1.2、集合间的基本关系
子集的概念：
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这样，上述集合A与集合B的包含关系，可以用如下图表示。
试一试：
（1）请写出集合Ａ＝{1,2,3}的所有子集；
（2）用Venn图表示集合Ａ＝{1,2,3,4,5}和集合Ｂ＝{2,3,4}；
集合相等：
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若且，则A＝B。
试一试：
（1）集合Ｃ＝{1，2，3}与集合Ｄ＝有什么关系；
（2）空集与集合Ｅ＝有什么关系。
真子集的概念：
如果集合，但存在元素，就称集合A是集合B的真子集，记作
试一试：
（1）请写出集合Ａ＝{1,2,3}的所有真子集；
（2）集合Ｆ＝与集合Ｇ＝有什么关系。
空集的概念：
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。
试一试：
用，，，，填空
（1）
， ， ，
（2）
，
例题1、（2020秋?义乌市期末）设集合A＝{m，n}，则集合A的子集个数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【解答】集合A＝{m，n}，则其子集有22＝4个，故选：C．
变式：（1）、（2021?山东模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，以下可为A的子集的是（ ）
A．{x|﹣2＜x＜3}
B．{x|0＜x＜3}
C．{0，1，2}
D．{﹣1，1，2}
【解答】A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}，∵{0，1，2}?{0，1，2}，故选：C
（2）、（2021?北京模拟）设集合P＝{x|x2＝1}，则集合P的非空真子集的个数是（ ）
A．2
B．3
C．7
D．8
【解答】∵集合P＝{x|x2＝1}＝{﹣1，1}，∴集合P的非空真子集的个数是22﹣2＝2，故选：A
例题2、（2020秋?福州期末）下列集合与集合A＝{2，3}相等的是（ ）
A．{（2，3）}
B．{（x，y）|x＝2，y＝3}
C．{x|x2﹣5x+6＝0}
D．{x∈N|x2﹣9≤0}
【解答】集合A的元素是实数，不是有序数对，从而排除选项A，B；{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}，故C正确；
{x∈N|x2﹣9≤0}＝{x∈N|﹣3≤x≤3}＝{0，1，2，3}，故D错误．故选：C．
变式：（1）、（2021?石家庄模拟）已知集合A＝{0，a+b，}，B＝{0，1﹣b，1}，（a，b∈R），若A＝B，则a+2b＝（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
【解答】∵A＝B，①当时，解得a＝b＝，∴a+2b＝1，②当时，解得，
此时A＝{0，1，0}，与互异性矛盾，综上，a+2b＝1，故选：D．
（2）、（2021?湖南模拟）已知a，b∈R，若，则a2021+b2021的值为（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣1或0
【解答】∵{a，，1}＝{a2，a+b，0}，∴b＝0，∴{a，0，1}＝{a2，a，0}，则1＝a2，
解得a＝﹣1或a＝1（舍去）．则a2021+b2021＝﹣1．故选：A．
例题3、（2019秋?武邑县校级期末）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A．{x|x+3＝3}
B．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0}
D．{x|x2﹣x+1＝0，x∈R}
【解答】根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A，x＝0；对于选项B，（0，0）是集合中的元素；对于选项C，由于x＝0成立；对于选项D，方程无解，故选：D．
变式：（1）、（2019秋?嘉祥县校级期中）下列集合中不是空集的是（ ）
A．{0}
B．{x|x＞6且x＜5}
C．{x|x2﹣2x+3＝0}
D．{x|2＜x＜﹣a2+2a+1，a∈R}
【解答】A有一个元素0，B空集，C，x2﹣2x+3＝0，△＜0，无解，空集，D，﹣a2+2a+1＝﹣（a﹣1）2+2≤2，故空集，故选：A。
（2）、（2018秋?兴庆区校级期末）下列集合中为空集的是（ ）
A．{x∈N|x2≤0} B．{x∈R|x2﹣1＝0}
C．{x∈R|x2+x+1＝0} D．{0}
【解答】{x∈N|x2≤0}＝{0}，不是空集；{x∈R|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，不是空集；{x∈R|x2+x+1＝0}，因为方程x2+x+1＝0无实数解，所以集合是空集；{0}显然不是空集．故选：C．
例题4、（2021春?开福区校级月考）已知集合A＝{x|x2+2x﹣8＞0}，B＝{x|x﹣a＞0}，若B?A，则实数a的取值范围为（ ）
A．（2，+∞）
B．[2，+∞）
C．（4，+∞）
D．[4，+∞）
【解答】集合A＝{x|x2+2x﹣8＞0}＝{x|（x+4）（x﹣2）＞0}＝{x|x＞2或x＜﹣4}，集合B＝{x|x＞a}，
由B?A，可得a≥2，故选：B．
变式：（1）、（2021?开封三模）设a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{﹣1，﹣b}，若A?B，则a﹣b＝（ ）
