2.4圆周角 优生辅导专题提升训练 2021-2022苏科版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》优生辅导专题提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于（　　）
A．
B．
C．4
D．3
2．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，则∠CAB等于（　　）
A．50°
B．45°
C．40°
D．35°
3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于点E，交BC于点F，已知AC＝2，⊙O的半径为2，则BF的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥OC，∠A＝70°，则∠B的度数是（　　）
A．110°
B．125°
C．135°
D．165°
5．如图，AC为⊙O的弦，B为优弧ABC上任意一点，过点O作AB的平行线交⊙O于点D，交弦AC于点E，连接OA，其中∠OAB＝20°，∠CDO＝40°，则∠CED＝（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
6．如图，⊙A过点O（0，0），B（2，0），D（0，2），点C是⊙A上的一点，连接CO，CD，则∠DCO的度数为（　　）
A．22.5°
B．30°
C．37.5°
D．45°
7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，若∠CAD＝25°，则∠ABD的度数为（　　）
A．25°
B．50°
C．65°
D．75°
二、填空题
8．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长　
　．
9．如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2+PF2＝8，则AB等于　
　．
10．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为　
　．
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝6，BD＝5，则BC的长为　
　．
12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC＝40°，则的度数是　
　度．
13．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝　
　°．
14．如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠B＝　
　．
15．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为　
　cm．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB＝1：4，CD＝8，则AB＝　
　．
17．如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，∠DCE＝58°，则∠P的度数为　
　．
18．如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB于N，连接BM，则∠BMN的度数为　
　．
三、解答题
19．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
20．如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．
（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是的中点．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且OD⊥AC于点E，连接BD、CD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB＝30°时，求证：四边形BCDO是菱形．
23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为弧AB上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．若∠ACB＝60°
（1）求证：△CED为正三角形；
（2）求证：AD+BD＝CD．
参考答案
1．解：方法一：作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∵AH⊥BC，
∴CH＝BH，
而CA＝AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH＝BF＝3．
方法二：作BC和DE的弦心距AM、AN，则CM＝BM，DN＝CN，
证明△ACM≌△DAN，则AM＝DN＝3．
故选：D．
2．解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故选：D．
3．解：延长DE交圆O于点G，连接BD、OD，如图所示：
∵点D是弧BC的中点，
∴＝，
又∵DE⊥AB，
∴＝，
∴，
∴∠DBC＝∠BDF，
∴DF＝BF，
∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为2，
∴AB＝4，
∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝2，
∴BC＝＝＝2，
∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，
∴DE＝GE，，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴BC＝DG＝2DE；
即：DE＝BC＝，
∵DE⊥AB，
∴OE＝＝＝1，
∴BE＝OB﹣OE＝1，
设DF＝BF＝a，则EF＝﹣a，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：12+（﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
∴DF＝，
故选：A．
4．解：∵AB∥OC，∠A＝70°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A＝110°，
∴优弧AOC所对的圆心角为：360°﹣110°＝250°，
∴∠B＝×250°＝125°，
故选：B．
5．解：连接OC，AD，延长DE交⊙O于Q，
∵∠CDO＝40°，OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝40°，
∴∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝100°，
∵∠OAB＝20°，DE∥AB，
∴∠EOA＝∠OAB＝20°，
由圆周角定理得：∠CAD＝COD，∠QDA＝QOA，
∴∠CAD＝50°，∠QDA＝10°，
