1.2一元二次方程的解法 同步优生辅导训练（Word版 附答案） 2021-2022学年苏科版九年级数学上册

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》
同步优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．四个一元二次方程：①x2﹣2x﹣3＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2﹣2x+2＝0；④x2＝0．其中没有实数根的方程的序号是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
2．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是（　　）
A．x1＝x2＝1
B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3
D．x＝0
3．一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
4．在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，AB的长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则△ABC的周长为（　　）A．16
B．16或18
C．17
D．18
5．已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则＝（　　）
A．
B．2
C．3
D．9
6．用配方法解方程：2x2+4x﹣3＝0，则配方结果正确的是（　　）
A．（x+1）2＝
B．（x﹣1）2＝
C．（x+1）2＝
D．（x﹣1）2＝
7．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0
B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0
D．x2﹣2x﹣3＝0
8．当a+b＝4时，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
9．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有实数根的所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．3
B．5
C．9
D．10
10．若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、填空题
11．关于x的方程（x+m﹣1）2＝b（m，b为常数，且b＞0）的解是x1＝﹣1，x2＝4，则关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2的解是
　
　．
12．已知方程x2+x﹣k＝0有一根为﹣2，则该方程的另一个根为
　
　．
13．如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是
　
　．
14．已知x为实数，若（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，则x2+3x＝　
　．
15．已知二次多项式x2﹣ax+a﹣5．
（1）当x＝1时，该多项式的值为
　
　；
（2）若关于x的方程x2﹣ax+a﹣5＝0，有两个不相等的整数根，则正数a的值为
　
　．
16．已知m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，则m2﹣5n+2021＝　
　．
17．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣6a+8＝0，b2﹣6b+8＝0．
（1）两根为a，b且关于x的一元二次方程为　
　．
（2）代数式的值为　
　．
18．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为　
　．
19．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2﹣11x+30＝0的一个根，则这个三角形的周长是　
　．
20．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为　
　．
三、解答题
21．用适当的方法解下列方程：
（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（2）2x2+x＝3．
22．解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x2+12x＝﹣9．
（2）设x1，x2是一元二次方程5x2﹣9x﹣2＝0的两根，求x12+x22的值．
23．阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值，
探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为
　
　；当x＝2时，x2+2x+5的值为
　
　，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．
探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+1+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+5的最小值为
　
　，这时相应的x＝　
　．
根据上述探究，请解答：
（1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值．
（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x?y的值，若不能，请说明理由．
24．已知：x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，x1，x2满足（x1﹣x2）2＝5，且x1?x2＜0．
（1）求m的值．
（2）不解方程，求3x1﹣x24．
25．阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个逅当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
x2﹣10x+30＝x2﹣10x+25+5＝（x2﹣10x+25）+5＝（x﹣5）2+5，因为（x﹣5）2≥0，即（x﹣5）2的最小值是0，所以x2﹣10x+30的最小值是5．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5；
（2）求a2+2a+2021的最小值；
（3）求﹣x2+2x+2019的最大值．
参考答案
1．解：①方程判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根；
②方程判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等的实数根；
③方程判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，没有实数根；
④方程判别式Δ＝02﹣4×1×0＝0，有两个相等的实数根；
故选：C．
2．解：∵x（x﹣3）＝x﹣3，
∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
故选：C．
3．解：∵一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0中，
a＝2019，b＝﹣2020，c＝2021，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2020）2﹣4×2019×2021＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
4．解：∵x2﹣9x+20＝0，
∴（x﹣5）（x﹣4）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝5，x2＝4，
当AB＝AC＝4时，4+4＝8，不符合三角形三边的关系，舍去；
当AB＝AC＝5，△ABC的周长为5+5+8＝18．
故选：D．
5．解：当x＝0时，方程左边＝6≠0，
∴x≠0．
