正方形
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(共27张PPT)
19.2.3 正方形(2)
正方形的定义
正方形, 既是有一组邻边相等的矩形，
又是有一个角为直角的菱形。
有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
性 质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD
是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
正方形
2.矩形
有一组邻边相等
3.菱形
有一个角是直角
1.平行四边形
有一组邻边相等
有一个角是直角
常
见
说
明
方
法
例1：
1、要使一个菱形成为正方形需增加的条件
是 . (填上一个条件即可)
2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件
是 .(填上一个条件即可)
3、下列正确的是( )
Ａ.四边相等的四边形是正方形
Ｂ.四角相等的四边形是正方形
Ｃ.对角线垂直的平行四边形是正方形
Ｄ.对角线互相垂直平分且相等的四边形
是正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
D
一展身手
4. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，
能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
A
B
C
D
O
C
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
根据图形所具有的性质,
在下表相应的空格中打 ”√”
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
450
矩形
有4个直角的四边形是矩形
1
∠BCD=22.50
∠A=∠BCD=22.50
AE=CE
∠1 =∠BCD=22.50
∠DCE=450
A
B
C
D
O
E
F
分析：要证明BM＝CN，
可以考虑证哪两个三角形全等
你能完成证明吗
AB＝BC，∠1＝∠2＝45 ° 条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
△ABM≌△BCN
你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件
由正方形可以得到的条件有：
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3
＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
下面大家自己完成证明
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，
由于△MDF是直角三角形,
只须证△MDF是等腰三角形,
即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等
试一试,看能不能完成证明
△CMD≌△ADF
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，
∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS) ∴DM=DF
下面的证明请大家完成
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
例4．如图(6)，△ABC的外面作
正方形ABDE和ACFG，
连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
分析：欲证∠CEA＝∠ABG，
想一想证明两个角相等的方法，
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，
且AB＝acm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6 cm，如图
求：正方形的面积S。
练习3．
如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB; (2) BH⊥AF
证明：
例题赏析
⒉在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．
G
F
E
D
A
B
C
例题赏析
⒊在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．
⑴求证：DQ=CP；
⑵OP与OQ有何关系？试证明你的结论．
如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点．
求证：
⑴CE=BG；
⑵EG=2AM．
H
M
E
D
F
G
B
C
A
求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．
练习：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
１．一个矩形的２条对角线互相垂直，它是正方形吗？
２．一个菱形的２条对角线相等，它是正方形吗？
思考：
小结
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形有那些性质
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角
边：
角：
对角线：
小结
19.2.3 正方形(2)
正方形的定义
正方形, 既是有一组邻边相等的矩形，
又是有一个角为直角的菱形。
有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
性 质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
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∟
∟
∟
∟
O
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∟
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD
是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
正方形
2.矩形
有一组邻边相等
3.菱形
有一个角是直角
1.平行四边形
有一组邻边相等
有一个角是直角
常
见
说
明
方
法
例1：
1、要使一个菱形成为正方形需增加的条件
是 . (填上一个条件即可)
2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件
是 .(填上一个条件即可)
3、下列正确的是( )
Ａ.四边相等的四边形是正方形
Ｂ.四角相等的四边形是正方形
Ｃ.对角线垂直的平行四边形是正方形
Ｄ.对角线互相垂直平分且相等的四边形
是正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
D
一展身手
4. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，
能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
A
B
C
D
O
C
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
根据图形所具有的性质,
在下表相应的空格中打 ”√”
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
450
矩形
有4个直角的四边形是矩形
1
∠BCD=22.50
∠A=∠BCD=22.50
AE=CE
∠1 =∠BCD=22.50
∠DCE=450
A
B
C
D
O
E
F
分析：要证明BM＝CN，
可以考虑证哪两个三角形全等
你能完成证明吗
AB＝BC，∠1＝∠2＝45 ° 条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
△ABM≌△BCN
你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件
由正方形可以得到的条件有：
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3
＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
下面大家自己完成证明
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，
由于△MDF是直角三角形,
只须证△MDF是等腰三角形,
即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等
试一试,看能不能完成证明
△CMD≌△ADF
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，
∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS) ∴DM=DF
下面的证明请大家完成
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
例4．如图(6)，△ABC的外面作
正方形ABDE和ACFG，
连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
分析：欲证∠CEA＝∠ABG，
想一想证明两个角相等的方法，
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，
且AB＝acm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6 cm，如图
求：正方形的面积S。
练习3．
如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB; (2) BH⊥AF
证明：
例题赏析
⒉在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．
G
F
E
D
A
B
C
例题赏析
⒊在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．
⑴求证：DQ=CP；
⑵OP与OQ有何关系？试证明你的结论．
如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点．
求证：
⑴CE=BG；
⑵EG=2AM．
H
M
E
D
F
G
B
C
A
求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．
练习：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
１．一个矩形的２条对角线互相垂直，它是正方形吗？
２．一个菱形的２条对角线相等，它是正方形吗？
思考：
小结
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形有那些性质
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角
边：
角：
对角线：
小结