2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.1.3菱形的性质与判定的运用 同步练习题 （word版含答案）

1.1.3菱形的性质与判定的运用
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是_______.(填正确的序号)
2.如图，线段AB＝10，分别以点A，B为圆心，6为半径作弧，两弧交于点C，D，连接CD，则CD的长为_______.
　　　
3.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为_______
4.如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为_______.
5.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两对角线的长度之和是_______.
二、选择题
6.如图，在?ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则?ABCD的周长为(
)
A.4
B.6
C.8
D.12
7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为(
)
A.60°
B.90°
C.100°
D.110°
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是AB，AO的中点.若AF＝1，EF＝2，则菱形ABCD的面积等于(
)
A.8
B.32
C.16
D.4
9.如图，四边形ABCD是菱形，过点D的直线EF分别交BA，BC的延长线于点E，F.若∠1＝25°，∠2＝75°，则∠BAC等于(
)
A.45°
B.50°
C.60°
D.75°
10.如图，在菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且OA＝4，直线y＝x＋过点C，则菱形ABOC的面积是(
)
A.8
B.4
C.
D.
三、解答题
11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADCF是菱形.
(2)若AC＝5，AB＝12，求菱形ADCF的面积.
B组(中档题)
四、填空题
12.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，过点E作EG⊥AD于点G，连接GF.若∠A＝70°，则∠DGF的度数为_______.
13.如图，已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝6
cm，P为AC上任意一点，则PD＋PA的最小值是_______cm.
14.如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN交AD于点F，连接PF.若△DPF是等腰三角形，则PF的长为_______.
五、解答题
15.如图，在?ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝.对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
(1)求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形.
(2)求证：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等.
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
C组(综合题)
16.如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作?ECFG，如图1所示.
(1)求证：平行四边形ECFG是菱形.
(2)若∠ABC＝120°，连接BG，CG，DG，如图2所示.
①求证：△DGC≌△BGE.
②∠BDG的度数为60°.
(3)若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长.
参考答案
1.1.3菱形的性质与判定的运用
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是①③.(填正确的序号)
2.如图，线段AB＝10，分别以点A，B为圆心，6为半径作弧，两弧交于点C，D，连接CD，则CD的长为2.
　　　
3.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为.
4.如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为4.8.
5.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两对角线的长度之和是16.
二、选择题
6.如图，在?ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则?ABCD的周长为(
C
)
A.4
B.6
C.8
D.12
7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为(
B
)
A.60°
B.90°
C.100°
D.110°
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是AB，AO的中点.若AF＝1，EF＝2，则菱形ABCD的面积等于(
C
)
A.8
B.32
C.16
D.4
9.如图，四边形ABCD是菱形，过点D的直线EF分别交BA，BC的延长线于点E，F.若∠1＝25°，∠2＝75°，则∠BAC等于(
B
)
A.45°
B.50°
C.60°
D.75°
10.如图，在菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且OA＝4，直线y＝x＋过点C，则菱形ABOC的面积是(
B
)
A.8
B.4
C.
D.
三、解答题
11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADCF是菱形.
(2)若AC＝5，AB＝12，求菱形ADCF的面积.
解：(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE.
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB(AAS).
∴AF＝DB.
∵D是BC的中点，
∴AF＝DB＝CD.
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD.
∴四边形ADCF是菱形.
(2)∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC＝AB·AC＝×5×12＝30.
B组(中档题)
四、填空题
12.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，过点E作EG⊥AD于点G，连接GF.若∠A＝70°，则∠DGF的度数为55°.
13.如图，已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝6
cm，P为AC上任意一点，则PD＋PA的最小值是3cm.
14.如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN交AD于点F，连接PF.若△DPF是等腰三角形，则PF的长为6－2或2.
五、解答题
15.如图，在?ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝.对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
(1)求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形.
(2)求证：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等.
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
解：(1)证明：当∠AOF＝90°时，
∵∠BAO＝∠AOF＝90°，
∴AB∥EF.
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形.
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO.
∴∠FAO＝∠ECO.
∵∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴AF＝EC.
(3)四边形BEDF可以是菱形.
理由：连接BF，DE，
由(2)知△AOF≌△COE，得OF＝OE，
∴EF与BD互相平分.
∴四边形BEDF为平行四边形.
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中，AC＝＝＝2，
∴OA＝AB＝1.
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB＝45°.
∴∠AOF＝45°.
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形.
C组(综合题)
16.如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作?ECFG，如图1所示.
(1)求证：平行四边形ECFG是菱形.
(2)若∠ABC＝120°，连接BG，CG，DG，如图2所示.
①求证：△DGC≌△BGE.
②∠BDG的度数为60°.
(3)若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长.
解：(1)证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE.
∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF.
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC.
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°.
由(1)知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°.
∴△ECG是等边三角形.
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°.
∴∠BEG＝∠DCG＝120°.
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE.
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝BE.
∴BE＝CD.
∴△DGC≌△BGE(SAS).
(3)在图3中，连接BM，MC.
由题可知，AB∥DC∥EG，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CEG＝∠ECF＝90°.
由(1)得四边形ECFG是菱形，
∴EF平分∠GEC.
∴∠CEM＝45°.
∵M为EF的中点，
∴EM＝MF＝CM.
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∠EMC＝90°.
∴∠BEM＝∠DCM＝135°.
由(2)得BE＝CD.
∴△BME≌△DMC(SAS).
∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME.
∴∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝∠EMC＝90°.
∴△BMD是等腰直角三角形.
∴BD＝＝DM.
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝＝2.
∴DM＝BD＝.