∴∠CED＝∠CAD+∠QDA＝50°+10°＝60°，
故选：B．
6．解：如图，连接DB，
在Rt△DOB中，∠OBD＝30°，
由圆周角定理得，∠OBD＝∠DCO＝30°，
故选：B．
7．解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ABD＝∠ACD＝65°．
故选：C．
8．解：OA交BC于E，如图，
∵OA⊥BC，
∴＝，CE＝BE，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，
在Rt△OBE中，OE＝OB＝1，
∴BE＝OE＝，
∴BC＝2BE＝2，
故答案为：2．
9．解：作OG⊥EF于G，连接OE，
根据垂径定理，可设EG＝FG＝x，则PE＝x+PG，PF＝x﹣PG，
又∵PE2+PF2＝8，
∴（x+PG）2+（x﹣PG）2＝8，
整理得2x2+2PG2＝8，x2+PG2＝4，
∵交角为45°，
∴OG＝PG，
∴OE2＝OG2+EG2＝4，
即圆的半径是2，
∴直径是4．
10．解：连接OB，如图，∠BOC＝2∠A＝2×72°＝144°，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO，
∴∠BCO＝（180°﹣∠BOC）＝×（180°﹣144°）＝18°．
故答案为：18°．
11．解：连接AD，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD＝5．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝＝＝10．
∵AC＝6，
∴BC＝＝＝8．
故答案为：8．
12．解：连接AD、OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝20°，BD＝DC，
∴∠ABD＝70°，
∴∠AOD＝140°
∴的度数为140°；
故答案为140．
13．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝28°，
∴∠ACD＝62°，
由圆周角定理得，∠ABD＝∠ACD＝62°，
故答案为：62．
14．解：连接DE、CE，则∠2＝θ，∠5＝∠6＝2θ，
∵∠6是△BDE的外角，
∴∠6＝∠2+∠ABC＝2θ，
∵∠5+∠6+∠1＝180°，
∴4θ+∠1＝180°①，
在△ACE中，
∵AE＝CE，
∴∠3＝∠CAE＝63°，
∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠CAE＝180°﹣63°﹣63°＝54°，
∵∠4+∠1+∠2＝180°，即54°+∠1+θ＝180°②，
①②联立得，θ＝18°．
方法二，连接DE、CE，则∠2＝θ，∠5＝∠6＝2θ，
∴∠4＝∠5+∠CBE＝3θ，
∵EA＝EC，
∴∠3＝∠EAC＝63°，
∴∠4＝＝54°，
∴3θ＝54°
∴θ＝18°
故答案为：18°．
15．
解：连接AD，
∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，
∴∠DEC＝∠B，
又等腰△ABC，BC为底边，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴DE＝DC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，又BC＝4cm，
∴DE＝2cm．
故答案为：2
16．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8，
∴CP＝4，
根据相交弦定理得，16＝AP×4AP，
解得AP＝2，
∴AB＝10．
17．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝90°，∠CEO＝90°，
∵∠DCE＝58°，
∴∠AOB＝360°﹣∠DCE﹣∠CDO﹣∠CEO＝360°﹣58°﹣90°﹣90°＝122°，
∴∠P＝∠AOB＝61°，
故答案为：61°．
18．解：连接OM．
∵AB是直径，＝2，
∴∠BOC＝×180°＝60°，
∵＝，
∴∠MOB＝∠COM＝30°，
∵OM＝OB，
∴∠B＝∠OMB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵OC∥MN，
∴∠MNB＝∠COB＝60°，
∴∠BMN＝180°﹣∠BNM﹣∠NBM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故答案为：45°．
19．解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．
20．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠CAB＝31°，
∴∠CBD＝∠CAD＝31°；
（2）连接OD交BC于E，如图，
在Rt△ACB中，BC＝＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∴OE＝AC＝×2＝1，
∴DE＝OD﹣OE＝3﹣1＝2，
在Rt△BDE中，BD＝＝2，
在Rt△ABD中，AD＝＝2．
21．解：（1）如图，连接AC，交OD于E，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）如图，连接OC，
由（1）可得，OD⊥AC．
∵AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴设DE＝x，则OE＝5﹣x．
在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2．
在Rt△OCE中，CE2＝OC2﹣OE2，
∴16﹣x2＝25﹣（5﹣x）2．
解得．
∴．
∴．
22．解：（1）连接OC．
∵OD⊥AC，
∴，
∴∠AOD＝∠COD，
∴∠ABD＝∠CBD，即BD平分∠ABC；
（2）∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝2∠OBD＝60°，∠BOD＝120°，
又∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC，∠BOC＝60°，
∴∠COD＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD，
∴OD＝CD＝BC＝OB，
∴四边形BCDO是菱形．
23．证明：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，
∵CE＝CD，
∴△CED为正三角形；
（2）在DC上截取DF＝AD，连接AF，
∵∠ADC＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF＝AD，∠FAD＝60°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠CAF＝∠BAD，
在△CAF和△BAD中，
，
∴△CAF≌△BAD（SAS），
∴CF＝BD，
∴CD＝DF+CF＝AD+BD．