2020-2021学年江苏省扬州市仪征市高一（上）期中考试数学试卷苏教版（Word含解析）

2020-2021学年江苏省扬州市仪征市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
?
1.
函数的定义域是(?
?
?
?
)
A.）
B.）
C.
D.
?
2.
已知集合，集合，则是?
?
?
?
A.，
B.
C.
D.
?
3.
已知全集，集合或，，则阴影部分表示的集合为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
4.
世纪年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级．其计算公式是，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．级地震给人的震感已经比较明显，级地震的最大振幅是级地震最大振幅的(?
?
?
?
)
A.倍
B.倍
C.倍
D.倍
?
5.
已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
6.
从这个商标中抽象画出一个函数图像如图所示，其对应的函数可能是(?
?
?
?
)
A.??
B.???
C.???
D.?
?
7.
正数，满足，若对任意正数，恒成立，则实数的取值范围是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
8.
若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
已知集合，若，则满足条件的实数可能为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
已知，条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值可能为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
下列说法中正确的有(?
?
?
?
)
A.不等式恒成立
B.不等式恒成立
C.若，，则
D.存在，使得不等式成立
?
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的有(?
?
?
?
)
A.是偶函数
B.是奇函数
C.的值域是
D.是上的增函数
三、填空题
?
已知函数，则________．
?
若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________．
?
已知，，且，则的最小值为________.
?
设函数?当时，的最小值是_______；若恒成立，则的取值范围是_______．
四、解答题
?
在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．
问题：已知全集，，且________，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
?
计算；
计算．
?
已知函数.
若关于的不等式的解集为，求，的值；
当时，解关于的不等式.
?
年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情．接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减少经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是万件．已知生产该产品的固定投入为万元，每生产一万件该产品需要再投入万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品元．
将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
该厂家年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
?
定义在上的函数，满足，且.
求函数的解析式；
判断函数的单调性，并用定义证明；
解关于的不等式.
?
设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足．已知函数．
证明：函数的图象关于点对称．
已知函数的图象关于点对称，当时，．若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省扬州市仪征市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数要有意义，则要满足，求解即可.
【解答】
解：要使函数有意义，
则要满足
解得，
所以函数的定义域为,
故选.
2.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
将集合与集合中的方程联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．
【解答】
解：将集合和集合中的方程联立得：
①②得：，
解得：，
①②得：，
解得：，
所以方程组的解为
则．
故选.
3.
【答案】
D
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成，所以用集合表示为．
则，
则.
故选.
4.
【答案】
C
【考点】
对数及其运算
对数的运算性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当时，∵
，
∴
，
∴
．
当时，∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
从而可得，级地震的最大振幅是级地震最大振幅的倍.
故选.
5.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
由为偶函数，可得，于是，再结合偶函数在区间上单调递增，脱掉函数符号计算即可．
【解答】
解：∵
为偶函数，
∴
.
∵
，
∴
.
又函数在区间上单调递增，
∴
，即，
∴
．
故选.
6.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
函数图象的作法
【解析】
?
【解答】
解：由函数图像可知，时，故排除选项；
并且不能取，，故排除选项；
当时函数图像单调递减，时函数图像单调递增，且图像关于轴对称，故排除选项.
故选．
7.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
不等式恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用基本不等式求出，即可得到以恒成立，求解可得实数的取值范围.
【解答】
解：因为正数，满足，
所以
,
当且仅当，即，时等号成立，
因为对任意正数，恒成立，
所以恒成立，
即，解得,
所以实数的取值范围为.
故选.
8.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
讨论实数的范围，根据条件即可确定的取值．
【解答】
解：不等式可化为，
①当时，不等式的解集为，不等式的解集中恰有个整数，则，所以；
②当时，不等式无解，不符合题意；
③当时，不等式的解集为，不等式的解集中恰有个整数，则，所以，
综上，实数的取值范围为，
故选．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，或，
①若，即，
所以或，
检验：当时，，与集合中元素互异性矛盾，舍去；
当时，，与元素互异性矛盾，舍去．
②若，即，
所以或，
经验证或为满足条件的实数．
故选.
【答案】
A,B,C
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
先解出命题所对应的集合，再根据条件分析集合间包含关系，进行求解得选项.
【解答】
解：因为，条件：，
所以对应的集合为.
因为条件：，
所以当时，对应的集合为，
当时，对应的集合为，
当时，对应的集合为.
因为是的充分不必要条件，所以，
所以当时，对应的集合为
此时满足，，故满足题意；
当时，对应的集合为，
此时满足，需，
解得；
当时，对应的集合为
此时满足，故满足题意.
所以实数的取值范围是.
故选.
【答案】
B,C,D
【考点】
基本不等式
不等式的基本性质
【解析】
根据基本不等式和不等式的性质即可判断每个不等式是否成立，从而找出正确选项．
【解答】
解：，不等式恒成立的条件是，，故该选项错误；
，
，
所以，故该选项正确；
，因为，，所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故该选项正确，
，当为负数时，成立，故该选项正确，
故选.
