南京二十九中2022届高三摸底调研测试
数
学
试
题
注意事项：
1．本卷共6页，包括22小题，满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的指定位置上并准确粘贴条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；每题只有一个选项符合题意)
1．集合，则(RM)∩N＝
A．(1，2]
B．[1，2]
C．(2，3]
D．[2，3]
2．，是的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．如图，放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列命题：①若－2≤x≤2，则函数y＝f(x)是偶函数；②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；③函数y＝f(x)在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f(x)在区间[4，6]上是减函数．其中真命题的序号是
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
4．声强级LI(单位：dB)与声强I的函数关系式为：，若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的
A．倍
B．倍
C．倍
D．倍
5．某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘．将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6．9cm，BC＝7.1cm，AC＝12.6cm．根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于
A．(，)
B．(，)
C．(，)
D．(，)
6．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为44.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为88.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为
图1
图2
A．
B．
C．
D．
7．已知||＝，＝(m，3)，，则向量在向量方向上的投影的最大值为
A．4
B．2
C．1
D．
8．已知四面体ABCD，分别在棱AD，BD，BC上取n＋1(n∈N
，n≥3)等分点，形成点列{An}，{Bn}，{Cn}，过Ak，Bk，Ck(k＝1，2，…，n)作四面体的截面，记该截面的面积为Mk，则
A．数列{Mk}为等差数列
B．数列{Mk}为等比数列
C．数列为等差数列
D．数列为等比数列
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；每题全选且正确得5分，部分选择且正确的得2分，有选错的得0分)
9．函数，若f(x)在和处切线平行，则
A．＋＝
B．x1x2＜128
C．x1＋x2＜32
D．
x12＋x22＞512
10．F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则
A．双曲线的离心率
B．双曲线的渐近线方程为y＝
C．
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
11．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列判断正确的是
A．
B．事件B与事件A1相互独立
C．事件B与事件A2相互独立
D．A1，A2互斥
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折到的位置，A1平面ABCD，M为A1C的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是
A．BM∥平面
B．B与M两点间距离为定值
C．三棱锥的体积的最大值为
D．存在某个位置，使得平面平面
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知复数z满足|z|＝1，且z·(1＋i)＞0(其中i是虚数单位)，则复数z＝
▲
．
14．剪纸社团某学生剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为，(单位：cm)，则三个圆之间空隙部分的面积为
▲
cm2．
15．过抛物线C：的准线上任意一点P作抛物线C的切线PA，PB，切点分别为A，B，则点A到准线的距离与点B到准线的距离之和的最小值是
▲
．
16．已知向量，满足||＝3，||＝1，若存在不同的实数，使得＝λi＋3λi，且(－)·(－)＝0(i＝1，2)，则|－|的取值范围是
▲
．
四、解答题(本大题共6小题，第17题满分10分，其余每题满分12分，共70分)
17．在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b＝2a－2ccosB，且三角形外接圆半径为
(1)若△ABC的面积为，求cos2A＋cos2B的值；
(2)设△ABC的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．
18．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，，，．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)对任意的正整数n，设cn＝，求数列{cn}的前2n项和．
19．如图，等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，P是弧AB上一点，且∠PAB＝30°．
(1)证明：平面BCP⊥平面ACP；
(2)若Q是弧AP上异于A，P的一个动点，且AB＝4，当三棱锥C－APQ体积最大时，求点A到平面PCQ的距离．
20．某在外务工人员甲不知自己已感染新冠病毒(处于潜伏期)，他从疫区回乡过春节，这期间他和乙、丙、丁三位朋友相聚．最终，乙、丙、丁也感染了新冠病毒．此时，乙被肯定是受甲感染，丙是受甲或乙感染的．假设他受甲和受乙感染的概率分别是0.6和0.4．丁是受甲、乙或丙感染的，假设他受甲、乙和丙感染的概率分别是0.2、0.4和0.4．在这种假设之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人数为X．
(1)求X的分布列和数学期望；
(2)该市在发现新冠病毒感染者后要求各区必须每天及时上报新增疑似病例人数．A区上报的连续7天新增疑似病例数据是“总体均值为3，中位数4”，B区上报的连续7天新增疑似病例数据是“总体均值为2，总体方差为”．设A区和B区连续7天上报新增疑似病例人数分别为x1，x2，…，x7和y1，y2，…，y7，xi和yi(1≤i≤7，i∈N)分别表示A区和B区第i天上报新增疑似病例人数(xi和yi均为非负)．设M＝max{x1，x2，…，x7}，N＝max{y1，y2，…，y7}．
①比较M和N的大小；
②求M和N中较小的那个字母所对应的7个数有多少组?
