2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.2.1矩形的性质 同步练习题 （word版含答案）

1.2.1矩形的性质
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形.若∠BAG＝20°，则∠DAE等于__________.
　　　　
2.如图，在平面直角坐标系中，四边形COED是矩形，点D的坐标是(1，3)，则C，E两点间的距离为______.
3.如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则二者的大小关系是S1______S2.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为______.
二、选择题
5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(
)
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
6.矩形一个角的平分线分矩形一边为1
cm和3
cm两部分，则它的面积为(
)
A.3
cm
B.4
cm
C.12
cm
D.4
cm或12
cm
7.如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是(
)
A.AE＝CE
B.AE＞CE
C.AE＜CE
D.AE＝2CE
8.如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.在下列结论中，不一定正确的是(
)
A.△AFD≌△DCE
B.AF＝AD
C.AB＝AF
D.BE＝AD－DF
三、解答题
9.(1)如图，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E.求证：BE＝BD.
(2)已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
10.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN.
(1)求证：四边形ANCM为平行四边形.
(2)若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为______.
B组(中档题)
四、填空题
11.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B(1，2).若锁定OA，向左推矩形OABC，使点B落在y轴的点B′的位置，则点C的对应点C′的坐标为______.
12.如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为______.
13.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为
DF的中点，连接PB，则PB的最小值为______.
五、解答题
14.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，求AB的长.
C组(综合题)
15.如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.
(1)如图1，当点P为线段EC中点时，易证PR＋PQ＝______.(不需证明)
(2)如图2，当点P为线段EC上的任意一点(不与点E，C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
(3)如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.
参考答案
1.2.1矩形的性质
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形.若∠BAG＝20°，则∠DAE等于20°.
　　　　
2.如图，在平面直角坐标系中，四边形COED是矩形，点D的坐标是(1，3)，则C，E两点间的距离为.
3.如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则二者的大小关系是S1＝S2.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为2.5.
二、选择题
5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(
C
)
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
6.矩形一个角的平分线分矩形一边为1
cm和3
cm两部分，则它的面积为(
D
)
A.3
cm
B.4
cm
C.12
cm
D.4
cm或12
cm
7.如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是(
B
)
A.AE＝CE
B.AE＞CE
C.AE＜CE
D.AE＝2CE
8.如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.在下列结论中，不一定正确的是(
B
)
A.△AFD≌△DCE
B.AF＝AD
C.AB＝AF
D.BE＝AD－DF
三、解答题
9.(1)如图，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E.求证：BE＝BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AD∥BC.
又∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形.
∴BE＝AC.
∴BE＝BD.
(2)已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD.
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，
∴∠BEF＋∠CED＝90°.
∴∠BFE＝∠CED.
又∵EF＝ED，
∴△EBF≌△DCE(AAS).
∴BE＝CD.
∴BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°.
∴∠EAD＝45°.
∴∠BAE＝∠EAD.
∴AE平分∠BAD.
10.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN.
(1)求证：四边形ANCM为平行四边形.
(2)若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为.
证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO.
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC.
∴△AOM≌△CON(AAS).
∴AM＝CN.
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形.
B组(中档题)
四、填空题
11.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B(1，2).若锁定OA，向左推矩形OABC，使点B落在y轴的点B′的位置，则点C的对应点C′的坐标为(－1，).
12.如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为12.
13.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为
DF的中点，连接PB，则PB的最小值为2.
五、解答题
14.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，求AB的长.
解：连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°.
∴∠FCO＝∠EAO.
又∵∠COF＝∠AOE，CF＝AE，
∴△COF≌△AOE(AAS).∴OE＝OF，OA＝OC.
∵BF＝BE，∴BO⊥EF，∠BOF＝90°.
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB＋∠AOE，
∴∠CAB＝∠EOA.∴EA＝EO＝OF＝FC＝2.
∴Rt△BFO≌Rt△BFC(HL).∴BO＝BC.
在Rt△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC.
∴△BOC是等边三角形.
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°.
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°.
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形.
∴EB＝EF＝4.
∴AB＝AE＋EB＝2＋4＝6.
C组(综合题)
15.如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.
(1)如图1，当点P为线段EC中点时，易证PR＋PQ＝.(不需证明)
(2)如图2，当点P为线段EC上的任意一点(不与点E，C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
(3)如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.
解：(2)图2中结论PR＋PQ＝仍成立.
证明：连接BP，过点C作CK⊥BD于点K.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°.
又∵CD＝AB＝3，BC＝4，
∴BD＝＝＝5.
∵S△BCD＝BC·CD＝BD·CK，
∴3×4＝5CK.
∴CK＝.
∵S△BCE＝BE·CK，S△BEP＝PR·BE，S△BCP＝PQ·BC，且S△BCE＝S△BEP＋S△BCP，
∴BE·CK＝PR·BE＋PQ·BC.
又∵BE＝BC，
∴CK＝PR＋PQ，
∴CK＝PR＋PQ.
又∵CK＝，
∴PR＋PQ＝.
(3)过点C作CF⊥BD交BD于点F，作CM⊥PR交PR于点M，连接BP，
∵S△BPE－S△BCP＝S△BEC，S△BEC是固定值，
且S△BPE＝BE·PR，S△BCP＝BC·PQ，
∴图3中的结论是PR－PQ＝.