1.3探索三角形全等的条件AAS 培优训练(Word版含答案）-2021年八年级数学苏科版上册

苏科版数学八年级培优训练
1.3探索三角形全等的条件AAS
一、选择题
1．下列说法中：如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边相等．正确的是．
A.
和
B.
和
C.
和
D.
2．如图，点B，E，F，C在同一直线上，已知，，要直接利用“AAS”说明≌，可补充的条件是?
?
A.
B.
C.
D.
3．如图，请看以下两个推理过程：
，，，
≌；
，，，
≌．
则以下判断正确的包括判定三角形全等的依据是
A.
对错
B.
错对
C.
都对
D.
都错
4．下列说法：
如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定全等；
如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；
要判定两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．
其中正确的是???
A.
B.
C.
D.
5．如图，已知，要说明≌若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是
A.
B.
C.
D.
6．如图，DE经过点A，，，则下列依据，，，中，能判定≌的是
A.
和
B.
和
C.
和
D.
和
二、填空题
7．阅读后填空：已知：如图，，，AC、DB相交于点O．
求证：．
分析：要证，可证≌；要证≌，可先证≌得出这个结论证明；而用________可证≌填SAS或AAS或．
8．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且，只需补充一个条件：??????????，则有．
9．如图，已知，要说明，
若以“SAS”为依据，则需添加的条件是_______；
若以“AAS”为依据，则需添加的条件是_______；
若以“ASA”为依据，则需添加的条件是_______．
如图，在中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，添加一个条件，使得≌，根据AAS可添加的条件是________________，根据ASA可添加的条件是________________，根据SAS可添加的条件是____________不添加辅助线
11．如图，已知，，要利用“AAS”判定≌，应添加的条件是：______．
12．如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知，，，要使≌，以“AAS”需要补充的一个条件是________________写出一个即可．
三、解答题
13．在中，，，点D、F是线段AB上两点，连结CD，过A作于点E，过点F作于点M．
如图1，若点E是CD的中点，求的大小．
如图2，若点D是线段BF的中点，求证：．
如图3，若点F是线段AB的中点，已知，请直接写出FM的大小．
14．小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，四边形ABCD中，，，点P，Q分别在四边形ABCD的边BC，CD上，，求证：．
______；
小敏进行探索，如图2，将点P，Q的位置特殊化，使，，点E，F分别在边BC，CD上，此时她证明了请你证明此时结论；
受以上的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为E，F，请你继续完成原题的证明．
15．如图，，，，．
求证：≌．
证明：，
______
______
又，
______
______
，
______
______
在和中，
，
≌．
16．如图1在中，，，直线MN经过点C，且于点D，于点求证：≌．
请补全小聪的思考过程：
，
______垂直定义
直线MN经过点C且
______
在中
______
______同角的余角相等
又已证
已知
≌
小明通过小聪的思考过程发现，，从而得到AD、BE与DE之间的数量关系，请你猜想并直接写出小明的结论：______．
当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD、BE与DE有怎样的数量关系？请证明你的结论．
17．如图，，，，，垂足分别为D，E．
证明：；
若，，求DE的长．
18．如图，在ABC和DEF中，
如果ABDE，BCEF，只要添加一个条件???????????????????至少写两种，就可以证明ABC≌DEF；不需证明
如果把中“ABDE，BCEF”改为“BE，ACDF”呢？请你添加一个条件，使得ABC≌DEF，请你先添加条件，再完成证明。
苏科版数学八年级培优训练（教师卷）
1.3探索三角形全等的条件AAS
一、选择题
1．下列说法中：如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边相等．正确的是．
A.
和
B.
和
C.
和
D.
答案：C
解析：【分析】
本题考查三角形全等的判定．熟练综合运用判定定理判断，做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项正确；
两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项错误；
判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项正确．
故选C．
2．如图，点B，E，F，C在同一直线上，已知，，要直接利用“AAS”说明≌，可补充的条件是?
?