21．已知椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，离心率为，长轴长为4，动点S在C上且位于x轴上方，直线AS，BS与直线l：x＝4分别交于M，N两点．
(1)求|MN|的最小值；
(2)当|MN|最小时，在椭圆C上可以找出点T使△TSB的面积为，试确定点T的个数．
22．已知函数(其中a≠0，e＝2．71828．．．．．．
(1)当时，求函数f(x)的单调区间；
(2)对任意的均满足，试确定a的取值范围．南京二十九中2022届高三摸底调研测试
数
学
试
题
注意事项：
1．本卷共6页，包括22小题，满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的指定位置上并准确粘贴条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；每题只有一个选项符合题意)
1．集合，则(RM)∩N＝
A．(1，2]
B．[1，2]
C．(2，3]
D．[2，3]
【答案】B
【考点】集合的运算
【解析】由题意可知，M＝(－，1)∪[3，＋)，N＝(－，2]，则RM＝[1，3)，所以(RM)∩N＝[1，2]，故答案选B．
2．，是的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【考点】三角恒等变换与条件的判断
【解析】由题意可知，，所以3tan2α－10tanα＋3＝0，解得或tanα＝3，故答案选A．
3．如图，放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列命题：①若－2≤x≤2，则函数y＝f(x)是偶函数；②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；③函数y＝f(x)在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f(x)在区间[4，6]上是减函数．其中真命题的序号是
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
【答案】B
【考点】函数的性质、轨迹方程综合应用
【解析】当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆；当－1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆；当1≤r≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆；当2≤x≤3时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，所以函数的周期是4．因此最终构成图象如下：
①根据图像的对称性可知函数y＝f(x)是偶函数，所以①正确；②由图像分析可知函数的周期是4，所以②正确；③函数y＝f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以③错误；④函数y＝f(x)在区间[4，6]上是减函数，所以④正确．综上，答案选B．
4．声强级LI(单位：dB)与声强I的函数关系式为：，若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的
A．倍
B．倍
C．倍
D．倍
【答案】B
【考点】指对数运算
【解析】由题意可知，95＝10lg，45＝10lg，则＝lg－lg＝lg，即5＝lg，所以＝105，即普通列车的声强是高速列车声强的105倍．故答案选B．
5．某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘．将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6．9cm，BC＝7.1cm，AC＝12.6cm．根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于
A．(，)
B．(，)
C．(，)
D．(，)
【答案】B
【考点】新情景问题下的解三角形、三角函数问题
【解析】根据余弦定理，得cos，所以＜∠ABC＜π，设对应的圆心角为α，则cosα＝cos(π－∠ABC)＝－cos∠ABC＝，且0＜α＜，因为＜＜，所以，故答案选B．
6．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为44.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为88.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为
