2022年高三年级一轮复习阶段性成果调研卷（新高考地区）
数
学
试
卷
【解
析
版】
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题
1．定义：当时，成为“格点”，则集合对应的图形有（
）格点
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】
由条件可得则，所以，即的取值为，分别讨论的取值，求得的值，从而得到答案.
【详解】
由当，
则，所以，得到，所以的取值为
所以当时，的值为：
当时，的值为：
当时，的值为：
所以满足条件的点有9个
故选：C
2．从2020年开始，国家逐步推行全新高考制度，新高考不分文理科，采用“3+3”模式，其中语文?数学?外语三科为必考科目，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在政治?历史?地理?物理?化学?生物6门科目中自选3门参加考试，则甲，乙两人在六门自选科目中至少有两科相同的选法的种数为（
）
A．180
B．200
C．220
D．360
【答案】B
【分析】
甲，乙两人在六门自选科目中至少有两科相同，可分三科完全相同和只有两科完全相同两种情况，三科完全相同的选法为种，只有两科完全相同的选法利用分步乘法计算原理求解.
【详解】
由题知，甲，乙两人在六门自选科目中选的三科都相同的选法的种数为；
甲，乙两人在六门自选科目中只有两科相同的选法可以分两步进行：
第一步：甲在六门自选科目中任意选三科，有种选法；
第二步：乙在甲选的三科中任选两科，在甲未选的三科中任选一科，有种选法.
由分步乘法计算原理知，共有.
所以甲，乙两人在六门自选科目中至少有两科相同的选法的种数为种.
故选：B.
3．已知且为整数，且，函数的图像如图所示，A、C，D是的图像与相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间上，有2020个零点，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由求得的范围，由求得，再利用求得，得周期，结合周期可得最大值．
【详解】
由题意则为，则有，进而，
又或，因为大于0小于3，所以等于2，与，得：，则，
相邻2个零点的距离有两种和，则当为1010个与1011个的和时最大为．
故选：C．
4．已知：①
函数
有且仅有一个零点；②
在中，若，则；③抛物线的焦点坐标为；④不等式恒成立，则上面结论错误的序号为（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【分析】
利用导数求得函数在上递增，且，可判定①正确；由正弦定理和三角形的性质，可判定②正确；根据抛物线的几何性质，可判定③错误；构造，利用导数求得单调性与最值，可判定④正确.
【详解】
对于①中，函数，可得，所以函数在上递增，
又由，所以函数有且仅有一个零点，所以①正确；
对于②中，在中，由，可得，由正弦定理，可得，，所以②正确；
对于③中，抛物线的焦点坐标为，所以③错误；
对于④中，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，可得，即不等式恒成立，所以④正确.
故选：C.
5．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则（
）
A．9
B．16
C．12
D．11
【答案】D
【分析】
建立直角坐标系求解
【详解】
过C作
垂足为G，如图建立直角坐标系
是边长为4的等边三角形,
,，
因为是四等分点，所以
,
，
.
故选：D.
6．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且米，则文星塔高为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】B
【分析】
设建筑物的高为，用表示、、，利用结合余弦定理求出的值，即可得解.
【详解】
如下图所示：
设建筑物的高为，则，，，
由余弦定理可得，
，
因为，故，
即，可得.
故选：B.
7．给出下面四个命题：
①函数在(3，5)内存在零点；
②函数的最小值是2；
③若则；
④命题的“”否定是“”
其中真命题个数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
对选项进行判断得解
【详解】
①函数在(3，5)内存在零点；
，所以①正确
②函数的最小值是2；
当且仅当时等号成立，此时无解
所以②不正确
③若则；
由不等式性质知③不正确
④命题的“”否定是“”故④不正确
故选：A
8．存在，使时恒有，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题意令，则上恒成立，上恒成立，讨论、、，上述两区间内的绝对值不等式是否同时成立，即可求参数的范围.