A．﹣1
B．﹣2
C．2
D．0
【解答】a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{﹣1，﹣b}，A?B，考试a＝﹣1，b＝﹣1,所以a﹣b＝0,故选：D．
（2）、（2021?泉州二模）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x＜a}．若A?B，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]
B．（﹣∞，2]
C．[1，+∞）
D．[2，+∞）
【解答】集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，又A?B，所以a≥2．故选：D．
1、（2021?临汾模拟）已知A＝{x|x2+6x+8≤0}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，+∞）
B．[﹣4，+∞）
C．（﹣2，+∞）
D．[﹣2，+∞）
【解答】因为A＝{x|x2+6x+8≤0}＝{x|﹣4≤x≤﹣2}，又B＝{x|x＜a}，且A?B，所以a＞﹣2．故选：C．
2、（2020秋?江苏期末）已知集合A＝{x||2x﹣1|≤2，x∈Z}，则集合A的子集个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【解答】∵A＝{x||2x﹣1|≤2，x∈Z}＝{1，0}，∴对应的子集为?，{1}，{0}，{1，0}，共4个．故选：D．
3、（2020秋?应县校级期末）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【解答】x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝﹣3；
∵函数y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；∴x≥3时，y＜0；
∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；
∴该集合的所有真子集为：?，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；
∴该集合的真子集个数为7．故选：C．
4、（2021?诸暨市模拟）已知集合满足{1，2}?A?{1，2，3}，则集合A可以是（ ）
A．{3}
B．{1，3}
C．{2，3}
D．{1，2}
【解答】∵{1，2}?A?{1，2，3}，∴A＝{1，2}或A＝{1，2，3}，故选：D．
5、（2021?开封三模）已知集合A＝{x||x﹣|＜}，B＝{x|0＜x＜a}，若A?B，则实数a的范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，1]
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）
【解答】集合＝{x|0＜x＜1}，又B＝{x|0＜x＜a}，当A?B，则有a≥1．故选：D．
6、（2021?江西模拟）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，若B?A，则B可以是（ ）
A．{x|﹣2＜x＜0}
B．{x|x＜6}
C．{x|x＞﹣1}
D．{x|0＜x＜2}
【解答】∵x2﹣5x﹣6＜0，∴﹣1＜x＜6，∴A＝{x|﹣1＜x＜6}，∵B?A，则B可以为{x|0＜x＜2}．
故选：D．
7、（2020秋?如东县期末）已知集合A＝{a2，0，﹣1}，B＝{a，b，0}，若A＝B，则（ab）2021的值为（ ）
A．0
B．﹣1
C．1
D．±1
【解答】∵集合A＝{a2，0，﹣1}，B＝{a，b，0}，A＝B，∴，∴a＝﹣1，b＝1，
∴（ab）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：B．
8、（2019秋?龙凤区校级月考）设集合A＝{x|ax2﹣ax﹣1＞0}若A为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0）
B．（﹣4，0]
C．[﹣4，0）
D．[﹣4，0]
【解答】根据题意，若集合A＝{x|ax2﹣ax﹣1＞0}为空集，则不等式ax2﹣ax﹣1＞0的解集为空集；
若a＝0，此时不等式为﹣1＞0，解集为空集，若a≠0，必有，解可得﹣4≤a＜0，
综合可得：﹣4≤a≤0，即a的取值范围为[﹣4，0]；故选：D．
9、（2019?葫芦岛二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m的取值为（ ）
A．{1}
B．{}
C．{1，﹣1}
D．{}
【解答】∵A＝{﹣2，3，1}，B＝{3，m2}，若B?A，则m2＝1∴m＝1或m＝﹣1
实数m的取值集合为{1，﹣1}故选：C．
10、（2017秋?陇西县校级期中）已知集合A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为 ．
【解答】由题意知，m＝2或m2﹣3m+2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，
经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意．故答案为：3
11、（2020秋?启东市期中）若集合{x∈N