图1
图2
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【考点】新情景问题下解三角形的应用
【解析】由图得∠DAB＝∠ADC－∠ABD＝88.5°－44.5°＝44°，在△ABD中，由正弦定理得，则，在△ACD中AC，故答案选A．
7．已知||＝，＝(m，3)，，则向量在向量方向上的投影的最大值为
A．4
B．2
C．1
D．
【答案】C
【考点】平面向量的数量积、投影的最值
【解析】∵，所以＝2＋·－22＝0，即m2＋9＋·－12＝0，则向量在向量方向上的投影为，令t＝≥3，则m2＝t2－9，，函数在区间[3，＋)上单调递减，所以当t＝3时，向量在向量方向上的投影取得最大值，最大值是，故答案选C．
8．已知四面体ABCD，分别在棱AD，BD，BC上取n＋1(n∈N
，n≥3)等分点，形成点列{An}，{Bn}，{Cn}，过Ak，Bk，Ck(k＝1，2，…，n)作四面体的截面，记该截面的面积为Mk，则
A．数列{Mk}为等差数列
B．数列{Mk}为等比数列
C．数列为等差数列
D．数列为等比数列
【答案】C
【考点】立体几何与数列的综合应用
【解析】根据题意，设|AB|＝a，|CD|＝b，AB与CD成的角为α，对于第k个截面，设截面与AC的交点为，则有，则有AkBk∥CkDk∥AB且AkBk＝CkDk＝，同理：AkDk∥BkCk∥BC且AkDk＝BkCk＝，又由AkBk∥AB且AkDk∥BC，AB与CD所成的角为α，则AkBk与AkDk所成的角为α，则××absinα＝，则数列{Mk}既不是等差数列也不是等比数列，，数列为等差数列，不是等比数列，故答案选C．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；每题全选且正确得5分，部分选择且正确的得2分，有选错的得0分)
9．函数，若f(x)在和处切线平行，则
A．＋＝
B．x1x2＜128
C．x1＋x2＜32
D．
x12＋x22＞512
【答案】AD
【考点】导数的几何意义、基本不等式综合应用
【解析】由题意知f′(x)＝－(x＞0)，因为f(x)在和处切线平行，所以f′(x1)＝f′(x2)，即＝，化简得＋＝，故选项A正确；由基本不等式及可得，＝＋＞2，即x1x2＞256，故选项B错误；x1＋x2＞2＞32，故选项C错误；x12＋x22＞2x1x2＞512，故选项D正确；综上，答案选AD．
10．F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则
A．双曲线的离心率
B．双曲线的渐近线方程为y＝
C．
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
【答案】ABD
【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质综合应用
【解析】由题意，因为，，所以|．在中，因为2c＞2a，4a＞2a，所以，所以cos，所以，所以离心率e＝，故选项A正确；又，所以，所以，所以渐近线方程为，故选项B正确；因为，所以，又因为，，所以，所以，故选项C错误；由联立，得×7×(8－2a2)＝32＋56a2＞0，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，故选项D正确；综上，答案选ABD．
11．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列判断正确的是
A．
B．事件B与事件A1相互独立
C．事件B与事件A2相互独立
D．A1，A2互斥
【答案】AD
【考点】随机事件的独立、互斥与概率
【解析】
法一：由题意，因为先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐中，分别以A1，A2表示从甲罐中取出的球是红球、白球事件，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙的中取出的球是红球的事件，则，所以，故选项A项正确；由题意知事件B与事件A，不相互独立，事件B故彼此互斥，与事件A2不相互独立，故选项B、C错误；A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故选项D项正确；综上，答案选AD．
法二：根据题意画出树状图，得到相关事件的样本点数：