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：【分析】
本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．用AAS证明≌，需要添加的条件为、的对边，或、的对边相等即可．
【解答】
解：，，
要使≌，以“AAS”需要补充的一个条件是或．
故选D．
3．如图，请看以下两个推理过程：
，，，
≌；
，，，
≌．
则以下判断正确的包括判定三角形全等的依据是
A.
对错
B.
错对
C.
都对
D.
都错
答案：B
解析：解：在和中，，
≌，
错误；
在和中，，
≌，
正确．
故选：B．
在和中，根据、、利用全等三角形的判定定理即可证出≌，错误；在和中，根据、、利用全等三角形的判定定理即可证出≌，正确．综上即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定，找出利用全等三角形的判定定理证出≌、利用全等三角形的判定定理证出≌是解题的关键．
4．下列说法：
如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定全等；
如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；
要判定两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．
其中正确的是???
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：【分析】
本题考查三角形全等的判定．熟练综合运用判定定理判断，做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项正确；
两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项错误；
判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项正确．
故选C．
5．如图，已知，要说明≌若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：【分析】
本题主要考查的是全等三角形的判定的有关知识，本题要判定≌，已知，AB是公共边，具备了一边、一角对应相等，故添加可根据AAS判定全等．
【解答】
解：添加，
在和中
≌．
故选C．
6．如图，DE经过点A，，，则下列依据，，，中，能判定≌的是
A.
和
B.
和
C.
和
D.
和
答案：C
解析：解：，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌；
，，
，
在和中，
，
≌，
故选：C．
根据全等三角形的判定方法“角边角”“角角边”解答即可．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．
二、填空题
7．阅读后填空：已知：如图，，，AC、DB相交于点O．
求证：．
分析：要证，可证≌；要证≌，可先证≌得出这个结论证明；而用________可证≌填SAS或AAS或．
答案：HL
解析：【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，AAS，ASA，SSS，直角三角形全等还有HL定理．根据HL定理推出≌，求出，再根据AAS求出即可．
【解答】
解：HL定理，
理由是：，
在和中
≌，
．
在和中
≌，
．
故答案为HL．
8．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且，只需补充一个条件：??????????，则有．
答案：或
解析：补充条件为或．
证明：在和中，
．
9．如图，已知，要说明，
若以“SAS”为依据，则需添加的条件是_______；
若以“AAS”为依据，则需添加的条件是_______；
若以“ASA”为依据，则需添加的条件是_______．
答案：?；；答案不唯一．
解析：【分析】
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
本题要判定≌，已知，和一个公共边，根据SAS，AAS，ASA可添加一对边，一组角．
【解答】
解：已知一组角相等，和一个公共边，则以SAS为依据，则需要再加一对边，即
以“AAS”为依据，则需添加一组角，即
以“ASA”为依据，则需添加一组角，即．
故分别填，，．
故答案为：?；；．
10．如图，在中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，添加一个条件，使得≌，根据AAS可添加的条件是________________，根据ASA可添加的条件是________________，根据SAS可添加的条件是____________不添加辅助线
答案：；；
解析：【分析】
考查了三角形全等的判定．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．由已知可证，又，因为三角形全等条件中必须是三个元素．故添加的条件是：或或等；
【解答】
解：根据AAS可添加的条件是
理由如下：
点D是BC的中点，
．
在和中，
≌．
根据ASA可添加的条件是
理由如下：
点D是BC的中点，
．
在和中，
≌．
根据SAS可添加的条件是：．
理由如下：
点D是BC的中点，
．
在和中，
，
≌．
故答案是；；．
11．如图，已知，，要利用“AAS”判定≌，应添加的条件是：______．
答案：
解析：证明：在和中
，
≌．
故答案为：．
直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
12．如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知，，，要使≌，以“AAS”需要补充的一个条件是________________写出一个即可．
