2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.1.2菱形的判定 同步练习题（word版含答案）

1.1.2菱形的判定
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，已知∠A，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接
BC，CD，则所得四边形ABCD为菱形，判定依据是______________.
　　　　　
2.如图，在?ABCD中，添加一个条件________，能使?ABCD是菱形.
3.如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AC＝12，当BD＝________时，?ABCD是菱形.
4.如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，有以下结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE，其中正确的个数是________.
二、选择题
5.下列说法中，正确的是(
B
)
A.两邻边相等的四边形是菱形
B一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线垂直的四边形是
是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(
)
A.AB＝CD
B.AC＝BD
C.AC⊥BD
D.AD＝BC
7.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点.若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(
)
A.40
B.24
C.20
D.15
8.在?ABCD中，AC，BD是两条对角线，现从以下四个关系：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机选择一个作为条件，则可推出?ABCD是菱形的概率为(
)
A.
B.
C.
D.1
三、解答题
9.(1)如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上，且BC＝AB，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.
(2)如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形.
10.定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC垂直平分BD.
(1)请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：
性质1：________；
性质2：________.
(2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形.
B组(中档题)
四、填空题
11.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作?CDEB，当AD＝________时，?CDEB为菱形.
12.如图，由两个长为9、宽为3的全等长方形纸条叠合而得到四边形
ABCD，那么四边形
ABCD面积的最大值是________.
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8
cm，点P从点A出发，沿AB方向以
cm/s的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发，沿BC方向以1
cm/s的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t/s，则t的值为________时，四边形QPCP′为菱形.
五、解答题
14.如图，过?ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.
(1)求证：△PBE≌△QDE.
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形.
C组(综合题)
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别交BC，CD于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH.
(1)求证：∠1＝∠2.
(2)求证：四边形CFHE是菱形.
(3)若∠CAB＝60°，直接写出S四边形CFHE∶S△ABC的值.
参考答案
1.1.2菱形的判定
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，已知∠A，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接
BC，CD，则所得四边形ABCD为菱形，判定依据是四条边都相等的四边形是菱形.
　　　　　
2.如图，在?ABCD中，添加一个条件：答案不唯一，如：AC⊥BD，能使?ABCD是菱形.
3.如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AC＝12，当BD＝16时，?ABCD是菱形.
4.如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，有以下结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE，其中正确的个数是4.
二、选择题
5.下列说法中，正确的是(
B
)
A.两邻边相等的四边形是菱形
B一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线垂直的四边形是菱形
6.如图，已知点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(
A
)
A.AB＝CD
B.AC＝BD
C.AC⊥BD
D.AD＝BC
7.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点.若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(
B
)
A.40
B.24
C.20
D.15
8.在?ABCD中，AC，BD是两条对角线，现从以下四个关系：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机选择一个作为条件，则可推出?ABCD是菱形的概率为(
B
)
A.
B.
C.
D.1
三、解答题
9.(1)如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上，且BC＝AB，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD.
∴∠ADB＝∠ABD.
∴AB＝AD.
又∵AB＝BC，∴AD＝BC.
∵AE∥BF，即AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形.
(2)如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BF，
∴AE＝CF.
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形.
10.定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC垂直平分BD.
(1)请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：
性质1：对角线互相垂直；
性质2：是轴对称图形.
(2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形.
证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BO＝DO，BC＝DC.
∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA).∴AB＝CD.
∴AB＝CD＝BC＝AD.
∴四边形ABCD为菱形.
B组(中档题)
四、填空题
11.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作?CDEB，当AD＝6时，?CDEB为菱形.
12.如图，由两个长为9、宽为3的全等长方形纸条叠合而得到四边形
ABCD，那么四边形
ABCD面积的最大值是15.
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8
cm，点P从点A出发，沿AB方向以
cm/s的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发，沿BC方向以1
cm/s的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t/s，则t的值为时，四边形QPCP′为菱形.
五、解答题
14.如图，过?ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.
(1)求证：△PBE≌△QDE.
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD.
∴∠EBP＝∠EDQ.
在△PBE和△QDE中，
∴△PBE≌△QDE(ASA).
(2)∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ.
同理△BME≌△DNE(ASA).
∴EM＝EN.
∴四边形PMQN是平行四边形.
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形.
C组(综合题)
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别交BC，CD于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH.
(1)求证：∠1＝∠2.
(2)求证：四边形CFHE是菱形.
(3)若∠CAB＝60°，直接写出S四边形CFHE∶S△ABC的值.
解：(1)证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠EAB.
又∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠B＝90°.
∴∠ACD＝∠B.
∴∠1＝∠CAE＋∠ACD＝∠B＋∠EAB＝∠2.
(2)证明：∵∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE＝EH.
∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CF∥EH.
由(1)可知∠1＝∠2，
∴CF＝CE.
∴CF＝EH.
∴四边形CFHE是平行四边形.
∵CE＝EH，∴四边形CFHE是菱形.
(3).