因此P(A1)，P(B)，故选项A正确；又，因此P(，故选项B错误；同理，选项C错误，A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故选项D正确；综上，答案选AD．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折到的位置，A1平面ABCD，M为A1C的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是
A．BM∥平面
B．B与M两点间距离为定值
C．三棱锥的体积的最大值为
D．存在某个位置，使得平面平面
【答案】ABC
【考点】立体几何的综合应用：位置关系判断、空间中两点距离、体积等
【解析】由题意，取A1D的中点N，连接MN，EN，可得四边形BMNE是平行四边形，所以BM∥EN，所以BM∥平面A1DE，故选项A正确；(也可以延长DE，CB交于H，可证明MB∥A1H，从而证明BM∥平面A1DE)因为DN＝，DE＝，∠，根据余弦定理得，得，因为EN＝BM，故，故选项B正确；因为M为A1C的中点，所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，故三棱锥的体积·h，其中h表示A1到底面ABCD的距离，当平面平面ABCD时，h达到最大值，此时取到最大值，所以三棱锥体积的最大值，故选项C正确；对于选项D，假设平面⊥平面，平面∩平面＝A1D，A1E⊥A1D，故平面，所以A1E⊥A1C，则在△A1CE中，，所以A1C＝1，又因为，所以，故A1，C，D三点共线，所以A1∈CD，得A1∈平面ABCD，与题干条件A1平面ABCD矛盾，故选项D错误；综上，答案选ABC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知复数z满足|z|＝1，且z·(1＋i)＞0(其中i是虚数单位)，则复数z＝
▲
．
【答案】－i
【考点】复数的运算
【解析】由题意可设z＝a＋bi，则a2＋b2＝1，且z·(1＋i)＝(a＋bi)·(1＋i)＝a－b＋(a＋b)i＞0，则a－b＞0，且a＋b＝0，则联立a2＋b2＝1，解得或，又a－b＞0，所以，则z＝－i．
14．剪纸社团某学生剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为，(单位：cm)，则三个圆之间空隙部分的面积为
▲
cm2．
【答案】2－π
【考点】直线与圆中圆与圆的位置关系综合应用
【解析】如图，⊙A的半径为cm，⊙B的半径为cm，⊙C的半径为(3－cm，∴AB＝＋＝2cm，BC＝＋3－＝2cm，AC＝＋3－＝4cm，∴AB2＋BC2＝AC2，，又AC＝2BC，可得，所以(cm2)，⊙A中的小扇形的面积为××(＋1)2＝π(cm2)，⊙B中的小扇形的面积为××(－1)2＝π(cm2)，⊙C中的小扇形的面积为××(3－)2＝(2－)π(cm2)，则三个圆之间空隙部分的面积为2－π－π－(2－)π＝2－π(cm2)．
15．过抛物线C：的准线上任意一点P作抛物线C的切线PA，PB，切点分别为A，B，则点A到准线的距离与点B到准线的距离之和的最小值是
▲
．
【答案】4
【考点】圆锥曲线中抛物线的几何性质综合应用
【解析】
法一：设，则直线PA，PB的方程分别为，联立解得xp＝，又直线PA，PB的方程分别可表示，将P点坐标代入两方程，得结合yp＝－1，可知直线AB的方程为，即，所以A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为．
法二：设抛物线C：的准线上任意一点P(m，－1)．设过点P作抛物线的切线PA，PB的切点分别为，由x2＝4y，可得，所以切线PA，PB的方程分别为，所以可得直线AB的方程为mx＝2(y－1)．故直线AB过定点(0，1)，即直线AB恒过抛物线焦点．则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为|AB|，当AB为通径时最小，最小值是2p＝4．
16．已知向量，满足||＝3，||＝1，若存在不同的实数，使得＝λi＋3λi，且(－)·(－)＝0(i＝1，2)，则|－|的取值范围是
▲
．
【答案】[2，2)∪(2，2)
【考点】
【解析】由题意，－＝(λ1－1)＋3λ1，－＝λ1＋(3λ1－1)，设·＝k(－3≤k≤3)，由(－)·(－)＝0，得2－(＋)·＋·＝0，整理得6(k＋3)λ12－4(k＋3)λ1＋k＝0，同理6(k＋3)λ22－4(k＋3)λ2＋k＝0，所以λ1，λ2是方程6(k＋3)x2－4(k＋3)x＋k＝0的两根，由λ1，λ2≠0，得k≠0，所以k＝－3时方程无解，故k≠0且k≠－3，＝(k＋3)(6－k)＞0，λ1＋λ2＝，λ1λ2＝，所以|λ1－λ2|＝＝＝，|＋3|＝＝＝，所以|－|＝|λ1－λ2||＋3|＝，由－3≤k≤3，k≠0且k≠－3，得|－|的范围是[2，2)∪(2，2)．
四、解答题(本大题共6小题，第17题满分10分，其余每题满分12分，共70分)
