2021-2022学年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》能力达标提升训练(word解析版)

2021年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》能力达标提升训练（附答案）
一、选择题
1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9
B．7
C．12
D．9或12
2．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
3．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为（　　）
A．20°
B．15°
C．12°
D．10°
4．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（　　）
A．30°
B．20°
C．25°
D．15°
5．直线a∥b，A、B分别在直线a、b上，△ABC为等边三角形，点C在直线a、b之间，∠1＝10°，则∠2＝（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．70°
6．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
二、填空题
7．等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是　
　．
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为　
　．
9．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠APQ＝　
　度，∠B＝　
　度，∠BAC＝　
　度．
10．如图，等边三角形ABC中，BD是角平分线，点E在BC边的延长线上，且CD＝CE，则∠BDE的度数是　
　．
11．如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若∠A＝80°，∠AED＝60°，则∠BFC的度数为
　
　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为　
　．
三、解答题
13．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．
（1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度数；
（2）若BD＝CE，求证：FG＝BF+CG．
15．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．
（1）求证：△BCD是等腰三角形．
（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．
16．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　
　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　
　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
18．如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．
求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．
（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
21．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
2．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，
∵DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠C＝36°，∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∵∠B＝36°，
∴∠BDA＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠BAD＝∠BDA，△ABD是等腰三角形，
∵DF平分∠ADB，∠ADB＝72°，
∴∠BDF＝∠ADF＝36°，
∴△ADF和△BDF是等腰三角形．
故选：B．
3．解：∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∵AB＝BC＝CD．
∴△ABC和△BCD为等腰三角形，∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠ECD＝∠A+∠CDB＝3∠A，CD＝DE，
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD＝∠DEC＝3∠A，
∠EDF＝∠A+∠DEC＝4∠A＝60°，
∴∠A＝15°．
故选：B．
4．解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故选：D．
5．解：作CE∥a．
∵a∥b，
∴CE∥b，
∴∠2＝∠ACE，∠1＝∠ECB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∵∠1＝10°，
∴∠2＝50°，
故选：C．
6．解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故选：D．
7．解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案是：50°或65°．
8．解：①当为锐角三角形时，如图，
高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；
②当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面，
因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，
所以三角形的顶角为130°．
故答案为50°或130°．
9．解：∵PQ＝AP＝AQ
∴∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60°
．∵BP＝QC＝AP＝AQ
∴∠B＝∠BAP＝30°，∠C＝∠CAQ＝30°
∴∠BAC＝120°．
故填60、30、120．
10．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
又∵BD是角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠ACB＝30°，
∴∠BDE＝180°﹣2×30°＝120°，
故答案为：120°．
11．解：∵∠A＝80°，∠AED＝60°，
∴∠ADE＝40°，
∵DF∥BC，
∴∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC＝20°，
∵CF平分∠ACG，
∴∠ACF＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣20°﹣120°＝40°，
故答案为40°．
12．证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP，
又∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵AF＝2，BF＝3，
∴CA＝AB＝5，AE＝2，
∴CE＝7．
13．解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，E在线段AB上时，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，E在线段AB的反向延长线上时，
∵AE＝1，AB＝2，
∴BE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
过E作EH∥AC交BC的延长线于H，
∴∠BEH＝∠BHE＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，
∴∠BED＝∠HEC，
在△BDE和△HCE中，
，
∴△BDE≌△HCE（SAS），
∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，
∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．
综上所述，CD的长为1或3．
14．（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵EG⊥BC，
∴∠CEG＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°，
∵∠A＝50°，∠D＝30°，
∴∠CEF＝∠A+∠D＝50°+30°＝80°，
∴∠GEF＝∠CEF﹣∠CEG＝80°﹣25°＝55°；
（2）证明：过点E作EH∥AB交BC于H，
则∠ABC＝∠EHC，∠D＝∠FEH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠EHC＝∠C，
∴EC＝EH，
∵BD＝CE，
∴BD＝EH，
在△BDF和△HEF中，
，
∴△BDF≌△HEF（AAS），
∴BF＝FH，
又∵EC＝EH，EG⊥BC，
∴CG＝HG，
∴FG＝FH+HG＝BF+CG．
15．（1）证明：∵AE＝AF，∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF，
即∠DBC＝∠DCB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠DBC＝∠DCB，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠ABE＝10°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°．
16．（1）证明：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形；
（2）解：当α＝150°，即∠BOC＝150°时，△AOD是直角三角形．
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝90°，
即△AOD是直角三角形；
（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO．
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴190°﹣α＝α﹣60°
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．
∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，
∴α﹣60°＝50°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．
∵190°﹣α＝50°
∴α＝140°．
综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．
17．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
18．证明：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即：∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC，
∵BD＝BC+CD＝AC+CD，
∴CE＝BD＝AC+CD；
（2）由（1）知：△BAD≌△CAE，
∴∠ACE＝∠ABD＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°，
∴∠ECD＝60°．
19．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
20．解：（1）BE垂直平分AD，理由：
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠5＝∠C；
∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠5+∠3，∠ADB＝∠C+∠4，∠5＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．
（2）△ABD、△GAE是等边三角形．理由：
∵BE垂直平分AD，
∴BA＝BD，
又∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵Rt△BGM中，∠BGM＝60°＝∠AGE，
又∵Rt△ACM中，∠CAM＝60°，
∴∠AEG＝∠AGE＝∠GAE，
∴△AEG是等边三角形．
21．解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．