【详解】
令，
∴在上恒有，在上恒有，
∴上恒成立，上恒成立，
∴令，即时，；上；
∴当时，上，上，此时；
当时，上，上，此时；
当时，上，
在上，有：
①时，；
②时，，
当.
此时，不能在和上同时成立.
综上，有.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：由题意易得上恒成立，上恒成立，令，讨论参数a，并确认在和上绝对值不等式是否可以同时成立，求参数范围.
二、多选题
9．已知函数，，则（
）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
【答案】BCD
【分析】
根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案
【详解】
对于A：，定义域为，，
则为奇函数，故A错误；
对于B：，定义域为，
，
则为奇函数，故B正确；
对于C：，，都为奇函数，
则为奇函数，
在区间上的最大值与最小值互为相反数，
必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；
对于D：，则在上为减函数，
，则在上为减函数，
则在上为减函数，
若即，
则必有，解得，
即的解集为，故D正确；
故选：BCD
10．已知正方体的棱长为，点是
的中点，点是侧面
内的动点，且满足，下列选项正确的是（
）
A．动点轨迹的长度是
B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是
C．直线与所成的角为，则的最小值是
D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为
【答案】ABC
【分析】
建立坐标系，由可得出动点动点轨迹为线段，然后结合勾股定理，异面直线所成角，线面角，体积公式等逐一判断即可
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
，
，即，
取得中点，则动点轨迹为线段，
对于A：动点轨迹为线段，且，故A正确；
对于B：三角形在正方体内运动形成几何体为三棱锥，
且，故B正确；
对于C：，
直线与所成的角为，
又，则的最小值是，故C正确；
对于D：易知与重合时，直线与平面所成的角最大，
且为，，
，
所以不存在某个位置，使得直线与平面所成的角为，
故D错误；
故选：ABC
11．已知双曲线的右焦点为，过的动直线与相交于，两点，则（
）
A．曲线与椭圆有公共焦点
B．曲线的离心率为，渐近线方程为．
C．的最小值为1
D．满足的直线有且仅有4条
【答案】BC
【分析】
求出双曲线和椭圆的焦点即可判断A；求出双曲线的离心率和渐近线可判断B；分别求，两点位于双曲线的异支和同支时，弦长的最小值可判断C；根据的最小值可知直线有多少条，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：由知双曲线的焦点在轴上，由知椭圆的焦点在轴上，所以焦点不相同，故选项A不正确；
对于B：由双曲线可得，，所以，
所以双曲线的离心率为，渐进线方程为，即，
故选项B正确；
对于C：当，两点位于双曲线的异支时，直线的斜率为时最小，此时，两点分别为双曲线的左右顶点，此时，
当，两点位于双曲线的同支时，直线的斜率不存在时最小，直线的方程为代入可得，所以，所以的最小值为1，故选项C正确；
对于D：由选项C知，当，两点位于双曲线的异支时，，此时只有一条，
当，两点位于双曲线的同支时，，根据对称性可知，此时存在两条直线使得，所以满足的直线有且仅有条.故选项D不正确；
故选：BC.
12．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（
）
A．数列是公比为的等比数列
B．
C．数列是公比为的等比数列
D．数列的前n项和
【答案】BD
【分析】
先得到，即可判断A，再求出，可判断B与C，最后求出，可判断D.
【详解】
如图：
由图知，
对于A：，数列是公比为的等比数列，故A不正确；
对于BC：因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确，C不正确；
对于D：因为，故D正确，
故选：BD.
【点睛】
关键点睛：本题考查数列的归纳推理，关键在于根据几何图形的性质得出数列的递推关系式.