答案：
解析：【分析】
本题考查三角形全等的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、已知两个三角形中有一组角和边相等，要根据AAS证明≌，再添加条件必须是角，而且不能是夹已知相等边的角，据此可得答案．
【解答】
解：已知，
当添加时，根据AAS可以证明≌，
因此添加的条件是．
故答案为．
三、解答题
13．在中，，，点D、F是线段AB上两点，连结CD，过A作于点E，过点F作于点M．
如图1，若点E是CD的中点，求的大小．
如图2，若点D是线段BF的中点，求证：．
如图3，若点F是线段AB的中点，已知，请直接写出FM的大小．
答案：解：，，
，
，，
，
，
．
证明：过点B作交CD的延长线于点如图2所示：
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，，，
，
点F是线段AB的中点，
，
在和中，，
≌，
，
．
解：在线段AE上取点G，使得，连结CF、EF，如图3所示：
，，，
，，
，，
，
在和中，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
解析：只要证明，由等腰三角形的性质即可解决问题；
过点B作交CD的延长线于点想办法证明≌，≌，即可解决问题；
在线段AE上取点G，使得，连结CF、EF，证明≌，以及和是等腰直角三角形，证出，即可解决问题；
本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
14．小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，四边形ABCD中，，，点P，Q分别在四边形ABCD的边BC，CD上，，求证：．
______；
小敏进行探索，如图2，将点P，Q的位置特殊化，使，，点E，F分别在边BC，CD上，此时她证明了请你证明此时结论；
受以上的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为E，F，请你继续完成原题的证明．
答案：解：；
如图2，，
，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
；
由得，
，
，
，
≌，
．
解析：【分析】
本题是四边形的综合题，考查的是四边形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，属于较难题．
先根据等量代换得：，由四边形的内角和为可得结论；
由的结论得到，证明≌，根据全等三角形的性质证明；
证明≌可得结论．
【分析】
解答：如图1，，，
，
，
故答案为：；
见答案；
见答案．
15．如图，，，，．
求证：≌．
证明：，
______
______
又，
______
______
，
______
______
在和中，
，
≌．
答案：?
邻补角的性质?
?
等量代换?
?
两直线平行，内错角相等
解析：证明：，
邻补角的性质，
又，
等量代换，
，
两直线平行，内错角相等，
在和中，
，
≌．
故答案为：；邻补角的性质；；等量代换；；两直线平行，内错角相等；；．
由邻补角的性质求出，由平行线的性质得出，根据AAS可证≌．
本题考查了全等三角形的判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
16．如图1在中，，，直线MN经过点C，且于点D，于点求证：≌．
请补全小聪的思考过程：
，
______垂直定义
直线MN经过点C且
______
在中
______
______同角的余角相等
又已证
已知
≌
小明通过小聪的思考过程发现，，从而得到AD、BE与DE之间的数量关系，请你猜想并直接写出小明的结论：______．
当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD、BE与DE有怎样的数量关系？请证明你的结论．
答案：90?
1?
3?
?
解析：证明，
垂直定义
直线MN经过点C且
在中
同角的余角相等
又已证
已知
≌，
故答案为：90，1，3，；
证明：由知：≌，
，，
，
．
故答案为：；
证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，，
≌．
，，
．
先判断出，，得出，根据AAS即可得到结论；
由得到，，即可得出结论；
与证法类似可证出，能推出≌，得到，，即可得出结论．
此题是集合变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出≌是解本题的关键．
17．如图，，，，，垂足分别为D，E．
证明：；
若，，求DE的长．
答案：解：，，，
，
，，
，
在和中，
≌；
≌，
，，
．
解析：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明和全等的三个条件．
根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据AAS证明≌；
根据全等三角形的对应边相等得到，，利用，即可解答．
18．如图，在ABC和DEF中，
如果ABDE，BCEF，只要添加一个条件???????????????????至少写两种，就可以证明ABC≌DEF；不需证明
如果把中“ABDE，BCEF”改为“BE，ACDF”呢？请你添加一个条件，使得ABC≌DEF，请你先添加条件，再完成证明。
答案：解：或；
添?或．
证明如下添加：
在和中，
，，，
≌；
或者添加：
在和中，
，，，
≌．
解析：【分析】
本题查全三角形的理的应用，意：全等角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
或，根据SSS和SAS得出三角形全等即可；
添?或，根据AAS得出三角形全等即可．
【解答】
解：添加或，根据SSS和SAS得出三角形全等即可．
故答案为或；
见答案．