17．在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b＝2a－2ccosB，且三角形外接圆半径为
(1)若△ABC的面积为，求cos2A＋cos2B的值；
(2)设△ABC的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．
【考点】解三角形、三角恒等变换、平面向量综合应用
【解析】
(1)在△ABC中，由正弦定理可得，
所以b＝2a－2ccosB可转化为sinB＝2sinA－2sinCcosB，
又因为A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)，
所以sinB＝2sin(B＋C)－2sinCcosB，整理得sinB＝2sinBcosC，
在△ABC中sinB≠0，则，
又因为C∈(0，π)，所以；
由正弦定理得，
则cos＝，
又，所以c＝3，又，所以ab＝8，
由余弦定理得，所以，
所以；
(2)因为，所以()＝2m2，
所以＝2m2，
又
所以，
由正弦定理，所以a，
代入化简得6sinAcosB＋6sinBcosA＝6m，所以．
18．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，，，．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)对任意的正整数n，设cn＝，求数列{cn}的前2n项和．
【考点】数列的通项公式与求和
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由，，可得d＝1．从而{an}的通项公式为an＝n．
由，又q≠0，可得，解得q＝2，
从而{bn}的通项公式为．
(2)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有＝＝－1，
和＝＝＋＋＋…＋＋①
由①得＝＋＋＋…＋＋②
由①－②得，＝＋＋＋＋…＋－＝－－，
由于－－＝－×－－×＝－，
从而得：＝－．
因此，＝＋＝－－．
所以，数列{cn}的前2n项和为－－．
19．如图，等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，P是弧AB上一点，且∠PAB＝30°．
(1)证明：平面BCP⊥平面ACP；
(2)若Q是弧AP上异于A，P的一个动点，且AB＝4，当三棱锥C－APQ体积最大时，求点A到平面PCQ的距离．
【考点】立体几何中位置关系的证明、利用等积法求点到面的距离
【解析】
(1)证明：∵平面ABC⊥平面ABP，AC⊥AB，
平面ABC∩平面ABP＝AB，AC平面ABC，∴AC⊥平面ABP，
又∵BP平面ABP，∴AC⊥BP，
∵AB为直径，∴AP⊥BP，又AC∩AP＝A，AC，AP平面ACP，∴BP⊥平面ACP，
又BP平面BCP，∴平面BCP⊥平面ACP．
(2)解：过点Q作QD⊥AP交AP于D，
由(1)知AC⊥平面ABP，QD，AP?平面ABP，
因为AC⊥AP，AC⊥QD，AC∩AP＝A，AC，AP平面ACP，所以QD⊥平面APC．
∵AB＝AC＝4，∠PAB＝，∴，
因为为定值．
所以三棱锥Q－APC的体积为，
当三棱锥Q－APC的体积最大时，Q为的中点．
，∴＝＝，且．
∵AB＝AC＝4，则AQ＝QP＝PB＝2，，
．
在△CPQ中，，
，
∴cos，
，
．
设点A到平面PCQ的距离为d，
则由，得，
即，解得．
∴点A到平面PCQ的距离为．
20．某在外务工人员甲不知自己已感染新冠病毒(处于潜伏期)，他从疫区回乡过春节，这期间他和乙、丙、丁三位朋友相聚．最终，乙、丙、丁也感染了新冠病毒．此时，乙被肯定是受甲感染，丙是受甲或乙感染的．假设他受甲和受乙感染的概率分别是0.6和0.4．丁是受甲、乙或丙感染的，假设他受甲、乙和丙感染的概率分别是0.2、0.4和0.4．在这种假设之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人数为X．
(1)求X的分布列和数学期望；
(2)该市在发现新冠病毒感染者后要求各区必须每天及时上报新增疑似病例人数．A区上报的连续7天新增疑似病例数据是“总体均值为3，中位数4”，B区上报的连续7天新增疑似病例数据是“总体均值为2，总体方差为”．设A区和B区连续7天上报新增疑似病例人数分别为x1，x2，…，x7和y1，y2，…，y7，xi和yi(1≤i≤7，i∈N)分别表示A区和B区第i天上报新增疑似病例人数(xi和yi均为非负)．设M＝max{x1，x2，…，x7}，N＝max{y1，y2，…，y7}．
①比较M和N的大小；
②求M和N中较小的那个字母所对应的7个数有多少组?
