2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）1月月考数学试卷苏教版（Word含解析）

2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）1月月考数学试卷
一、选择题
?
1.
若，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知实数，，，满足，，，则，，的大小关系正确的是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
3.
已知函数则?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知函数的图象如图，则?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
5.
已知函数的定义域为，为偶函数，且对，满足，若，则不等式的解集为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
6.
已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知函数的图象关于直线对称，当时，，那么当时，函数的单调递增区间是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
8.
函数且的图象可能为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是(?
?
?
?
)
A.的最小正周期为
B.在区间上单调递减
C.不是函数图象的对称轴
D.在上的最小值为
?
在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点为整点，若函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数，则下列函数是一阶整点函数的是?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
下列结论正确的是（????????）
A.若函数的定义域为，则函数的定义域是
B.函数（其中，且）的图象过定点
C.当时，幂函数的图象是一条直线
D.若，则的取值范围是
?
关于函数，下列结论正确的是
A.为偶函数
B.在区间上单调递增
C.的最大值为
D.在上有个零点
三、填空题
?
《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是________．
?
函数的增区间是________，值域是________．
?
对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
?
设函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”，若函数是“梦想函数”，则的取值范围是________.
四、解答题
?
已知，且．
求的值；
求的值．
?
已知函数且在区间上的最大值与最小值之和为，记．
求的值；
证明：；
求的值．
?
在①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
已知函数，的图象相邻两条对称轴之间的距离为，________.
求函数的解析式；
求函数在上的单调递增区间．
?
已知函数的一系列对应值如下表：
根据表格提供的数据求函数的一个解析式；
根据的结果，若函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．
?
已知指数函数．
若函数，求函数值域，证明函数在定义域上单调递增；
若函数，研究的奇偶性；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
?
已知偶函数.
若方程有两不等实根，求的取值范围；
若在上的最小值为，求的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
诱导公式
【解析】
本题考查三角函数的化简求值.根据诱导公式可知??,再利用诱导公式即可求解??.
【解答】
解：因为??,
所以??.
故选.
2.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
指数式与对数式的互化
【解析】
由题意可得出，，然后根据对数函数的单调性即可得出，，的大小关系．
【解答】
解：由题意可得出，，，
又∵
，
∴
.
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
函数
∴
，
∴
.
故选.
4.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数的求值
【解析】
由题意可得和值，再由周期性可得，代点可得值，可得解析式，计算可得，，，，由周期性可得．
【解答】
解：由图象知，函数的周期，
由周期公式可得，
∴
，
当时，，
∴
，故，
∵
，
∴
，
∴
.
故选.
5.
【答案】
A
【考点】
函数的对称性
函数单调性的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】
（）为上的偶函数，可得（）（），即函数关于直线对称．对，满足,等价于，,可得函数在≤时的）单调性．由，可得不等式（）（）（）．即可得出结果．
【解答】
解：∵
为上的偶函数，
∴
，
∴
函数关于直线对称．
对，满足，等价于?，，
即时，函数单调递减．
若，则不等式，
∴
，
解得：，
∴
不等式的解集为.
故选．
6.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
三角函数线
【解析】
Ⅰ由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
Ⅱ由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得，的值．
【解答】
解：已知是第二象限角，为其终边上一点，
且，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
故选.
7.
【答案】
C
【考点】
函数的单调性及单调区间
函数的对称性
【解析】
由题意可得可将换为，可得的的解析式，画出图象，即可得到所求递增区间．
【解答】
解：∵
函数的图象关于直线对称，
当时，，
∴
时，，
即为，
画出的图象，
由图象可知：当时，函数的递增区间为.
故选．
8.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：
，
∴
所以函数为奇函数，排除，，
∵
，故排除.
故选.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
余弦函数的周期性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的对称性
余弦函数的单调性
余弦函数的定义域和值域
【解析】
由函数图象的变换可得，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案．
【解答】
解：∵
，
∴
的最小正周期为，选项正确；
当时，，
故在上有增有减，选项错误；
，故不是图象的一条对称轴，选项正确；
当时，，
且当，即时，取最小值，选项正确.
故选.
【答案】
A,D
【考点】
函数新定义问题
函数的图象
【解析】
本题考查新定义的一阶整点函数，考查三角函数，指数函数，对数函数即幂函数的图象和性质，
对给出的四个函数图象逐个分析，可得出答案.
