《2.2圆的对称性》同步练习题（Word版 附答案）2021-2022学年九年级数学苏科版上册

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步练习题（附答案）
一、选择题
1．如图，⊙O的直径CD为10，弦AB的长为8，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．不能确定
3．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．2
B．2
C．
D．2
4．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（　　）
A．5
B．4
C．
D．2
5．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A．
B．3
C．3
D．4
6．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（　　）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
二、填空题
7．⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离是　
　cm．
8．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　
　．
9．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则△OCE的面积为　
　．
10．已知正方形内接于圆心角为90°，半径为10的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上），则这个正方形的边长为　
　．
11．点M是半径为5的⊙O内一点，且OM＝4，在过M所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为　
　．
12．如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°．现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为　
　m．
三、解答题
13．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．
14．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．
15．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：
（1）OC＝OD：（2）＝．
16．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．
17．如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，PA＝6．
求：（1）⊙O的半径；
（2）求弦CD的长．
18．已知，如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB于D，AB＝8，OD＝CD+1，求⊙O的半径．
19．在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．
①若油面宽AB＝16dm，求油的最大深度．
②在①的条件下，若油面宽变为CD＝30dm，求油的最大深度上升了多少dm？
20．如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE﹣BF的值．
21．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，求AB的长．
22．已知⊙O的半径为12cm，弦AB＝16cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？
23．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB＝30cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）若⊙O中另有一条CD＝16cm，且CD∥AB，求AB和CD间的距离．
24．如图，AB是⊙O的弦，点D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．
求证：AD＝DC．
25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长．
参考答案
1．解：连接OA．
∵直径CD⊥AB，AB＝8，
∴AM＝BM＝AB＝4，
在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝4，
根据勾股定理得：OM＝＝3，
则CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
故选：B．
2．解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，
∴OD＝OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴OD＝BC，
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴＝，
故选：A．
3．解：连接OA，作OC⊥AB于C，
则AC＝BC，
∵OP＝4，∠P＝30°，
∴OC＝2，
∴AC＝＝，
∴AB＝2AC＝2，
故选：A．
4．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得
DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，
根据勾股定理，得
AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，
解得DE＝，
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．
故选：C．
5．解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
6．解：连接OB，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OP⊥AB，
∴∠BOP＝∠AOB＝30°，
由圆周角定理得，∠PAB＝∠BOP＝15°，
故选：A．
7．解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OF⊥AB，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴F、E分别为AB、CD的中点，
∴AF＝BF＝AB＝4，CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△COE中，
∵OC＝5，CE＝3，
∴OE＝＝4，
在Rt△AOF中，OA＝5，AF＝4，
∴OF＝＝3，
∴EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF＝4+3＝7，
综上，弦AB与CD的距离为7或1．
故答案为：7或1．
8．解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，OA＝2，OD＝1，
