1.4.2、充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。
例题1、（2016秋?涵江区校级期中）在集合{x|mx2+2x+1＝0}的元素中，有且仅有一个元素是负数的充要条件（ ）
A．m≤1
B．m＜0或m＝1
C．m＜1
D．m≤0或m＝1
【解答】若方程为一元一次方程
即m＝0时，解得x＝﹣，符合题目要求；
若方程为一元二次方程，即m≠0时，方程有解，△＝4﹣4a≥0，解得
m≤1，设方程两个根为
x1，x2，
x1?x2＝＜0，得到
m＜0．验证：当m＝1时
方程为
x2+2x+1＝0，解得x＝﹣1，符合题目要求．
综上所述，m≤0或m＝1．故选：D．
变式：（2020秋?河东区校级月考）设n∈N
，一元二次方程x2﹣4x+n＝0有整数根的充要条件是n＝ ．
【解答】一元二次方程x2﹣4x+n＝0有实数根的充要条件是△＝16﹣4n≥0，n∈N
，解得1≤n≤4．经过验证n＝3，4时满足条件．故答案为：3或4．
例题2、（2018秋?安宁区校级月考）已知集合A＝{1，3，2﹣m}，集合B＝{3，m2}，则“B?A”的充要条件是实数m＝ ．
【解答】若B?A，则m2＝1或m2＝2﹣m，得m＝1或m＝﹣1，或m＝﹣2，
当m＝1时，A＝{1，3，1}不成立，
当m＝﹣1时，A＝{1，3，3}不成立，
当m＝﹣2时，A＝{1，3，4}，B＝{3，4}，满足条件．
即m＝﹣2，则“B?A”的充要条件是实数m＝﹣2，故答案为：﹣2
变式：（2018秋?黄浦区校级月考）设全集U，在下列条件中，是B?A的充要条件的有（ ）
①A∪B＝A；
②?UA∩B＝?；③?UA??UB；④A∪?UB＝U
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】如下图借助Venn图，可以判断出A∪B＝A?B?A，?UA∩B＝??B?A，
?UA??UB?B?A，A∪?UB＝U?B?A，故①②③④均正确．故选：D．
例题3、（2012秋?大祥区校级期中）求证：关于x的方程ax2+bx+c＝0有一根为1的充分必要条件是a+b+c＝0．
【解答】（1）必要性，即“若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝0”．
∵x＝1是方程的根，将x＝1代入方程，得a?12+b?1+c＝0，即a+b+c＝0．
（2）充分性，即“若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的根”．
把x＝1代入方程的左边，得a?12+b?1+c＝a+b+c．∵a+b+c＝0，∴x＝1是方程的根．
综合（1）（2）知命题成立．
变式：（2013秋?城区校级期末）求证：关于x的方程x2+mx+1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2．
【解答】证（1）充分性：∵m≥2，∴△＝m2﹣4≥0，方程x2+mx+1＝0有实根，
设x2+mx+1＝0的两根为x1，x2，由韦达定理知：x1x2＝1＞0，∴x1、x2同号，
又∵x1+x2＝﹣m≤﹣2，∴x1，x2同为负根．
（2）必要性：∵x2+mx+1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1?x2＝1，
∴m﹣2＝﹣（x1+x2）﹣2＝﹣﹣2＝﹣＝﹣≥0．
∴m≥2．综上（1），（2）知命题得证．
1、（2015?重庆）“x＝1”是“x2﹣2x+1＝0”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】由x2﹣2x+1＝0，解得：x＝1，故“x＝1”是“x2﹣2x+1＝0”的充要条件，故选：A．
2、（2015?湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】A、B是两个集合，则“A∩B＝A”可得“A?B”，“A?B”，可得“A∩B＝A”．
所以A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的充要条件．故选：C．
3、（2015?湖南）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】因为x∈R，“x＞1“?“x3＞1”，所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．故选：C．
4、（2014秋?兴庆区校级期末）设集合A，B，则A?B是A∩B＝A成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】若A?B，则A的元素都是集合B的元素，∴A∩B＝A；∴A?B是A∩B＝A的充分条件；
若A∩B＝A，则A的元素都是集合B的元素，∴A?B；∴A?B是A∩B＝A的必要条件；
∴A?B是A∩B＝A成立的充要条件．故选：C．
5、（2020秋?西湖区校级月考）在下列3个结论中，正确的有（ ）
①x2＞4是x3＜﹣8的必要不充分条件；
②在△ABC中，AB2+AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【解答】对于结论①，由x3＜﹣8?x＜﹣2?x2＞4，但是x2＞4?x＞2或x＜﹣2?x3＞8或x3＜﹣8，不一定有x3＜﹣8，故①正确；
对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2+AC2＝BC2，故②错；
对于结论③，由a2+b2≠0?a，b不全为0，反之，由a，b不全为0?a2+b2≠0，故③正确．故选：C．
6、（2020秋?平和县校级期中）（多选题）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
【解答】∵中“a＝b”?“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac＝bc”?“a＝b”为假命题，
故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；
∵中“a+5是无理数”?“a是无理数”为真命题，“a是无理数”?“a+5是无理数”也为真命题，
故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
