2021-2022学年苏科版八年级数学上册 2.5等腰三角形的轴对称性 能力提升专题突破训练（word版含解析）

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》
能力提升专题突破训练（附答案）
一、选择题
1．已知等腰三角形的周长为17，一边长为7，则此等腰三角形的底边长为（　　）
A．3
B．7
C．3或7
D．3或5
2．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（　　）
A．44°
B．66°
C．88°
D．92°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
4．如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
5．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝2，ED＝6，则EB+DC的值为（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
6．如图，AE垂直于∠ABC的平分线交于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
8．下列说法错误的是（　　）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
9．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（　　）
A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
10．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
11．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　）
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
12．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C
B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°
D．AB＝AC，且∠B＝∠C
13．如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是（　　）
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
二、填空题
14．如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB＝BD＝DC，且∠C＝40°，
那么∠ABD＝　
　°．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是
　
　．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是　
　．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB．若∠A＝38°，则∠BFD的度数为　
　．
18．若一条长为24cm的细线能围成一边长等于6cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为　
　cm．
19．如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是　
　．
三、解答题
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
22．如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．
求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
24．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
25．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：MN∥AB．
26．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．
说明：△ADE是等边三角形．
参考答案
1．解：本题可分两种情况：
①当腰长为7时，底边长＝17﹣2×7＝3；经检验，符合三角形三边关系；
②底边长为7，此时腰长＝（17﹣7）÷2＝5，经检验，符合三角形三边关系；
因此该等腰三角形的底边长为3或7．
故选：C．
2．解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK＝∠BKN，
∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK，
∴∠A＝∠MKN＝44°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°，
故选：D．
3．解：∵BE，CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC，
∴MB＝ME，NC＝NE，
∵AB＝AC＝4，
∴△AMN的周长
＝AM+ME+NE+AN
＝AM+MB+AN+NC
＝AB+AC
＝4+4
＝8．
故选：C．
4．解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：A．
5．解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵FG＝2，ED＝6，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝8，
故选：C．
6．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD．
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠EDB．
在△ADB和△EDB中，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB，
∴△ADB≌△EBD，
∴AD＝ED．
∵CE＝BC，△ABC的面积为2，
∴△AEC的面积为．
又∵AD＝ED，
∴△CDE的面积＝△AEC的面积＝．
故选：A．
7．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝15°，
故选：A．
8．解：A．有两边相等的三角形是等腰三角形，该说法正确，故本选项不合题意；
B．直角三角形可能是等腰三角形，原说法错误，故本选项符合题意；
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形，该说法正确，故本选项不合题意；
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，该说法正确，故本选项不合题意；
故选：B．
9．解：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．
故选：C．
10．解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故选：D．
11．解：∵等边△ABC，
∴∠ABD＝∠C，AB＝BC，
在△ABD与△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°，
∴∠APE＝∠ABE+∠BAD＝60°，
∴∠APE＝60°．
故选：C．
12．解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
13．解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF
∴AF＝BD＝CE
又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）
∴DF＝ED＝EF
∴△DEF是一个等边三角形
故选：A．
14．解：∵AB＝BD＝DC，∠C＝40°，
∴∠DBC＝∠C＝40°，∠A＝∠ADB，
∴∠BDC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠ADB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠A＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
故答案为：20．
15．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝＝70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
故答案为：35°．
16．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°＝70°．
故答案为：110°或70°．
17．解：∵AB＝AC，∠A＝38°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣38°）＝71°，
∵EG平分∠DEC，
∴∠CEG＝∠DEG，
∵EG∥AB，
∴∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE，
∴∠A＝∠EDA＝38°，
∵FD平分∠BDE，
∴∠BDF＝∠FDE＝71°，
∴∠BFD＝180﹣71°﹣71°＝38°，
故答案为：38°．
18．解：若6cm为底时，腰长应该是（24﹣6）＝9cm，
故三角形的三边分别为6cm、9cm、9cm，
∵6+9＝15＞9，
故能围成等腰三角形，
若6cm为腰时，底边长应该是24﹣6×2＝12，
故三角形的三边为6cm、6cm、12cm，
∵6+6＝12，
∴以6cm、6cm、12cm为三边不能围成三角形，
综上所述，腰长是9cm，
故答案为：9．
19．解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC
∴∠ABP＝∠DBP，且BP＝BP，∠APB＝∠DPB
∴△ABP≌△DBP（ASA）
∴AP＝PD，
∴S△ABP＝S△BPD，S△APC＝S△CDP，
∴S△PBC＝S△ABC＝9，
故答案为：9．
20．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC；
（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，
∵∠DOE+∠A＝180°
∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．
21．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
22．证明：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即：∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC，
∵BD＝BC+CD＝AC+CD，
∴CE＝BD＝AC+CD；
（2）由（1）知：△BAD≌△CAE，
∴∠ACE＝∠ABD＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°，
∴∠ECD＝60°．
23．证明：∵D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC
∴△ABC是等边三角形．
24．解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
25．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，
∵∠DCA＝∠ECB＝60°，
∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM＝∠CDN，
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN＝60°，
在△ACM与△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC＝NC，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC＝∠DCN＝60°，
∴∠NMC＝∠DCA，
∴MN∥AB．
26．证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
即∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形．