【解答】
解：，，其图象只经过一个整点，即，故正确；
，经过整点，，，故不是一阶整点函数，故错误；
，的图象经过整点，，，故不是一阶整点函数，故错误；
，的图象只经过一个整点，故正确.
故选.
【答案】
A,B,D
【考点】
对数函数的图象与性质
幂函数的图像
函数的定义域及其求法
对数函数图象与性质的综合应用
【解析】
A.考查复合函数的定义域问题；
B.考查指数函数和对数函数过定点问题；
C.考查幂函数的图象和性质；
D.考查对数函数的单调性问题.
【解答】
解：，函数的定义域为，则，所以,
故函数的定义域为，故正确；
，因为，，且,
故时，，故正确；
，时，，其定义域为，故其图象为一条直线去掉点，故错误；
，，当时，，不等式不成立，舍，
当时，在上单调递减，故，正确.
故选.
【答案】
A,B,C
【考点】
复合三角函数的单调性
函数奇偶性的判断
函数的零点
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，，
∴
是偶函数，故正确；
，当时，，
此时在上单调递增，故正确；
，当时，，
当时等号成立.
又∵
是偶函数，∴
的最大值为，故正确；
，当时，，此时函数有无数个零点，故错误.
故选.??
三、填空题
【答案】
【考点】
弧度制
弧长公式
【解析】
根据题意知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数．
【解答】
解：扇形中，弧长为，直径为，则半径，
扇形的圆心角弧度数是．
故答案为：.
【答案】
,
【考点】
复合函数的单调性
函数的单调性及单调区间
函数的值域及其求法
【解析】
由题意利用复合函数的单调性，可得本题即求函数＝在满足的条件下，函数的增区间，再利用二次函数的性质可得结论；求出的范围，可得的范围．
【解答】
解：函数的增区间，即函数在满足的条件下，函数的增区间，
再利用二次函数的性质可得在满足的条件下，函数的增区间为．
由于，故.
故答案为：；.
【答案】
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
同角三角函数间的基本关系
【解析】
，可得＝，利用基本不等式的性质可得出最小值．根据对任意的，不等式恒成立，可得，即可得出．
【解答】
解：∵
∴
，
当且仅当时取等号．
∵
对任意的，不等式恒成立，
∴
．
∴
，
解得．
∴
实数的取值范围是．
故答案为：.
【答案】
【考点】
复合函数的单调性
函数的值域及其求法
【解析】
由题意可得，函数在定义域上为增函数，则即即有两个不同的正数解，进而求得的取值范围．
【解答】
解：由复合函数的单调性可知，
函数?在定义域上为增函数，
结合“希望函数”的定义可知，
即
所以有两个不同的正数解，
即有两个不同的正数解，
所以，且，
解得：.
故答案为：．
四、解答题
【答案】
解：∵
，且，
∴
可得：，即，
两边平方可得：，可得，
∴
为钝角，，
∴
．
∵
由可得：，①，
∴
，
又∵
②，
∴
由①②解得，，
∴
．
【考点】
运用诱导公式化简求值
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
（1）由已知利用诱导公式可求，两边平方可得，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
（2）由（1）可得，结合角的范围利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可计算得解．
【解答】
解：∵
，且，
∴
可得：，即，
两边平方可得：，可得，
∴
为钝角，，
∴
．
∵
由可得：，①，
∴
，
又∵
②，
∴
由①②解得，，
∴
．
【答案】
解：由题得，解得，（舍），所以.
证明：由知，
所以
.
解：由知，，，，
所以
．
【考点】
函数最值的应用
函数的求值
【解析】
（1）根据指数函数是单调函数可得最大值与最小值和为，解得；
（2）根据条件求出，可得；
（3）由（2）可知，，…，，则原式．
【解答】
解：由题得，解得，（舍），所以.
证明：由知，
所以
.
解：由知，，，，
所以
．
【答案】
解：∵
的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
∴
，∴
，
∴
.
选择①：∵
函数为奇函数，
∴
，解得，.
∵
，
∴
，
∴
．
选择②：∵
，
∴
，
∴
，或，.
∵
，
∴
，
∴
．
选择③：∵
是函数的一个零点，
∴
，
∴
，.
