合,
,
∴
.
若选择①，
∵
，
∴
，
当，即时，?，满足题意；
当时，
则
∴
，
综上知，实数的取值范围是.
若选择②，
则是的子集，
∵
，
当，即时，，满足题意；
当时，
则或
∴
或，
综合得：的取值范围是：.
若选择③，
则当，即时，?，满足题意；
当时，
应满足或者
∴
或，
综上知，实数的取值范围是：?.
【考点】
并集及其运算
一元二次不等式的解法
集合关系中的参数取值问题
【解析】
（）由题先化简集合
，再根据并集的定义即可得解；
若选择①，由题可知，分和讨论，可得实数的取值范围是.
若选择②，由题可知是的子集，结合，分和讨论，可得实数的取值范围.
若选择③根据，
【解答】
解：?时，集合,
,
∴
.
若选择①，
∵
，
∴
，
当，即时，?，满足题意；
当时，
则
∴
，
综上知，实数的取值范围是.
若选择②，
则是的子集，
∵
，
当，即时，，满足题意；
当时，
则或
∴
或，
综合得：的取值范围是：.
若选择③，
则当，即时，?，满足题意；
当时，
应满足或者
∴
或，
综上知，实数的取值范围是：?.
【答案】
解：原式
.
原式
．
【考点】
有理数指数幂的化简求值
对数的运算性质
【解析】
利用指数和对数的性质和运算法则，进行计算．
【解答】
解：原式
.
原式
．
【答案】
解：行车所用时间为，
根据汽油的价格是每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元，可得行车总费用：
.
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴
当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】
求出车所用时间，根据汽油的价格是每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元，可得行车总费用.
利用基本不等式，即可求得这次行车的总费用最低．
【解答】
解：行车所用时间为，
根据汽油的价格是每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元，可得行车总费用：
.
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴
当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．
【答案】
解：∵
函数()是幂函数，
∴
，解得.
又幂函数在上是增函数，
∴
，解得.
∵
，
∴
，或，????????
当时，，图象关于轴对称，符合题意；
当或时，，图象关于原点对称，不合题意，?
综上，，.
由可得，
∴
.
而函数在和上分别为减函数，
且当时，，
当，
∴
满足不等式的条件为或或，
解得：或．
故满足不等式的的取值范围为或．
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的性质
函数单调性的性质
【解析】
（1）由幂函数的定义求出，由幂函数的单调性求出；
（2）将不等式化为，根据函数的单调性，可得0为或或，故可求出的取值范围.
【解答】
解：∵
函数()是幂函数，
∴
，解得.
又幂函数在上是增函数，
∴
，解得.
∵
，
∴
，或，????????
当时，，图象关于轴对称，符合题意；
当或时，，图象关于原点对称，不合题意，?
综上，，.
由可得，
∴
.
而函数在和上分别为减函数，
且当时，，
当，
∴
满足不等式的条件为或或，
解得：或．
故满足不等式的的取值范围为或．
【答案】
解：当时，，
设，可得，
则在递减，在递增，
而在递减，
可得的增区间为，减区间为；
由，
可得，
即的值域为.
由在上为单调增函数，
可得
解得．
【考点】
复合函数的单调性
函数的值域及其求法
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
（1）可设＝，，由对数函数的单调性和二次函数的单调性，可得单调区间和值域；
（2）由题意可得，解不等式可得所求范围．
【解答】
解：当时，，
设，可得，
则在递减，在递增，
而在递减，
可得的增区间为，减区间为；
由，
可得，
即的值域为.
由在上为单调增函数，
可得
解得．
【答案】
解：∵
函数，是定义在上的奇函数，
∴
，则，解得.
由得，，解得，
.
设，
则
，
∵
，
∴
，
∴
，则在上为增函数.
又∵
函数在上的值域为，
∴
，
解得.
，
∴
恒为一个常数，
．
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
函数的值域及其求法
函数恒成立问题
【解析】
（1）根据函数为上的奇函数得，代入解析式可求得的值；
（2）根据的值，可以求得，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；
（3）把代入化简后，代入进行化简，根据恒为一个常数，求出的值．
【解答】
解：∵
函数，是定义在上的奇函数，
∴
，则，解得.
由得，，解得，
.
设，
则
，
∵
，
∴
，
∴
，则在上为增函数.
又∵
函数在上的值域为，
∴
，
解得.
，
∴
恒为一个常数，
．
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