2021-2022学年苏科版九年级数学上册1.4用一元二次方程解决问题 同步优生辅导训练(word解析版)

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.4用一元二次方程解决问题》
同步优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长
B．CD的长
C．AD的长
D．BC的长
2．一个直角三角形的两条直角边的和是28cm，面积是96cm2．设这个直角三角形的一条直角边为xcm，依题意，可列出方程为（　　）
A．x（14﹣x）＝96
B．x（14﹣x）＝96
C．x（28﹣x）＝96
D．x（28﹣x）＝96
3．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540
B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
4．在园林化城市建设期间，某市2018年绿化面积约为1000万平方米，2020年绿化面积约为1210万平方米．如果近几年绿化面积的年增长率相同，则2021年绿化面积约为（　　）
A．1221万平方米
B．1331万平方米
C．1231万平方米
D．1323万平方米
5．某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元，则下列说法错误的是（　　）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，可列方程（　　）
A．（x+6）2+x2＝102
B．（x﹣6）2+x2＝102
C．（x+6）2﹣x2＝102
D．62+x2＝102
二、填空题
7．某品牌手机六月份销售400万部，七月份、八月份销售量连续增长，八月份销售量达到576万部，则该品牌手机这两个月销售量的月平均增长率为　
　．
8．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为　
　．
9．某市准备加大对雾霾的治理力度，第一季度投入资金100万元，第一季度和第三季度计划共投入资金250万元，设第二、三季度计划投入资金的平均增长率为x，可列方程为　
　．
10．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过　
　秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．
11．一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米，围成的花坛如图所示，其中∠ACB＝90°，若所修的直角三角形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜边AB长为　
　米．
12．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个赢利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天赢利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x元，可列方程为　
　．（不需要化简）
13．有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）．若纸盒的底面积为600cm2，则纸盒的高为　
　．
14．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为　
　．
三、解答题
15．为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩．
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）已知普通口罩每包进价8元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
16．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，该方程变形为x2﹣px＝﹣q，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：
已知：x2﹣2x﹣1＝0，且x＞0，求x4﹣2x3﹣3x的值．
17．2020年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”600吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为10元/千克，水果商贩上门收购的价格为8元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高1元/千克．设网上销售价格为20元/千克，本地自产自销的价格仍然为10元/千克．
（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？
（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？
18．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．
（1）求矩形花坛的宽是多少米；
（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．
19．据报道，安徽省2018年全省GDP约为3万亿元，虽然2019年因疫情对经济产生了巨大影响，但在全省人民的共同努力下，2020年全省GDP仍然达到约3.9万亿元．若2019年、2020年全省GDP逐年增长，请解答下列问题：
（1）求2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率（≈1.14）；
（2）如果2021年和2022年安徽省全省GDP仍保持相同的平均增长率，请预测2022年全省GDP能达到约多少万亿元？
20．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　
　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
参考答案
1．解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．
∵AC＝b，BD＝BC＝，
∴b2+（）2＝（AD+）2＝AD2+aAD+（）2，
∴AD2+aAD＝b2．
∵AD2+aAD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且AD的长度为正数，
∴AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
故选：C．
2．解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（28﹣x）cm，
根据题意得：x（28﹣x）＝96，
故选：C．
3．解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：D．
4．解：设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程：
1000（1+x）2＝1210．
解方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
所以每年绿化面积的平均增长率为10%．
1210×（1+10%）＝1331（万平方米）．
故选：B．
5．解：设涨价x元，根据题意可得：
A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确，不符合题意；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确，不符合题意；
C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确，不符合题意；
D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
6．解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，
依题意得：（x+6）2+x2＝102．
故选：A．
7．解：该品牌手机这两个月销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得400×（1+x）2＝576．
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
故答案是：20%．
8．解：设有x个队参赛，
x（x﹣1）＝90．
故答案为：x（x﹣1）＝90．
9．解：依题意得：100（1+x）2＝250﹣100，
即100（1+x）2＝150．
故答案为：100（1+x）2＝150．
10．解：根据题意，知BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t．
根据三角形的面积公式，得
PB?BQ＝××6×8，
2t（6﹣t）＝18，
（t﹣3）2＝0，
解得t＝3．
故经过3秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．
故答案是：3．
11．解：设直角三角形的直角边AC长为x米，则直角边BC长为（21﹣x）米，
依题意得：x（21﹣x）＝54，
整理得：x2﹣21x+108＝0，
解得：x1＝9，x2＝12．
当x＝9时，21﹣x＝12；
当x＝12时，21﹣x＝9．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝15（米）．
故答案为：15．
12．解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，
依题意得：（2﹣x）（100+80×）＝270．
故答案为：（2﹣x）（100+80×）＝270．
13．解：设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，可列方程：
（40﹣2x）（30﹣2x）＝600，
解得：x1＝5，x2＝30（舍去），
∴纸盒的高为5cm，
故答案为：5cm．
14．解：设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x，
根据题意得：x[x﹣（8﹣x）]＝24，
解得：x＝6或x＝﹣2（舍去），
故答案为：6．
15．解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
16．解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的解为：x＝＝1±，
由于x＞0．
所以x＝1+．
∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，x2＝2x+1．
∴x4﹣2x3﹣3x
＝x2（x2﹣2x）﹣3x
＝x2﹣3x
＝2x+1﹣3x
＝1﹣x．
当x＝1+时，
原式＝1﹣（1+）
＝﹣．
17．解：（1）设每年有x吨“留香瓜”卖给了水果商贩，则每年有（600﹣x）吨“留香瓜”本地自产自销，
依题意得：10（600﹣x）≤×8x，
解得：x≥500．
答：每年至少有500吨“留香瓜”卖给了水果商贩．
（2）设每年在电商平台上销售了y吨“留香瓜”，则水果商贩的收购价为（8+）元/千克，卖给了水果商贩（500﹣y）吨，
依题意得：10×1000×100+20×1000y+（8+）×1000（500﹣y）＝9200000，
整理得：y2﹣1700y+420000＝0，
解得：y1＝300，y2＝1400，
又∵y＜500，
∴y＝300．
答：每年在电商平台上销售了300吨“留香瓜”．
18．解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，
依题意得：50×32﹣4x?（x+15）﹣3×（10÷2）2＝1125，
整理得：x2+15x﹣100＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）．
答：矩形花坛的宽是5米．
（2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×（5+15）﹣y]＝（400﹣y）平方米，
依题意得：100y+120（400﹣y）≤42000，
解得：y≥300．
答：至少要安排甲队施工300平方米．
19．解：（1）设2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率为x，
依题意得：3（1+x）2＝3.9，
解得：x1≈0.14＝14%，x2≈﹣2.14（不合题意，舍去）．
答：2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率约为14%．
（2）根据题意知，3.9×（1+14%）2＝5.07（万亿元）．
答：预测2022年全省GDP能达到约5.07万亿元．
20．解：（1）设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
（2）依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣3x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米