【考点】随机事件的概率、分布列综合应用
【解析】
(1)记事件C：“丙受甲感染”，事件D：“丁受甲感染”，则P(C)=0.6，P(D)=0.2，
X的取值为1，2，3，
P(X＝1)＝P(·)＝0.4×0.8＝0.32，
P(X＝2)＝P(C·)＋P(·D)＝0.6×0.8＋0.4×0.2＝0.56，
P(X＝3)＝P(C·D)＝0.6×0.2＝0.12，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
0.32
0.56
0.12
所以E(X)＝1×0.32＋2×0.56＋3×0.12＝1.8．
(2)①对于B区，由(y1－2)2＋(y2－2)2＋…＋(y7－2)2＝22知，
(yi－2)2≤22(i＝1，2，…，7)，因为yi是非负整数，所以|yi－2|≤4，即yi≤6，所以N≤6，当y1，y2，…，y7，中有一个取6，有一个取2，其余取1时，N＝6，
对于A区，当x1＝x2＝x3＝0，x4＝x5＝x6＝4，x7＝9时，满足“总体均值为3中位数为4”此时M＝9，所以N＜M．
②当N＝6时，y1，y2，…，y7只有两种情况：
(i)有一个是6，有五个是1，有一个是3；
(ii)有一个是6，有一个是0，有两个是1，其余是2．
对于(i)共有＝42组，
对于(ii)共有＝420组，故共有462组．
21．已知椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，离心率为，长轴长为4，动点S在C上且位于x轴上方，直线AS，BS与直线l：x＝4分别交于M，N两点．
(1)求|MN|的最小值；
(2)当|MN|最小时，在椭圆C上可以找出点T使△TSB的面积为，试确定点T的个数．
【考点】圆锥曲线：椭圆中弦长的最值问题、直线与椭圆的位置关系中面积与交点问题
【解析】
(1)∵，．所以椭圆方程为．
设直线AS的斜率为k(k＞0)，则直线AS的直线方程为y＝k(x＋2)，
则由联立，解得M(4，6k)，
设S(x1，y1)，A(x2，y2)，
由
，
∴，
∵，∴直线SB的直线方程为：，
∴当x＝4时，，
，当且仅当k＝(k＞0)时取到等号．
(2)当k时，则．
∵．
∴点T为平行于SB且与SB距离为的直线m与椭圆的交点，
，
则d，∴直线m存在两种情况．
由联立解得，4，
，
当时，＝－4×(＋12＋－16)＞0，
时，直线m与椭圆有两个交点．
当时，＝－4×(＋12－－16)＞0，
时，直线m与椭圆有两个交点．
综上所述，直线m与椭圆有四个交点，即点T有四个．
22．已知函数(其中a≠0，e＝2．71828．．．．．．
(1)当时，求函数f(x)的单调区间；
(2)对任意的均满足，试确定a的取值范围．
【考点】函数与导数：求不含参的单调性、由恒成立求参数取值范围
【解析】
(1)当时，，x＞0，
f′(x)＝，
∴函数f(x)的单调递减区间为(0，3)，单调递增区间为(3，＋∞)．
(2)由，得0＜a＜，
当0＜a≤时，，等价于，
令t＝，则t≥2，
设，
则，
(i)当时，，
则g，
令，
则p′(x)＝＝，
列表讨论：
x
(，1)
1
(1，＋)
p′(x)
－
0
＋
p(x)
p()
↘
极小值p(1)
↗
∴p(x)≥p(1)＝0，
，
(ii)当时，，
令，
则q′(x)＝＋1＞0，
故q(x)在上单调递增，，
由(i)得＝－p()＜－
p(1)＝0，
∴q(x)＜0，∴＝－＞0，
由(i)(ii)知对任意，t∈[2，＋∞)，g(t)≥0，
即对任意，均有，
综上所述，所求的a的取值范围是．