三、填空题
13．如图所示的后母戊鼎是一件非常有名的青铜重器，是商王武丁之子祭祀母亲戊所铸，现藏于国家博物馆．鼎身与四足为整体铸造，鼎耳则是在鼎身铸成之后再浇铸而成，鼎身大致为长方体形状的容器，长为，宽为，壁厚．若一堆祭祀物品在该容器内燃烧后形成的灰平铺且铺满容器底部，灰的高度为，则灰的体积为________．
【答案】3283
【分析】
由已知求出灰体的长度与宽度，由长方体体积公式求解．
【详解】
解：由题意，容器内灰体的长度为，
灰体的宽度为，
又高度为0.5，灰的体积为．
故答案为：3283．
14．如图所示，半径为1的圆内接于正方形，点是圆上的一个动点，点与关于直线成轴对称，若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可求解.
【详解】
如图所示，建立平面直角坐标系，
故，，设，，则，
因，所以，即，
因此，
又因点是圆上的一个动点，所以，因此，
故，因此的取值范围为.
故答案为：.
15．已知函数和，有下列四个结论：
①当时，若函数有3个零点，则；
②当时，函数有6个零点；
③当时，函数的所有零点之和为；
④当时，函数有3个零点；
其中正确结论的序号为________.
【答案】①②③
【分析】
对于①：作出直线与函数的大致图象，根据题意即可判定；对于②：令，作出函数，的大致图象，先判定的零点t的值或范围，再对t的每一个值判定的根的个数，综合即得函数的零点个数；对于③：令，则，作出函数，的大致图象，判定函数的零点的值，进而求得的根，即得函数的所有零点之和；对于④：令，则，作出函数，的大致图象，由图得到函数的各个零点，然后分别求得的根的个数，即得函数的零点个数.
【详解】
解：对于①：当时，，
作出直线与函数的大致图象，如下：
由图可知，若函数有3个零点，则，故①正确；
对于②：当时，，
其对应的方程的根判别式为，
当时，，
令，作出函数，的大致图象，
分别如下：
由图可知，函数有3个零点，即，，，且，，
又，且函数的图象与直线，，共6个交点，
所以函数有6个零点，故②正确；
对于③：当时，，
令，则，作出函数，的大致图象，
分别如下：
由图可知，函数只有1个零点，即，
函数的图象与直线只有1个交点，为，
所以函数所有零点之和为，故③正确；
对于④：当时，，
令，则，
作出函数，的大致图象，分别如下：
由图可知，函数有2个零点，即，，
函数的图象与直线，共有4个交点，
所以有四个零点，故④不正确．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查函数的零点问题，涉及分段函数，复合函数，解题中注意复合函数的拆解与数形结合思想的应用．
16．在中，，G为其重心，直线经过点G，且与射线、分别交于D、E两点，记和的面积分别为，则当取得最小值时，的值为______．
【答案】
【分析】
设，，根据重心位置及共线定理求得，根据面积公式分别表示出分别与，的关系，代入求得取最小值时的参数的值，根据与间的关系求得结果.
【详解】
设，，，且G为三角形ABC的重心，延长AG交BC于H，延长CG交AB于M，则，
则，又D，G，E三点共线，
则，即，
，
同理得，
则，又，
则
当且仅当即时，等号成立，此时，
故答案为：
【点睛】
方法点睛：利用共线定理求得两个参数的关系，根据比例关系表示出，进而求得取何条件时取最小值，此时求得，根据面积公式结合向量间的关系求得结果.
四、解答题
17．已知等比数列的公比为，与数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若，且数列的前3项和，求的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）运用等比数列的定义和等差数列的定义,即可得证;
（2）由等比数列的通项公式和等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式;
（3）求得的前n项和为Sn,对n的范围讨论,化简即可得到所求和.
【详解】
（1）证明：设的公比为
（与无关的常数）
∴数列为等差数列，公差为．
（2）解：
（3）解：由，得得
的前5项是正数，从第六项开始是负数．
①当时，
．
②当时，
综上所述：．
18．在中，角，，所对边分别为，，，且向量，，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，成等差数列，且，求边的长.
【答案】（1）；（2）6.