【答案】
A,C
【考点】
函数的值域及其求法
函数奇偶性的判断
高斯函数[x]
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为
，
函数的定义域为，
所以，
故在上是偶函数，故错误；
因函数，
所以是偶函数，故正确；
因为，
所以，
则值域为，故正确，
当时，单调递增，因为是偶函数，故在上单调递减，
与的增减性一致，故错误，
故选.
三、填空题
【答案】
【考点】
函数的求值
【解析】
，由，得，由此能求出．
【解答】
解：因为，
令，得，
所以．
故答案为：．
【答案】
【考点】
二次函数的性质
【解析】
因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“，使得”，则相应二次方程有不等的实根．
【解答】
解：∵
，使得，
∴
有两个不等实根，
∴
，
解得或.
故答案为：.
【答案】
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
，，
∴
，当且仅当时等号成立，
∴
，
即,
∴
或(舍去)，
∴
的最小值为.
故答案为：.
【答案】
,
【考点】
分段函数的应用
不等式恒成立问题
函数最值的应用
【解析】
利用分段函数的最值求法求解即可.
【解答】
解：若时，函数
当时，单调递减，故；
当时，，当且仅当即时等号成立，
故，
所以时，的最小值是；
对于
若恒成立，
则的最小值是，
即函数的最小值应该在处取得，
所以且，
解得.
故答案为：；.
四、解答题
【答案】
解：因为，
所以．
若选择①，，
所以．
若选择②，，
所以．
【考点】
交、并、补集的混合运算
函数的定义域及其求法
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，
所以．
若选择①，，
所以．
若选择②，，
所以．
【答案】
解：原式
.
原式
．
【考点】
分数指数幂
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
对数的运算性质
【解析】
利用指数和对数的性质和运算法则，进行计算．
【解答】
解：原式
.
原式
．
【答案】
解：由条件知，关于的方程的两个根为和，
所以
解得
当时，，即
当，即时，解得或；
当，即时，解得；
当，即时，解得或．
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【考点】
根与系数的关系
一元二次不等式的解法
【解析】
无
无
【解答】
解：由条件知，关于的方程的两个根为和，
所以
解得
当时，，即
当，即时，解得或；
当，即时，解得；
当，即时，解得或．
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【答案】
解：由题意知，当时，（万件），
则，解得，．
因为每件产品的销售价格为元，
所以年的利润
．
当时，，
所以，当且仅当时等号成立．
所以，当且仅当，
即时，．
故该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大为万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
暂无
?
【解答】
解：由题意知，当时，（万件），
则，解得，．
因为每件产品的销售价格为元，
所以年的利润
．
当时，，
所以，当且仅当时等号成立．
所以，当且仅当，
即时，．
故该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大为万元．
【答案】
解：因为函数满足，所以是定义在上的奇函数，
所以，即．
又，所以，解得，
所以，满足，
所以．
函数在上为单调递增函数．
证明如下：
设，
则
，
因为，所以，，所以，所以，
所以函数在上为单调递增函数．
由，得，
因为为奇函数，所以，
所以．
因为函数在上为单调递增函数，
所以，解得．
故不等式的解集为．
【考点】
奇函数
函数解析式的求解及常用方法
函数的求值
函数的单调性及单调区间
函数单调性的性质
函数奇偶性的性质
【解析】
无
无
无
【解答】
解：因为函数满足，所以是定义在上的奇函数，
所以，即．
又，所以，解得，
所以，满足，
所以．
函数在上为单调递增函数．
证明如下：
设，
则
，
因为，所以，，所以，所以，
所以函数在上为单调递增函数．
由，得，
因为为奇函数，所以，
所以．
因为函数在上为单调递增函数，
所以，解得．
故不等式的解集为．
【答案】
证明：因为，，
所以，
所以，
即对任意的，都有成立．
所以函数的图象关于点对称．
解：因为，易知在上单调递增．
所以在时的值域为．
记函数的值域为．
若对任意的，总存在，使得成立，则．
因为当时，，
所以，即函数的图象过对称中心．
①当，即时，函数在上单调递增．
由对称性知，在上单调递增，所以函数在上单调递增．
易知，又，所以，则．
由，得
解得．
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增．
由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
所以结合对称性知，或．
因为，故．
又，故．
易知．
又，
所以．
所以当时，成立．
③当，即时，函数在上单调递减．
由对称性知，在上单调递减，所以函数在上单调递减．
易知，又，
所以，则．
由，得解得．
综上可知，实数的取值范围为．
【考点】
函数新定义问题
函数的对称性
函数的单调性及单调区间
【解析】
无
无
【解答】
证明：因为，，
所以，
所以，
即对任意的，都有成立．
所以函数的图象关于点对称．
解：因为，易知在上单调递增．
所以在时的值域为．
记函数的值域为．
若对任意的，总存在，使得成立，则．
因为当时，，
所以，即函数的图象过对称中心．
①当，即时，函数在上单调递增．
由对称性知，在上单调递增，所以函数在上单调递增．
易知，又，所以，则．
由，得?解得．
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增．
由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
所以结合对称性知，或．
因为，故．
又，故．
易知．
又，
所以．
所以当时，成立．
③当，即时，函数在上单调递减．
由对称性知，在上单调递减，所以函数在上单调递减．
易知，又，
所以，则．
由，得解得．
综上可知，实数的取值范围为．
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