1.2.2矩形的判定
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图是一个平行四边形的活动框架,对角线是两根皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线的长度也在发生改变.当∠α=_______时,两条对角线的长度相等.
2.如图,在?ABCD中,若∠1=∠2,则四边形ABCD是_______.
3.如图,连接四边形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,还要添加条件:_______,才能保证四边形EFGH是矩形.
4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形
BCDE的面积是_______.
二、选择题
5.四个内角都相等的四边形是(
)
A.矩形
B.菱形
C.梯形
D.平行四边形
6.如图,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的平分线,则四边形ABCD是(
)
A.菱形
B.平行四边形
C.矩形
D.不能确定
7.如图,在?ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA.添加下列条件中的一个,能使四边形AMCN是矩形的是(
)
A.OM=AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
8.已知在四边形
ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,下列判断中错误的是(
)
A.如果AB=CD,AC=BD,那么四边形ABCD是矩形
B.如果AB∥CD,AC=BD,那么四边形ABCD是矩形
C.如果AD=BC,AC⊥BD,那么四边形ABCD是菱形
D.如果OA=OC,AC⊥BD,那么四边形ABCD是菱形
三、解答题
9.(1)已知:如图,在?ABCD中,AF,BH,CH,DF分别是∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC的平分线.求证:四边形
EFGH为矩形.
(2)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.
①求证:四边形ABCD是矩形.
②若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.
10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.求证:四边形OEFG是矩形.
B组(中档题)
四、填空题
11.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA
上,且
DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:
①四边形AEDF是平行四边形;
②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;
③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;
④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有_______(只填写序号).
12.如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,则四边形EFOG的面积为_______.(用含S的代数式表示)
13.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点,则AM的最小值为_______.
五、解答题
14.如图,点M是?ABCD的边AD的中点,点P是边BC上的一个动点,PE∥MB,PF∥MC,PE分别交MC于点E,PF交MB于点F.如果AB∶AD=1∶2,试判断四边形PEMF的形状,并说明理由.
C组(综合题)
15.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为1
cm/s,运动时间为t
s(0≤t≤5).
(1)AE=t,EF=_______.
(2)若G,H分别是AB,DC的中点,求证:四边形EGFH是平行四边形.
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,四边形EGFH为矩形?
参考答案
1.2.2矩形的判定
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图是一个平行四边形的活动框架,对角线是两根皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线的长度也在发生改变.当∠α=90°时,两条对角线的长度相等.
2.如图,在?ABCD中,若∠1=∠2,则四边形ABCD是矩形.
3.如图,连接四边形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,还要添加条件:AC⊥BD,才能保证四边形EFGH是矩形.
4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形
BCDE的面积是2.
二、选择题
5.四个内角都相等的四边形是(
A
)
A.矩形
B.菱形
C.梯形
D.平行四边形
6.如图,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的平分线,则四边形ABCD是(C)
A.菱形
B.平行四边形
C.矩形
D.不能确定
7.如图,在?ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA.添加下列条件中的一个,能使四边形AMCN是矩形的是(A)
A.OM=AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
8.已知在四边形
ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,下列判断中错误的是(
A
)
A.如果AB=CD,AC=BD,那么四边形ABCD是矩形
B.如果AB∥CD,AC=BD,那么四边形ABCD是矩形
C.如果AD=BC,AC⊥BD,那么四边形ABCD是菱形
D.如果OA=OC,AC⊥BD,那么四边形ABCD是菱形
三、解答题
9.(1)已知:如图,在?ABCD中,AF,BH,CH,DF分别是∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC的平分线.求证:四边形
EFGH为矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB+∠ADC=180°.
∵AF,DF分别平分∠DAB,∠ADC,
∴∠FAD=∠BAF=∠DAB,∠ADF=∠CDF=∠ADC.
∴∠FAD+∠ADF=90°
.∴∠AFD=90°.
同理,∠BHC=∠HEF=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
(2)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.
①求证:四边形ABCD是矩形.
②若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.
解:①证明:∵AO=OC,BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠AOB=2∠OAD,∠AOB=∠OAD+∠ADO,
∴∠OAD=∠ADO.
∴AO=OD.
又∵AC=2AO,BD=2OD,
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
②设∠AOB=4x°,∠ODC=3x°,则∠DOC=4x°,∠OCD=3x°.
在△ODC中,∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°.
∴4x+3x+3x=180,解得x=18.
∴∠ODC=3×18°=54°.
∴∠ADO=90°-∠ODC=90°-54°=36°.
10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.求证:四边形OEFG是矩形.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD.
∵E是AD的中点,
∴OE是△ABD的中位线.
∴OE∥FG.
∵OG∥EF,
∴四边形OEFG是平行四边形.
∵EF⊥AB,∴∠EFG=90°.
∴四边形OEFG是矩形.
B组(中档题)
四、填空题
11.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA
上,且
DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:
①四边形AEDF是平行四边形;
②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;
③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;
④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有①②③④(只填写序号).
12.如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,则四边形EFOG的面积为S.(用含S的代数式表示)
13.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点,则AM的最小值为.
五、解答题
14.如图,点M是?ABCD的边AD的中点,点P是边BC上的一个动点,PE∥MB,PF∥MC,PE分别交MC于点E,PF交MB于点F.如果AB∶AD=1∶2,试判断四边形PEMF的形状,并说明理由.
解:四边形PEMF为矩形.理由如下:
∵PE∥MB,PF∥MC,
∴四边形PEMF为平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD.
∵M是边AD的中点,
∴AM=DM=AD.
∵AB∶AD=1∶2,
∴AB=CD=AM=DM.
∴∠ABM=∠AMB,∠DMC=∠DCM.
∵AD∥CB,
∴∠CBM=∠AMB,∠DMC=∠BCM.
∴∠CBM=∠ABM=∠ABC,∠DCM=∠BCM=∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠MBC+∠MCB=90°.
∴∠BMC=90°.
∴四边形PEMF为矩形.
C组(综合题)
15.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为1
cm/s,运动时间为t
s(0≤t≤5).
(1)AE=t,EF=5-2t或2t-5.
(2)若G,H分别是AB,DC的中点,求证:四边形EGFH是平行四边形.
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,四边形EGFH为矩形?
解:(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°.
∴AC===5,∠GAF=∠HCE.
∵G,H分别是AB,DC的中点,
∴AG=BG,CH=DH.
∴AG=CH.
∵AE=CF,
∴AF=CE.
在△AFG和△CEH中,
∴△AFG≌△CEH(SAS).
∴GF=HE.
同理:GE=HF.
∴四边形EGFH是平行四边形.
(3)连接GH,
由(1)可知四边形EGFH是平行四边形.
∵点G,H分别是矩形ABCD的边AB,DC的中点,
∴GH=BC=4.
∴当EF=GH=4时,四边形EGFH是矩形,分两种情况:
①EF=5-2t=4,解得t=0.5.
②EF=2t-5=4,解得t=4.5.
故当t为0.5
s或4.5
s时,四边形EGFH为矩形.