2021-2022学年北师大版数学九年级上册1.1.1菱形的性质 同步练习题（word版含答案）

1.1.1菱形的性质
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝____
　　
2.如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥AB，垂足为E，PE＝5，则点P到BC的距离是____
3.如图，已知菱形ABCD的顶点A，B在数轴上对应的数分别为－5和1，则BC＝____
　　　
4.已知菱形的周长为40
cm，两条对角线的长度为3∶4，那么两条对角线的长分别为____和____.
5.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D＝70°，则∠BCE的度数是____.
二、选择题
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是(
)
A.∠BAC＝∠DAC
B.OA＝OC
C.AC⊥BD
D.AC＝BD
7.如图，菱形
ABCD的周长是4
cm，∠ABC＝60°，则这个菱形的对角线AC的长是(
)
A.1
cm
B.2
cm
C.3
cm
D.4
cm
8.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为(
)
A.100°
B.120°
C.135°
D.150°
9.如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接
CP，则∠CPB的度数是(
)
A.108°
B.72°
C.90°
D.100°
三、解答题
10.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DAF.
11.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，当点A′与点C重合时，连接AB′，求AB′的长.
B组(中档题)
四、填空题
12.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰△BDE，则∠EBC的度数为____.
13.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以
AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；……按此规律所作的第2
021个菱形的边长为____.
14.如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝3，O是?ABCD的对称中心，O′是菱形ABEF的对称中心.若OO′＝d，则d的取值范围为____
五、解答题
15.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点.
(1)如图1，若CE＝CF，求证：AE＝AF.
(2)如图2，若∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF的度数.
C组(综合题)
16.如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上的动点(不含B，D).
(1)证明无论动点P在何处，四边形PMCN的面积总是固定值，并求出这个固定值.
(2)试探究动点P在何处时，四边形PMCN的周长最小，最小值是多少？
参考答案
1.1.1菱形的性质
同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝100°.
　　
2.如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥AB，垂足为E，PE＝5，则点P到BC的距离是5.
3.如图，已知菱形ABCD的顶点A，B在数轴上对应的数分别为－5和1，则BC＝6.
　　　
4.已知菱形的周长为40
cm，两条对角线的长度为3∶4，那么两条对角线的长分别为12cm和16cm.
5.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D＝70°，则∠BCE的度数是35°.
二、选择题
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是(
D
)
A.∠BAC＝∠DAC
B.OA＝OC
C.AC⊥BD
D.AC＝BD
7.如图，菱形
ABCD的周长是4
cm，∠ABC＝60°，则这个菱形的对角线AC的长是(
A
)
A.1
cm
B.2
cm
C.3
cm
D.4
cm
8.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为(
B
)
A.100°
B.120°
C.135°
D.150°
9.如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接
CP，则∠CPB的度数是(
B
)
A.108°
B.72°
C.90°
D.100°
三、解答题
10.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DAF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS).
∴∠BAE＝∠DAF.
11.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，当点A′与点C重合时，连接AB′，求AB′的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8.
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，点A′与点C重合，
∴O′C＝OA＝2，O′B′＝OB＝8，∠CO′B′＝90°.
∴AO′＝AC＋O′C＝6.
∴AB′＝＝＝10.
B组(中档题)
四、填空题
12.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰△BDE，则∠EBC的度数为45°或105°.
13.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以
AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；……按此规律所作的第2
021个菱形的边长为()2020.
14.如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝3，O是?ABCD的对称中心，O′是菱形ABEF的对称中心.若OO′＝d，则d的取值范围为0.5≤d≤3.5.
五、解答题
15.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点.
(1)如图1，若CE＝CF，求证：AE＝AF.
(2)如图2，若∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF的度数.
解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA.
又∵CE＝CF，∴BE＝DF.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS).
∴AE＝AF.
(2)连接AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝DA.
∴△ABC与△CDA为等边三角形.
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°.
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF.
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(ASA).∴AE＝AF.
∵∠EAF＝60°，∴△EAF为等边三角形.
∴∠AEF＝60°.
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AEF＋∠CEF，
∴60°＋20°＝60°＋∠CEF.
∴∠CEF＝20°.
C组(综合题)
16.如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上的动点(不含B，D).
(1)证明无论动点P在何处，四边形PMCN的面积总是固定值，并求出这个固定值.
(2)试探究动点P在何处时，四边形PMCN的周长最小，最小值是多少？
解：(1)连接MN，BN.
∵M，N分别是边BC，CD的中点，
∴MN∥BD.
∴S△PMN＝S△BMN＝S△CMN＝△BCN＝△BCD.
∴S四边形PMCN＝S△BCD＝S菱形ABCD＝××6×8＝6.
(2)作点M关于BD的对称点Q，连接NQ交BD于点P，连接MP，此时MP＋NP的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，
即Q在AB上.
∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ.
∵M为BC中点，∴Q为AB中点.
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ＝CN.
∴四边形BQNC是平行四边形.
∴NQ＝BC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP＝AP＝3，BP＝PD＝4.
在Rt△BPC中，由勾股定理，得BC＝5，即NQ＝5.
∴MP＋NP＝QP＋NP＝QN＝5.
∴四边形PMCN周长的最小值是10.