1.5.1、全称量词与存在量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，...表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：
例题1、（2015秋?三明校级月考）下列命题中，不是全称命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
【解答】A中含有全称量词“任何一个”．B中含有全称量词“都”．
C中含有全称量词“每一个”．D中含有特称量词“存在”，是特称命题，不是全称命题．故选：D．
变式：下列语句不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一（1）班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
【解答】A，B，D都是全称命题，C不是命题，故选：C．
例题2、（2020秋?苍南县校级月考）下列命题中，存在量词命题的个数是（ ）
①有些自然数是偶数；
②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；
对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；
对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；
对于（4），对于任意x∈R，总有，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．
所以存在量词命题的序号是（1），有1个．故选：B．
变式：（2017春?历城区校级期末）下列命题中是存在性命题的是（ ）
A．?x∈R，x2＞0
B．?x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行
D．矩形的任一组对边相等
【解答】A含有全称量词?，为全称命题，
B含有特称命题?，为存在性命题，满足条件．
C含有隐含有全称量词所有，为全称命题，
D含有隐含有全称量词所有，为全称命题，故选：B．
例题3、用符号“?”（“?”表示“任意”）或“?”（“?”表示“存在”）表示下面的命题，并判断真假：
（1）实数的平方大于或等于0；
（2）存在一对实数（x，y），使2x﹣y+1＜0成立；
（3）勾股定理．
【解答】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”．改写后命题为：?x∈R，x2≥0，它是真命题；
（2）改写后命题为：?（x，y），x∈R，y∈R，2x﹣y+1＜0，它是真命题．如x＝0，y＝2时，2x﹣y+1＝0﹣2+1＝﹣1＜0成立．
（3）这是全称量词命题，所有的直角三角形都满足勾股定理．改写后命题为：?Rt△ABC，a，b为直角边长，c为斜边长，a2+b2＝c2，它是真命题．
变式：用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
（1）所有实数x都能使x2+x+1＞0成立；
（2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解；
（3）一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立；
（4）所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数．
【解答】对于（1），所有实数x都能使x2+x+1＞0成立，改写为：?x∈R，x2+x+1＞0，
因为△＝1﹣4＝﹣3＜0，所以x2+x+1＞0，（1）是真命题；
对于（2），对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解，改写为：?a，b∈R，ax+b＝0恰有一个解，
因为a＝0，b≠0时，方程ax+b＝0无解，所以（2）是假命题；
对于（3），一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立，改写为：?x，y∈Z，3x﹣2y＝10，
因为x＝4，y＝1时，3×4﹣2×1＝10，所以（3）是真命题；
对于（4），所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数，改写为：?x∈Q，x2+x+1是有理数，
因为、、1和x都是有理数，所以x2+x+1是有理数，（4）是真命题．
1、（2018春?福清市期中）将a2+b2+2ab＝（a+b）2改写成全称命题是（ ）
A．?a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
B．?a＜0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
C．?a＞0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
D．?a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
【解答】命题对应的全称命题为：?a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2故选：D．
2、下列命题不是“?x∈R，x2＞3”的表述方法的是（ ）
A．有一个x∈R，使得x2＞3成立
B．对有些x∈R，x2＞3成立
C．任选一个x∈R，都有x2＞3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3成立
【解答】∵“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“?x”表示“存在x”．∴与“?x∈R，x2＞3”的表述方法不同的是：任选一个x∈R，使得x2＞3．故选：C．
3、（2012秋?泗水县校级期末）将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．?x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
B．?x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
C．?x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy
D．?x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy
【解答】由于对于任意实数x，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为：“?x，y∈R，都有x2+y2≥2xy”．故选：A．