∵
，
∴
，
∴
．
由，，
得，，
∴
令，得，
令，得，
∴
函数在上的单调递增区间为，.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
【解析】
?根据的范围确定的取值，然后函数解析式即可确定.
方案一：由题意可求函数周期，利用周期公式可求，选条件①由题意可得，，结合范围，可求，可得函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数在上的单调递增区间；
方案二：选条件②，由题意可得，可求，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数在上的单调递增区间；
方案三：选条件③，由题意可得，求得，，可求，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数在上的单调递增区间．
【解答】
解：∵
的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
∴
，∴
，
∴
.
选择①：∵
函数为奇函数，
∴
，解得，.
∵
，
∴
，
∴
．
选择②：∵
，
∴
，
∴
，或，.
∵
，
∴
，
∴
．
选择③：∵
是函数的一个零点，
∴
，
∴
，.
∵
，
∴
，
∴
．
由，，
得，，
∴
令，得，
令，得，
∴
函数在上的单调递增区间为，.
【答案】
解：设的最小正周期为，得，
由，得，
又解得
根据，
令，
即，解得，
∴
．
∵
函数的最小正周期为，
又，∴
，
令，∵
，∴
，
如图，在上有两个不同的解，
则，
∴
方程在时恰好有两个不同的解，则，
即实数的取值范围是．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设的最小正周期为，得，
由，得，
又解得
根据，
令，
即，解得，
∴
．
∵
函数的最小正周期为，
又，∴
，
令，∵
，∴
，
如图，在上有两个不同的解，
则，
∴
方程在时恰好有两个不同的解，则，
即实数的取值范围是．
【答案】
解：由，可得，
由，可得，则，
则，
即的值域为.
证明：设，，且，
，
由，可得，即.
又，
则，即，
故在上单调递增.
函数，
，
则，，
当时，，既是奇函数也是偶函数；
当，，是奇函数；
当，，是偶函数；
当且，是非奇非偶函数.
不等式在上恒成立，
即为在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则，
由和在递增，可得在递增，
可得时，取得最小值，
则，可得的取值范围是．
【考点】
函数的值域及其求法
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
函数恒成立问题
【解析】
（1）运用指数函数的值域和不等式的性质，可得的值域；再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可证明的单调性；
（2）计算，，结合奇偶性的定义，分别讨论，，即可得到的奇偶性；
（3）由题意可得在上恒成立，由参数分离和换元法、以及指数函数的单调性，不等式恒成立思想，可得所求范围．
【解答】
解：由，可得，
由，可得，则，
则，
即的值域为.
证明：设，，且，
，
由，可得，即.
又，
则，即，
故在上单调递增.
?函数，
，
则，，
当时，，既是奇函数也是偶函数；
当，，是奇函数；
当，，是偶函数；
当且，是非奇非偶函数.
不等式在上恒成立，
即为在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则，
由和在递增，可得在递增，
可得时，取得最小值，
则，可得的取值范围是．
【答案】
解：因为，所以的定义域为．
因为是偶函数，即，
所以，故，
所以，即方程的解为一切实数，
所以，
因为，且，
所以原方程转化为
，
令，则
，
所以
所以在上是减函数，在上是增函数．
当时，使成立的有两个，，
又由知，与一一对应，
故当时，有个不等实根．
因为，
所以，
所以．
令，则，
令，设，
则
，
因为，所以，
即在上是增函数，所以，
设，则．
①当时，的最小值为，
所以，解得，或（舍去）；
②当时，的最小值为，不合愿意；
③当时，的最小值为
所以，解得，或（舍去）．
综上知，或?．
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
函数的零点与方程根的关系
函数的最值及其几何意义
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：因为，所以的定义域为．
因为是偶函数，即，
所以，故，
所以，即方程的解为一切实数，
所以，
因为，且，
所以原方程转化为
，
令，则
，
所以
所以在上是减函数，在上是增函数．
当时，使成立的有两个，，
又由知，与一一对应，
故当时，有个不等实根．
因为，
所以，
所以．
令，则，
令，设，
则
，
因为，所以，
即在上是增函数，所以，
设，则．
①当时，的最小值为，
所以，解得，或（舍去）；
②当时，的最小值为，不合愿意；
③当时，的最小值为
所以，解得，或（舍去）．
综上知，或?．
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