|x2+mx＜0}恰有3个元素，则实数m的取值范围是 ．
【解答】当m＞0时，x2+mx＜0?﹣m＜x＜0，∵{x∈N
|x2+mx＜0}恰有三个元素，此时没有正根，故舍去，
当m＜0时，x2+mx＜0?0＜x＜﹣m，∵{x∈N
|x2+mx＜0}恰有三个元素，∴3＜﹣m≤4?﹣4≤m＜﹣3，
当m＝0时，x2+mx＜0?x不存在，综上可得：实数m的取值范围为：{m|﹣4≤m＜﹣3}．
12、（2020秋?浦东新区期中）集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1个元素，则实数a的取值是 ．
【解答】当a＝0时，A＝{x|4x+4＝0}＝{﹣1}满足题意当a≠0时，要集合A仅含一个元素需满足
△＝16﹣16a＝0解得a＝1故a的值为0；1故答案为：0或1
13、（2020秋?徐汇区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，集合B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0}，若B?A，则实数a的取值范围为 ．
【解答】集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，集合B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0}，B?A，解得A＝{x|1≤x≤4}，
若B≠?，△＝（﹣2a）2﹣4（a+2）＝4a2﹣4a﹣8≥0，可得a≥2或a≤﹣1；
B＝{x|a﹣≤x≤a+}，∵B?A，∴，解不等式①得，a≤，
解不等式②得，1≤a≤3，取交集得，1≤a≤，又∵△≥0，可得a≥2或a≤﹣1；可得2≤a≤
当a＝符合题意；当a＝2符合题意；∴2≤a≤
若B＝?，可得△＝（﹣2a）2﹣4（a+2）＝4a2﹣4a﹣8＜0，﹣1＜a＜2；综上可取并集得：﹣1＜a≤
14、（2019秋?凉山州期末）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来．
【解答】（1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解，故△＝9﹣8a＜0，解得a＞，
故a的取值范围为（，+∞）．
（2）若A中只有一个元素，则a＝0
或△＝9﹣8a＝0，解得a＝0
或
a＝．
当a＝0时，解ax2﹣3x+2＝0
可得
x＝．当a＝
时，解ax2﹣3x+2＝0
可得
x＝．
故A中的元素为
和
．
1、（2020秋?荆州区校级月考）已知集合A＝{x|ax2﹣3x﹣2＝0}，若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是 ．
【解答】∵集合A中至多有一个元素∴当a＝0时，A＝{x|﹣3x﹣2＝0}＝{﹣}，合题意
当a≠0时，△＝9+8a≤0解得,
总之{a|a}
2、（2019秋?石景山区期末）设非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．
（1）当a＝0时，求集合A，B；
（2）当A?B时，求实数a的取值范围．
【解答】（1）当a＝0时，A＝{x|﹣1＜x＜0}，解不等式x2﹣2x﹣8＜0得：﹣2＜x＜4，
即B＝{x|﹣2＜x＜4}，
（1）若A?B，则有：由于A≠?，有，解得：﹣1＜a≤2，a的取值范围为：（﹣1，2]．1.2、集合间的基本关系
子集的概念：
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这样，上述集合A与集合B的包含关系，可以用如下图表示。
试一试：
（1）请写出集合Ａ＝{1,2,3}的所有子集；
（2）用Venn图表示集合Ａ＝{1,2,3,4,5}和集合Ｂ＝{2,3,4}；
集合相等：
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若且，则A＝B。
试一试：
（1）集合Ｃ＝{1，2，3}与集合Ｄ＝有什么关系；
（2）空集与集合Ｅ＝有什么关系。
真子集的概念：
如果集合，但存在元素，就称集合A是集合B的真子集，记作
试一试：
（1）请写出集合Ａ＝{1,2,3}的所有真子集；
（2）集合Ｆ＝与集合Ｇ＝有什么关系。
空集的概念：
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。
试一试：
用，，，，填空
（1）
， ， ，
（2）
，
例题1、（2020秋?义乌市期末）设集合A＝{m，n}，则集合A的子集个数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
变式：（1）、（2021?山东模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，以下可为A的子集的是（ ）
A．{x|﹣2＜x＜3}
B．{x|0＜x＜3}
C．{0，1，2}
D．{﹣1，1，2}
（2）、（2021?北京模拟）设集合P＝{x|x2＝1}，则集合P的非空真子集的个数是（ ）
A．2
B．3
C．7
D．8
例题2、（2020秋?福州期末）下列集合与集合A＝{2，3}相等的是（ ）
A．{（2，3）}
B．{（x，y）|x＝2，y＝3}
C．{x|x2﹣5x+6＝0}
D．{x∈N|x2﹣9≤0}
变式：（1）、（2021?石家庄模拟）已知集合A＝{0，a+b，}，B＝{0，1﹣b，1}，（a，b∈R），若A＝B，则a+2b＝（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