∵中“a＞b”?“a2＞b2”为假命题，“a2＞b2”?“a＞b”也为假命题，
故“a＞b”是“a2＞b2”的即充分也不必要条件，故C为假命题；
∵中{a|a＜5}?{a|a＜3}，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故D为真命题．故选：BD．
7、证明：对于任意x，y∈R，（x﹣1）（y﹣1）＝0是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0的必要不充分条件．
【解答】必要性：∵（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0且y﹣1＝0，∴（x﹣1）（y﹣1）＝0，
即（x﹣1）（y﹣1）＝0是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0的必要条件．
充分性：∵（x﹣1）（y﹣1）＝0，∴x﹣1＝0，y﹣1≠0或x﹣1≠0，y﹣1＝0或x﹣1＝0，y﹣1＝0，
故不一定能得到（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0，即充分性不成立．
综上所述，对于任意x，y∈R，（x﹣1）（y﹣1）＝0是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0的必要不充分条件．
8、若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a+b＝0；③ab＞0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．
（1）a，b都为0的必要条件是
；使a，b都不为0的充分条件是
．
（2）是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x＞2或x＜﹣1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】（1）①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0，
②a+b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负，
③由ab＞0知a与b同号，即a，b都不为0，综上可知，“a，b都为0”能推出①②，
③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③．
故答案为（i）①②；（ii）③．
（2）记A＝{x|x＞2或x＜﹣1}，由4x+p＜0，得x＜﹣，记B＝{x|x＜}，由题意得B?A，
则﹣≤﹣1，即p≥4，此时x＜﹣≤﹣1?x＞2或x＜﹣1，
故当p≥4时，“4x+p＜0”是“x＞2或x＜﹣1”的充分条件．故p的取值范围是[4，+∞）．
9、（2019秋?来宾期末）设p：x＞a，q：x＞3．
（1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；
（3）若a是方程x2﹣6x+9＝0的根，判断p是q的什么条件．
【解答】设A＝{x|x＞a}，B＝{x|x＞3}，
（1）∵p是q的必要不充分条件，∴B?A，∴a＜3；
（2）∵p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴a＞3；
（3）a是方程x2﹣6x+9＝0的根，即a2﹣6a+9＝0，解得a＝3，∴p?q，p是q的充要条件．
10、求方程x2+kx+1＝0与x2+x+k＝0有一个公共实根的充要条件．
【解答】方程x2+kx+1＝0与x2+x+k＝0有一个公共实根，
即有且只有一组解，?，??，
所以两方程有一个公共实根的充要条件为k＝﹣2．
11、求证：函数y＝x2﹣2x﹣a与x轴没有交点的充要条件是a＜﹣1．
【解答】当a＜﹣1时，判别式△＝4+4a＜0，即y＝x2﹣2x﹣a与x轴没有交点，充分性成立，
若y＝x2﹣2x﹣a与x轴没有交点，则判别式△＝4+4a＜0，得a＜﹣1，即必要性成立，
即函数y＝x2﹣2x﹣a与x轴没有交点的充要条件是a＜﹣1．
12、求关于x的方程m2x2﹣（m+1）x+2＝0的实数根的总和为2的充要条件．
【解答】当m＝0时，方程为﹣x+2＝0，解得：x＝2，当m≠0时，方程为一元二次方程，
设x1，x2是方程的解，则x1+x2＝，若x1+x2＝2，解方程＝2，解得：m＝﹣或1，
当m＝﹣或1时，△＜0，即当m＝﹣或1时，方程无解，故m＝0时符合题意，
所以关于x的方程m2x2﹣（m+1）x+2＝0的实数根的总和为2的充要条件为m＝0．
13、下列各题中，p是q的什么条件？
（1）p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
（2）p：x＝1或x＝2，q：x﹣1＝；
（3）p：m＜﹣1，q：x2﹣x﹣m＝0无实根．
【解答】（1）∵四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形?四边形的对角线相等，
∴p是q的必要条件．
（2）由x﹣1＝，x﹣1≥0，化为：（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得x＝1或x＝2，
∴x＝1或x＝2?x﹣1＝，∴p是q的充要条件．
（3）若方程x2﹣x﹣m＝0无实根，则△＝1+4m＜0，即m＜﹣．∵m＜﹣1?m＜﹣，
而m＜﹣推不出m＜﹣1，∴p是q的充分条件．
14、判断下列各题中，p是q的什么条件．
（1）p：|x|＝|y|，q：x＝y；
（2）p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
（3）p：x＝1或x＝2，q：．
（4）p：A∩B＝A，q：?UB??UA．
【解答】（1）由|x|＝|y|，得x＝y或x＝﹣y，即p是q的必要不充分条件．
（2）△ABC是直角三角形，则不一定是等腰三角形，
反之若：△ABC是等腰三角形，则不一定是直角三角形，即p是q的既不充分也不必要条件．
（3）由得，即x﹣1＝0或x﹣1＝1，得x＝1或x＝2，即p是q的充要条件．
（4）p：A∩B＝A，则A是B的子集；q：?UB??UA，观察图象可以看出，