【分析】
（1）首先利用向量数量积的坐标表示，并结合三角恒等变换，化简求得，即可求得角的大小；
（2）首先由正弦定理边角互化，得，再结合数量积公式得，最后根据余弦定理求边长.
【详解】
解：（1）
对于，，，
又，
，即，又
；
（2）由，，成等差数列，得
由正弦定理得，
，
，
得，即，
由余弦定理，
，即，
.
19．一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．
【答案】（1）；（2）；证明见解析．
【分析】
（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；
（2）由题得，，进而根据化简整理得，再令（且）得，再令，利用导数研究最值得，进而得，即，进而证明.
【详解】
解：（1）设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A，
所以，
所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为．
（2）由已知得，
的所有可能取值为1，．
所以，，
所以，
若，则，
所以，，
所以，即，
所以p关于k的函数关系式为（且）
证明：令（且）
所以，
令，
，
所以得，
所以，，单调递减，
，，单调递增
所以，所以，
因为且，
所以，即，
所以，即，
所以．
【点睛】
本题考查古典概型求概率，随机变量概率分布列，数学期望，利用导数研究函数的性质等，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问题解题的关键在于根据题意求得，进而结合得，再通过换元法结合导数研究函数不等式.
20．如图，是以菱形的边为直径的半圆弧上一点，，，且为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）设为上任意一点，求二面角的余弦值取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证平面平面，只要证平面内的一条直线垂直于平面即可，根据题意可得且，所以平面，即可得证；
（2）取半圆弧中点，连接，由（1）知平面，根据条件可得
平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出各面的法向量，利用向量求角公式，即可得解.
【详解】
（1）∵四边形为菱形，，∴为等边
又∵为的中点，∴
∵，，，∴
∴，又∵，∴平面
∵平面，∴平面平面
（2）取半圆弧中点，连接，由（1）知平面，
又∵平面，∴平面平面
∵，∴平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系
设，，，，，
，，
设平面和平面的一个法向量分别为，
∴
设二面角的平面角为，，所成角为
∴
，
∴，
∴的取值范围为
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明，考查了向量法求二面角的大小，考查了逻辑推理能力和较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有：
（1）掌握面面垂直的判定定理，掌握执果索因的逆向思维；
（2）掌握利用空间向量求二面角，计算能力是解决此类问题的核心能力.
21．如图，点P在抛物线外，过Р作抛物线C的两切线，设两切点分别为，，记线段AB的中点为M.
（1）求切线PA，PB的方程;
（2）设点Р为圆上的点，当取最大值时，求点P的纵坐标.
【答案】（1），
；（2）.
【分析】
（1）结合导数的几何意义即可求得；
（2）设，代入抛物线方程运用根与系数的关系得出，进而可以得到P的坐标，代入圆的方程可得k,b的关系并求出b的范围，求出并化简，从函数或不等式的角度求出答案.
【详解】
（1）由题，所以切线，同理切线
（2）由（1）联立两切线方程，解得∶，
设直线，则联立，解得∶，所以
即点，代入圆D方程得∶，即，解得∶
而，易知线段AB的中点
所以，则
设，则
当且仅当即时取到等号，此时，即此时点P的纵坐标为.
【点睛】
圆锥曲线中的最值与范围问题，在大题中往往采用代数法求解，需要考虑一下几个方面：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知不等关系建立不等式，求出参数取值范围；③利用基本不等式求出参数取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.平常注意对各个类型的归纳总结.
22．已知函数，.
（1）记，试讨论函数的单调性；
（2）若曲线与曲线在处的切线都过点（0，1）.求证：当时，.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导数，计算，求出切线方程，求出的值，从而求出的解析式，问题转化为证明，构造函数，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.