将方程3x2+2021x+6＝0的两边同时÷x2得6（）2+2021+3＝0．
∵xy≠1，即y≠，
∴，y为一元二次方程6x2+2021x+3＝0的两个不相等的解，
∴＝＝．
故选：A．
6．解：方程整理得：x2+2x＝，
配方得：x2+2x+1＝，即（x+1）2＝．
故选：A．
7．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
8．解：由题意可知：Δ＝b2+4a，
∵a+b＝4，
∴b2+4（4﹣b）
＝b2﹣4b+16
＝（b﹣6）2+12＞0，
故选：A．
9．解：解不等式3x＞2（x﹣2），得：x＞﹣4，
解不等式3x﹣≤a，得：x≤，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴0≤＜1，
解得﹣1≤a＜4，
∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝22﹣4×（a﹣2）×1≥0且a﹣2≠0，
解得a≤3且a≠2，
∴在﹣1≤a＜4符合条件的整数和为﹣1+0+1+3＝3，
故选：A．
10．解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，
∴k＝﹣3，b＝1，
∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
11．解：∵方程m2+2mx＝b﹣x2整理得（x+m﹣1+1）2＝n，
把方程关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m﹣1）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4，
所以x+1＝﹣1，x+1＝4，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为x1＝﹣2，x2＝3．
12．解：设方程的另一个根为x2，
则﹣2+x2＝﹣1，
解得x2＝1，
即该方程的另一个根为1，
故答案为：1．
13．解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：m≤0且m≠﹣1．
故答案为：m≤0且m≠﹣1．
14．解：设y＝x2+3x，则y2+2y﹣3＝0，
整理，得（y+3）（y﹣1）＝0．
所以y+3＝0或y﹣1＝0．
解得y＝﹣3或y＝1．
当y＝﹣3时，x2+3x＝﹣3，此时该方程无解，故舍去．
综上所述，x2+3x＝1．
故答案是：1．
15．解（1）当x＝1时，x2﹣ax+a﹣5＝1﹣a+a﹣5＝﹣4，
故答案为﹣4；
（2）设x1，x2是方程两个不相等的整数根，
则x1+x2＝a，x1x2＝a﹣5．
∴a，a﹣5均为整数，
∴Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣5）＝a2﹣4a+20＝（a﹣2）2+16为完全平方数，
设（a﹣2）2+16＝t2（t为整数，且t≥0），
则（a﹣2）2﹣t2＝﹣16．于是，（a﹣2﹣t）（a﹣2+t）＝﹣16，
由于a﹣2﹣t，a﹣2+t奇偶性相同，且a﹣2﹣t≤a﹣2+t，
∴或或，
解得或（舍去）或，
经检验a＝2，a＝5符合要求，
∴a＝2或a＝5，
故答案为2或5．
16．解：∵m为方程x2+5x+1＝0的根，
∴m2+5m+1＝0，
∴m2＝﹣5m﹣1，
∴m2﹣5n+2021＝﹣5m﹣1﹣5n+2021
＝﹣5（m+n）+2020，
∵m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，
∴m+n＝﹣5，
∴m2﹣5n+2021＝﹣5×（﹣5）+2020＝2045．
故答案为：2045．
17．解：（1）∵实数a≠b，且a，b满足a2﹣6a+8＝0，b2﹣6b+8＝0，
∴a，b是方程x2﹣6x+8＝0的两根，
故答案为：x2﹣6x+8＝0；
（2）∵x2﹣6x+8＝0，
∴x1＝2，x2＝4，
∴a＝2或a＝4，
当a＝2时，＝＝2，
当a＝4时，＝＝4，
故答案为：2或4．
18．解：x2﹣9x+20＝0，
（x﹣4）（x﹣5）＝0，
x﹣4＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝4，x2＝5，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长＝2×＝6，
∴菱形的面积＝×6×8＝24．
故答案为：24．
19．解：解方程x2﹣11x+30＝0得：x＝5或6，
当腰为5时，三角形的三边为5，5，10，5+5＝10，此时不符合三角形三边关系定理，不合题意；
当腰为6时，三角形的三边为6，6，10，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为6+6+10＝22，
故答案为：22．
20．解：∴x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得x1＝3，x2＝2，
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，
∵斜边长＝．
故答案为：．
21．解：（1）∵3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝；
（2）∵2x2+x＝3，
∴2x2+x﹣3＝0，
则（x﹣1）（2x+3）＝0，
∴x﹣1＝0或2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣1.5．
22．解：（1）方程可化为x2+12x+62＝﹣9+36，即（x+6）2＝27，
两边开方得，x+6＝±3，
故x1＝﹣6﹣3，x2＝﹣6+3；
（2）由题意得：x1+x2＝，x1x2＝﹣，
原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2+2×＝4．
23．解：探究一：
当x＝1时，x2+2x+5＝12+2+5＝8；
若x＝2，x2+2x+5＝22+2×2+5＝13；
故答案为：8，13；
探究二：
x2+2x+5＝（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4，
∵（x+1）2是非负数，
∴这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x＝﹣1．
故答案为：4，﹣1；
（1）∵﹣x2﹣8x+17＝﹣（x+4）2+33，
∴当x＝﹣4时，代数式﹣x2﹣8x+17有最大值是33；
（2）∵A＝﹣x2﹣8x+17，B＝9y2+12y+37，
当A＝B时，则B﹣A＝0，
∴（9y2+12y+37）﹣（﹣x2﹣8x+17）＝0，
9y2+12y+4+x2+8x+16＝0，
（3y+2）2+（x+4）2＝0，
∴3y+2＝0，x+4＝0，
∴x＝﹣4，y＝﹣，
∴x?y＝﹣4×＝﹣．
24．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2+4m，
∴m2+4m＝5，
解得m1＝1，m2＝﹣5，
如果m2＝﹣5，那么x1x2＝5＞0，不合题意舍去，
当m1＝1时，满足Δ＞0，且x1?x2＜0，
∴m＝1；
（2）当m＝1时，原方程即为x2+x﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，＝1﹣x1，＝1﹣x2，
∴+＝2﹣（x1+x2）＝3，
∴3x1﹣x24
＝3x1﹣（1﹣x2）2
＝3x1﹣1+2x2﹣x22
＝2x1+2x2﹣（1﹣x1+）
＝2（x1+x2）﹣（+）
＝﹣2﹣3
＝﹣5．
25．解：（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+4﹣9
＝（x﹣2）2﹣32
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5）；
（2）a2+2a+2021＝a2+2a+1+2020＝（a+1）2+2020，
∵（a+1）2≥0，
即（a+1）2的最小值是0，
∴a2+2a+2021的最小值是2020；
（3）﹣x2+2x+2019＝﹣（x2﹣2x）+2019＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+2019＝﹣（x﹣1）2+2020，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
即﹣（x﹣1）2的最大值是0，
∴﹣x2+2x+2019的最大值是2020．