在Rt△OAD中
AD＝＝＝，
∴AB＝2AD＝2．
故答案为：2．
9．解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
设⊙O的半径为r，则AC2+OC2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，
∵CD＝2，
∴OC＝3，
∴S△OCE＝OC?BC＝×3×4＝6．
故答案为：6．
10．解：如图1所示：
连接OD，设正方形OCDE的边长为x，
则在Rt△OCD中，
OD2＝OC2+CD2，即102＝x2+x2，
解得x＝5；
如图2所示，
过O作OG⊥DE，交CF于点H，连接OD，
设FH＝a，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CF，△OCF是等腰直角三角形，
∴FH＝CH＝a，
∵∠AOC＝90°，
∴CH＝OH，
∴OG＝3a，
在Rt△ODG中，
OD2＝GD2+OG2，即102＝a2+（3a）2，
解得a＝，
∴CF＝2a＝2．
故答案为：5或2．
11．解：过点M作AB⊥OM于M，连接OA，
因为OM＝4，半径为5，所以AM＝＝3，所以AB＝3×2＝6，
所以过点M的最长弦为5×2＝10，最短弦为6，
在6和10之间的整数有7，8，9，由于左右对称，弦的条数有6条，
加上AB和OM，共8条．
12．解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，
如图1，AB，AD的长分别是2m和4m，圆心角∠COD＝120°，
∴∠DOP＝60°，DC＝AB＝，
∴OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时
h＝＝＝，
如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，
易知，OQ≤OB，
而h＝OP+OQ＝2+OQ，
∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，
由图1可知，OQ＝3，BQ＝，则OB＝，
h的最大值为OP+OB，即2+．
故答案为：（2+）．
13．证明：连接OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
又∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DC．
14．证明：
过O作OE⊥AB于E，
则OE⊥CD，
∵OE过O，
∴由垂径定理得：AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
即AC＝BD．
15．（1）证明：连接OA，OB，
∵AC＝BD，
∴∠OAC＝∠OBD．
在△OAC与△OBD中，
∵，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
∴OC＝OD．
（2）∵由（1）可知，△OAC≌△OBD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴＝．
16．解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，
∴AB＝6，
∴OE＝2，
在Rt△OPE中，OP＝OE?sin∠DEB＝，
∴PD＝＝，
∴CD＝2PD＝2（cm）．
17．解：（1）设OC＝x，
∵弦CD垂直平分半径AO，
∴OE＝OA＝x，
∵PC⊥OC，CD⊥OP，
∴∠PCO＝∠CEO＝90°，
∴∠P+∠COP＝90°，∠ECO+∠COP＝90°，
∴∠P＝∠ECO，
∴x＝6
则⊙O的半径为6；
（2）由（1）得：OC＝6，OE＝3，
由勾股定理得：CE＝＝3，
∵CD⊥OA，
∴CD＝2CE＝6．
18．解：连接OA，
设CD＝x，则OD＝x+1，
则⊙O的半径为2x+1，
∵OC⊥AB，AB＝8，
∴AD＝AB＝4，
由勾股定理得，（2x+1）2＝（x+1）2+16，
解得，x1＝﹣（舍去），x2＝2，
则⊙O的半径为2x+1＝5．
19．解：①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，
∴AF＝AB＝8，
由勾股定理得，OF＝＝15，
则GF＝OG﹣OF＝2dm；
②连接OC，
∵OE⊥CD，
∴CE＝EF＝15，
OE＝＝8，
当CD与AB在圆心同侧时，EF＝OF﹣OE＝7dm，
当CD与AB在圆心异侧时，EF＝OF+OE＝23dm，
答：油的最大深度上升了7或23dm．
20．解：如图，连接OC，延长AE交⊙O于点H，连接BH；
过点O作ON⊥BH于点N，交CD于点M；
则HN＝BN，CM＝DM＝CD＝8，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AHB＝90°；
∵AE⊥CD，
∴CD∥BH；
∵ON⊥BH，BF⊥CD，
∴EH＝MN＝BF（设为x）；
∵AO＝BO，HN＝BN，
∴ON为△ABH的中位线，
∴AH＝2ON，
即AE+x＝2（OM+x），AE﹣x＝2OM；
由勾股定理得：
OM2＝OC2﹣CG2＝100﹣64＝36，
∴OM＝6，2OM＝12；
∴AE﹣BF＝12．
21．解：连接OA、OB，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝45°，
∵直径CD垂直于弦AB，
∴＝，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝3，
∴AB＝3cm．
22．（1）解：
连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AC＝BC＝AB＝8cm，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝4（cm），
答：圆心O到弦AB的距离是4cm．
（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是4cm，
∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．
23．解：（1）过点O作OE⊥AB于E，连接OA，
∵OE⊥AB，OE过圆心O，
∴AE＝BE，∠AEO＝90°，
∵AB＝30cm，
∴AE＝15cm，
在Rt△AOE中，AO＝17cm，AE＝15cm，∴OE＝＝8（cm），
即圆心O到弦AB的距离是8cm；
（2）作直线OE交CD于F，连接OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF过O，CD＝16cm，
∴CF＝DF＝CD＝8cm，
在Rt△OCF中，CF＝8cm，OA＝17cm，由勾股定理得：OF＝＝15（cm），
分为两种情况：
①当AB、CD在圆心O同侧时，如图1，
∴EF＝OF﹣OE＝15cm﹣8cm＝7cm
②当AB、CD在圆心O异侧时，如图2，
∴EF＝OF+OE＝15cm+8cm＝23cm
答：AB和CD的距离为7cm或23cm．
24．证明：连接DB，
∵点D是的中点，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠C＝∠DBC，
∴DB＝DC，
∴AD＝DC．
25．解：连接OE，
∵∠BAC的平分线交BC于D，
∴，
∴BF＝CF，
∵OA＝OB，
∴OF是△ACB的中位线，
∴OF＝AC＝＝3，
∴EF＝1，
在Rt△OFB中，OB＝AB＝4，
BF＝＝＝，
∴CF＝，
∴在Rt△EFC中，EC＝＝2．