【详解】
解：（1），，
记，
当时，，在单调递增，
当时，，
有异号的两根，，
∴，，，在单调递减，
，，，在单调递减，
（2）证明：∵，，
∴，在处的切线方程为，过点得：，
，在处的切线方程为，过点得：，
∴，，
要证：，即证：，
即证：，
构造函数，则，
∵时，，
∴时，，在单调递减，
∴时，，在单调递增，
∴，故原不等式成立．
【点睛】
关键点睛：本题考查导数解决函数的单调性问题，考查导数证明不等式，解决本题的关键点将证明问题变形为，对恒成立，对函数求导判断出单调性和最值，可得命题成立.
试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页2022年高三年级一轮复习阶段性成果调研卷（新高考地区）
数
学
试
卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．定义：当时，成为“格点”，则集合对应的图形有（
）格点
A．7
B．8
C．9
D．10
2．从2020年开始，国家逐步推行全新高考制度，新高考不分文理科，采用“3+3”模式，其中语文?数学?外语三科为必考科目，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在政治?历史?地理?物理?化学?生物6门科目中自选3门参加考试，则甲，乙两人在六门自选科目中至少有两科相同的选法的种数为（
）
A．180
B．200
C．220
D．360
3．已知且为整数，且，函数的图像如图所示，A、C，D是的图像与相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间上，有2020个零点，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知：①
函数
有且仅有一个零点；②
在中，若，则；③抛物线的焦点坐标为；④不等式恒成立，则上面结论错误的序号为（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
第3题图
第5题图
5．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则（
）
A．9
B．16
C．12
D．11
6．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且米，则文星塔高为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
7．给出下面四个命题：
①函数在(3，5)内存在零点；
②函数的最小值是2；
③若则；
④命题的“”否定是“”
其中真命题个数是（
）
A．
B．
C．
D．
8．存在，使时恒有，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，，则（
）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
10．已知正方体的棱长为，点是
的中点，点是侧面
内的动点，且满足，下列选项正确的是（
）
A．动点轨迹的长度是
B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是
C．直线与所成的角为，则的最小值是
D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为
11．已知双曲线的右焦点为，过的动直线与相交于，两点，则（
）
A．曲线与椭圆有公共焦点
B．曲线的离心率为，渐近线方程为．
C．的最小值为1
D．满足的直线有且仅有4条
12．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（
）
A．数列是公比为的等比数列
B．
C．数列是公比为的等比数列
D．数列的前n项和
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图所示的后母戊鼎是一件非常有名的青铜重器，是商王武丁之子祭祀母亲戊所铸，现藏于国家博物馆．鼎身与四足为整体铸造，鼎耳则是在鼎身铸成之后再浇铸而成，鼎身大致为长方体形状的容器，长为，宽为，壁厚．若一堆祭祀物品在该容器内燃烧后形成的灰平铺且铺满容器底部，灰的高度为，则灰的体积为________．
14．如图所示，半径为1的圆内接于正方形，点是圆上的一个动点，点与关于直线成轴对称，若，则的取值范围是______．
第13题图
第14题图
15．已知函数和，有下列四个结论：
①当时，若函数有3个零点，则；
②当时，函数有6个零点；
③当时，函数的所有零点之和为；
④当时，函数有3个零点；
其中正确结论的序号为________.
16．在中，，G为其重心，直线经过点G，且与射线、分别交于D、E两点，记和的面积分别为，则当取得最小值时，的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列的公比为，与数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若，且数列的前3项和，求的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求．
18．在中，角，，所对边分别为，，，且向量，，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，成等差数列，且，求边的长.
19．一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．
20．如图，是以菱形的边为直径的半圆弧上一点，，，且为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）设为上任意一点，求二面角的余弦值取值范围.
21．如图，点P在抛物线外，过Р作抛物线C的两切线，设两切点分别为，，记线段AB的中点为M.
（1）求切线PA，PB的方程;
（2）设点Р为圆上的点，当取最大值时，求点P的纵坐标.
22．已知函数，.
（1）记，试讨论函数的单调性；
（2）若曲线与曲线在处的切线都过点（0，1）.求证：当时，.
数学试卷
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数学试卷
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