p能推出q，q也能推出p，所以p是q的充要条件，即既充分又必要条件．
1、下列各题中，p是q的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）？
（1）p：∠C＝90°，q：△ABC直角三角形．
（2）p：a，b至少有一个不为零，q：a2+b2＞0．
（3）p：a+1＞b，q：a＞b
（4）p：﹣5x2ym与xny是同类项，q：m+n＝3．
【解答】（1）p：∠C＝90°?q：△ABC直角三角形．反之不成立，因为∠A，∠B都有可能为直角．∴p是q的充分不必要条件．
（2）p：a，b至少有一个不为零?q：a2+b2＞0．∴p是q的充要条件．
（3）由q?p，反之不成立，∴p是q的必要不充分条件．
（4）p：﹣5x2ym与xny是同类项?n＝2，m＝1?q：m+n＝3．反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．
2、求关于x的方程ax2+x+1＝0至少有一个负实根的充要条件．
【解答】①a＝0?x＝﹣1适合．
②a≠0时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，则必有?0＜a≤．
综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤．
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2+x+1＝0至少有一负的实根的充要条件是：a≤．1.4.2、充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。
例题1、（2016秋?涵江区校级期中）在集合{x|mx2+2x+1＝0}的元素中，有且仅有一个元素是负数的充要条件（ ）
A．m≤1
B．m＜0或m＝1
C．m＜1
D．m≤0或m＝1
变式：（2020秋?河东区校级月考）设n∈N
，一元二次方程x2﹣4x+n＝0有整数根的充要条件是n＝ ．
例题2、（2018秋?安宁区校级月考）已知集合A＝{1，3，2﹣m}，集合B＝{3，m2}，则“B?A”的充要条件是实数m＝ ．
变式：（2018秋?黄浦区校级月考）设全集U，在下列条件中，是B?A的充要条件的有（ ）
①A∪B＝A；
②?UA∩B＝?；③?UA??UB；④A∪?UB＝U
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例题3、（2012秋?大祥区校级期中）求证：关于x的方程ax2+bx+c＝0有一根为1的充分必要条件是a+b+c＝0．
变式：（2013秋?城区校级期末）求证：关于x的方程x2+mx+1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2．
1、（2015?重庆）“x＝1”是“x2﹣2x+1＝0”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2、（2015?湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3、（2015?湖南）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4、（2014秋?兴庆区校级期末）设集合A，B，则A?B是A∩B＝A成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5、（2020秋?西湖区校级月考）在下列3个结论中，正确的有（ ）
①x2＞4是x3＜﹣8的必要不充分条件；
②在△ABC中，AB2+AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
6、（2020秋?平和县校级期中）（多选题）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
7、证明：对于任意x，y∈R，（x﹣1）（y﹣1）＝0是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0的必要不充分条件．
8、若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a+b＝0；③ab＞0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．
（1）a，b都为0的必要条件是
；使a，b都不为0的充分条件是
．
（2）是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x＞2或x＜﹣1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由．
9、（2019秋?来宾期末）设p：x＞a，q：x＞3．
（1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；
（3）若a是方程x2﹣6x+9＝0的根，判断p是q的什么条件．
10、求方程x2+kx+1＝0与x2+x+k＝0有一个公共实根的充要条件．
11、求证：函数y＝x2﹣2x﹣a与x轴没有交点的充要条件是a＜﹣1．
12、求关于x的方程m2x2﹣（m+1）x+2＝0的实数根的总和为2的充要条件．
13、下列各题中，p是q的什么条件？
（1）p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
（2）p：x＝1或x＝2，q：x﹣1＝；
（3）p：m＜﹣1，q：x2﹣x﹣m＝0无实根．
14、判断下列各题中，p是q的什么条件．
（1）p：|x|＝|y|，q：x＝y；
（2）p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
（3）p：x＝1或x＝2，q：．
（4）p：A∩B＝A，q：?UB??UA．
1、下列各题中，p是q的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）？
（1）p：∠C＝90°，q：△ABC直角三角形．
（2）p：a，b至少有一个不为零，q：a2+b2＞0．
（3）p：a+1＞b，q：a＞b
（4）p：﹣5x2ym与xny是同类项，q：m+n＝3．
2、求关于x的方程ax2+x+1＝0至少有一个负实根的充要条件．