（2）、（2021?湖南模拟）已知a，b∈R，若，则a2021+b2021的值为（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣1或0
例题3、（2019秋?武邑县校级期末）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A．{x|x+3＝3}
B．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0}
D．{x|x2﹣x+1＝0，x∈R}
变式：（1）、（2019秋?嘉祥县校级期中）下列集合中不是空集的是（ ）
A．{0}
B．{x|x＞6且x＜5}
C．{x|x2﹣2x+3＝0}
D．{x|2＜x＜﹣a2+2a+1，a∈R}
（2）、（2018秋?兴庆区校级期末）下列集合中为空集的是（ ）
A．{x∈N|x2≤0} B．{x∈R|x2﹣1＝0}
C．{x∈R|x2+x+1＝0} D．{0}
例题4、（2021春?开福区校级月考）已知集合A＝{x|x2+2x﹣8＞0}，B＝{x|x﹣a＞0}，若B?A，则实数a的取值范围为（ ）
A．（2，+∞）
B．[2，+∞）
C．（4，+∞）
D．[4，+∞）
变式：（1）、（2021?开封三模）设a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{﹣1，﹣b}，若A?B，则a﹣b＝（ ）
A．﹣1
B．﹣2
C．2
D．0
（2）、（2021?泉州二模）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x＜a}．若A?B，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]
B．（﹣∞，2]
C．[1，+∞）
D．[2，+∞）
1、（2021?临汾模拟）已知A＝{x|x2+6x+8≤0}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，+∞）
B．[﹣4，+∞）
C．（﹣2，+∞）
D．[﹣2，+∞）
2、（2020秋?江苏期末）已知集合A＝{x||2x﹣1|≤2，x∈Z}，则集合A的子集个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
3、（2020秋?应县校级期末）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
4、（2021?诸暨市模拟）已知集合满足{1，2}?A?{1，2，3}，则集合A可以是（ ）
A．{3}
B．{1，3}
C．{2，3}
D．{1，2}
5、（2021?开封三模）已知集合A＝{x||x﹣|＜}，B＝{x|0＜x＜a}，若A?B，则实数a的范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，1]
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）
6、（2021?江西模拟）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，若B?A，则B可以是（ ）
A．{x|﹣2＜x＜0}
B．{x|x＜6}
C．{x|x＞﹣1}
D．{x|0＜x＜2}
7、（2020秋?如东县期末）已知集合A＝{a2，0，﹣1}，B＝{a，b，0}，若A＝B，则（ab）2021的值为（ ）
A．0
B．﹣1
C．1
D．±1
8、（2019秋?龙凤区校级月考）设集合A＝{x|ax2﹣ax﹣1＞0}若A为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0）
B．（﹣4，0]
C．[﹣4，0）
D．[﹣4，0]
9、（2019?葫芦岛二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m的取值为（ ）
A．{1}
B．{}
C．{1，﹣1}
D．{}
10、（2017秋?陇西县校级期中）已知集合A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为 ．
11、（2020秋?启东市期中）若集合{x∈N
|x2+mx＜0}恰有3个元素，则实数m的取值范围是 ．
12、（2020秋?浦东新区期中）集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1个元素，则实数a的取值是 ．
13、（2020秋?徐汇区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，集合B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0}，若B?A，则实数a的取值范围为 ．
14、（2019秋?凉山州期末）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来．
1、（2020秋?荆州区校级月考）已知集合A＝{x|ax2﹣3x﹣2＝0}，若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是 ．
2、（2019秋?石景山区期末）设非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．
（1）当a＝0时，求集合A，B；
（2）当A?B时，求实数a的取值范围．
