《2.6正多边形和圆》能力达标专题突破训练（Word版 附答案）2021-2022学年九年级数学苏科版上册

2021-2022苏科版九年级数学上册《2.6正多边形和圆》能力达标专题突破训练（附答案）
一、选择题
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，将边长相等的正方形、正五边形、正六边形纸板，按如图方式放在桌面上，则∠a的度数是（　　）
A．42°
B．40°
C．36°
D．32°
3．正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，则这个正多边形为（　　）
A．正十二边形
B．正六边形
C．正四边形
D．正三角形
4．如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（　　）
A．2：3
B．：1
C．：
D．1：
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（　　）
A．22.5°
B．45°
C．30°
D．50°
7．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2
B．
C．2
D．2
8．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）
A．2：
B．：
C．：
D．：2
二、填空题
9．若某正六边形的边长是4，则该正六边形的边心距为　
　．
10．如图，在正六边形ABCDEF中，AC于FB相交于点G，则值为　
　．
11．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠COD的度数是　
　．
12．如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠AFO的度数为　
　．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O，以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线EC的交点坐标是　
　．
14．如图为一个半径为5m的圆形广场，其中放有六个宽为m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为　
　m．
15．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是　
　．
16．如图，圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，当回到出发点时，则圆O共滚动了　
　周．
17．圆内接正六边形的边心距为2，则此圆内接正三角形的边长是　
　．
三、解答题
18．已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
19．如图1，△ABC为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，图4为正多边形．
（1）如图1当BP＝CQ时，请求出∠AOQ的度数，并说明理由
（2）如图2，在正方形中，当BP＝CQ时∠AOQ＝　
　；如图3，在正五边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ＝　
　；
（3）如图4，在正n边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ是否有什么规律？如果有请用含有n的式子直接表示；如果没有规律，请说明理由．
20．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA＝PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB＝CB
∵∠1和∠2的同弧圆周角
∴∠1＝∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA＝PC+PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．
21．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
22．探究题：
（1）　
　都相等，　
　都相等的多边形叫做正多边形；
（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上，请在格点长方形MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；
（3）正六边形有　
　条对角线，它的外角和为　
　度．
参考答案
1．解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝3，
∴OA＝3，
∴AB＝＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
2．解：正方形的内角为90°，
正五边形的内角为＝108°，
正六边形的内角为＝120°，
∠1＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°，
故选：A．
3．解：如图，设AB是正多边形的一边，O为正多边形的内切圆与外接圆的圆心，OC⊥AB于C，
∵正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，
∴＝，
在Rt△AOC中，cos∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝90°，
则正多边形边数为：＝4．
故选：C．
4．解：连接OA、OB．OE，如图所示：
设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，
∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为R：R＝：1，
∴正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比＝内接正方形和内接正六边形的边长之比＝4：6＝2：3，
故选：A．
5．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
6．解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
7．解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2．
则⊙O的半径为2．
故选：C．
8．解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH＝BH＝AB，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于⊙O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，
∴AD＝OA，AH＝OA，
∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，
∴＝＝，
故选：B．
9．解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，
∵此多边形是正六边形，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBG＝60°，
∴边心距OG＝2
故答案为：2．
10．解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝AF，∠ABC＝∠BAF＝120°，
∴∠ABF＝∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴AG＝BG，∠CBG＝90°，
∴CG＝2BG＝2AG，
∴＝；
故答案为：．
11．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，
故答案为：72°．
12．解：作正八边形ABCDEFGH的外接圆O．连接OA、OB，
∵八边形ABCDEFGH是OO内接正八边形，
∴∠AOB＝＝45°，
由圆周角定理得，
∠AFO＝∠AOB＝＝22.5°，
故选答案为22.5°．
13．解：连接AE，DF，EC，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O，
∴可得：△AOF是等边三角形，则AO＝FO＝FA＝2，
∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA＝60°，EO＝FO+EF＝4，
∴∠EAO＝90°，∠OEA＝30°，故AE＝4cos30°＝6，
∴F（，3），D（4，6），E（2，6），
同理可得：C点坐标为：（5，3），
设直线DF的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
故直线DF的解析式为：y＝x+2，
设直线EC的解析式为：y＝ax+c，
，
解得：，
故直线EC的解析式为：y＝﹣x+8，
则x+2＝﹣x+8，
解得：x＝3，
则y＝5，
∴直线DF与直线CE的交点坐标是：（3，5）．
故答案为：（3，5）．
14．解：设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直．
设长方形的摊位长是2xm，
在直角△OAD中，∠AOD＝30°，AD＝xm，
则OD＝xm，
在直角△OBC中，OC＝＝，
∵OC﹣OD＝CD＝，
∴﹣x＝，
解得：x＝或（舍弃）
则2x＝．
故答案是：．
15．解：连接PA，PO，
∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，
∴∠OPA＝＝60°，PO＝PA，
∴△POA是等边三角形，
∴PO＝PA＝OA＝6，
过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OPA＝30°，OH＝OA＝3，
∴PH＝＝＝3，
∴P的坐标是（3，3），
故答案为：（3，3）．
16．解：圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，
∵圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，
∴圆在边上转了4×5＝20圈，
而圆从一边转到另一边时，圆心绕五边形的一个顶点旋转了五边形的一个外角的度数，
∴圆绕五个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，
∴圆回到原出发位置时，共转了21圈．
故答案为：21．
17．解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，
则CN＝EN，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OCM＝60°，
∴OM＝OC?sin∠OCM，
∴OC＝，
∵∠OCN＝30°，
∴ON＝OC＝，CN＝ON＝2，
∴CE＝2CN＝4，
即圆内接正三角形的边长是4，
故答案为：4．
18．（1）证明：如图1，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC，
∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵点P是弧AD的中点，
∴∠PBD＝∠ABD＝×∠AOD＝22.5°，
∴∠EDC＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CE＝CD；
（2）解：如图2，连接DE，DP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD，
∴∠P＝∠BAD＝90°，
∵PE＝OE，
∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠PDE，
∴∠1+∠2+∠PDE＝90°，
∴∠2＝30°，
∴OE＝DE，
∴DE＝2OE，
∴OD＝＝OE，
∴＝，
∴OD＝OA＝OE，
∴AE＝OA﹣OE＝（﹣1）OE，EC＝OE+OC＝（+1）OE，
∴＝＝2﹣．
19．解：（1）∠AOQ＝60°．
在△ABP和△BCQ中，．
∴△ABP≌△BCQ（SAS）．
∴∠BAP＝∠CBQ．
∴∠AOQ＝∠ABO+∠BAP＝∠ABO+∠CBQ＝∠ABC＝60°；
（2）理由同（1）：正方形∠AOQ＝90°，正五边形∠AOQ＝108°，
（3）正n边形∠AOQ＝．
故答案为：90°，108°．
20．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，
∴∠CPE＝60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；
又∵∠EBC＝∠PAC，
∴△BEC≌△APC，
∴PA＝BE＝PB+PC．
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
又∵∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．
（3）答：；
证明：在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
又∵∠APB＝30°，
∴
∴
21．（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
22．解：（1）由正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；
故答案为：各个角；各条边；
（2）如图，
∵AB＝2，BC＝2，CD＝2，DE＝2，EF＝2，FA＝2，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，
∵网格是等边三角形的网格，
∴∠FAB＝2×60°＝120°，
同理：∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，
∴∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，
∴六边形ABCDEFA是正六边形．
最大面积为24×＝6；
（3）正六边形的对角线条数为＝9，
∵多边形的外角和是360°，
∴正六边形的外角和为360°，
故答案为：9；360°．