4、（2020秋?清江浦区校级月考）以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
【解答】A．锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题．
B．为特称命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．
C．因为，所以C为假命题．
D．对于任何一个负数x，都有＜0，所以D错误．故选：B．
5、下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ）
A．至少有一个x∈Z，使得x2＜3成立
B．对任意a，b∈R，都有a2+b2≥2（a+b﹣1）
C．?x∈R，＝x
D．菱形的两条对角线长度相等
【解答】对于A，因为02＜3，0∈Z，所以至少有一个x∈Z，
使得x2＜3是真命题，但不是全称量词命题；
对于B，因为（a2+b2）﹣2（a+b﹣1）＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，
所以对任意a，b∈R，都有a2+b2≥2（a+b﹣1）是真命题，也是全称量词命题；
对于C，因为x≥0，＝x，所以?x∈R，＝x是真命题，但不是全称量词命题；
对于D，并不是所有的菱形对角线都相等，所以该命题是假命题．故选：B．
6、下列命题，其中全称量词命题的个数是（ ）
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何一个数除以0，都等于0．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】对于①，中国公民都有受教育的权利是“所有的中国公民都有受教育的权利”，是全称量词命题；
对于②，每一个中学生都要接受爱国主义教育，含有全称量词“每一个”，是全称量词命题；
对于③，有人既能写小说，也能搞发明创造是“有些人人既能写小说，也能搞发明创造”，是存在量词命题；
对于④，任何一个数除以0，都等于0，含有存在量词命题“任何一个”，是全称量词命题．
所以全称量词命题的序号是①②④，有3个．故选：C．
7、下列命题是存在量词命题的是（ ）
A．一次函数都是单调函数
B．对任意x∈R，x2+x+1＜0
C．存在实数大于或者等于3
D．菱形的对角线互相垂直
【解答】对于A：每一个一次函数都是单调函数；是全称命题；
对于B：任意x∈R，x2+x+1＜0；是特称命题；
对于C：存在实数于或者等于3；是特称命题；
对于D：菱形的对角线互相垂直，是全称命题．故选：C．
8、给出下列命题：
①存在实数x0＞1，使x02＞1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2﹣ax+1＝0的根为负数．
其中存在量词命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】①存在实数x0＞1，使x02＞1，是含有存在量词的命题；
②全等的三角形必相似，是含有全称量词的命题；
③有些相似三角形全等；是含有存在量词的命题；
④至少有一个实数a，使ax2﹣ax+1＝0的根为负数．是含有存在量词的命题；故选：C．
9、下列命题为特称命题的是（ ）
A．奇函数的图象关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2﹣2x﹣3≥0
【解答】A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；
D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选：D．
10、下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是（ ）
A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，x2＝x
D．一次函数在定义域上是单调函数
【解答】A中含有全称量词“任意的”，因为a2+b2﹣2a﹣2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以是假命题；
B，D中在叙述上没有全称量词，但实际是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，
C是存在量词命题．故选：D．
11、（2020秋?娄星区校级期中）（多选题）下列命题的否定中，是全称量词且为真命题的有（ ）
A．?x∈R，
B．所有的正方形都是矩形
C．?x∈R，x2+2x+2≤0
D．至少有一个实数x，使x3+1＝0
【解答】∵B是全称命题，其否定为特称命题，故排除，
A是特称命题，其否定为：?x∈R，≥0，即（x﹣）2≥0为真命题，
C是特称命题，其否定为：?x∈R，x2+2x+2＞0，即（x+1）2+1＞0为真命题，
D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有x3+1≠0，﹣1代入不成立，为假命题，故选：AC．
12、（多选题）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．中国公民都有受教育的权利
B．每一个中学生都要接受爱国主义教育
C．有人既能写小说，也能搞发明创造
D．任何一个数除0，都等于0
【解答】A，中国公民都有指每个公民都有，是全称量词，是全称命题，
B，每一个是全称量词，是全称命题，
C，有些是存在性量词，是特称命题，
D，任何一个是全称量词，是全称命题，故选：ABD．
13、（多选题）下列命题中是全称量词命题的是（ ）
A．任意一个自然数都是正整数
B．所有的素数都是奇数
C．有的菱形也是正方形
D．三角形的内角和是180°
【解答】A：任意一个是全称量词，∴是全称命题．
B：所有是全称量词，∴是全称命题．
C：有的是存在量词，∴是特称命题．
D：三角形的内角和是180°，是指所有的三角形的内角和为180°，∴是全称命题．故选：ABD．
14、（2017春?颍泉区校级月考）用符号“?”与“?”表示含有量词的命题：
（1）实数的平方大于等于0
（2）存在一对实数，使2x+3y+3＞0成立 ．
【解答】（1）实数的平方大于等于0
可表示为：?x∈R，x2≥0，
（2）存在一对实数，使2x+3y+3＞0成立可表示为：?x∈R，使2x+3y+3＞0，
故答案为：?x∈R，x2≥0，?x∈R，使2x+3y+3＞0
15、（2017春?历城区校级月考）命题“存在实数x，y，使得x+y＞1”是 ．（填全称命题或特称命题），用符号表示 ．
【解答】命题“存在实数x，y，使得x+y＞1”是特称命题，用符号表示为：“?x，y∈R，x+y＞1”，
故答案为：特称命题，?x，y∈R，x+y＞1．
16、命题“末位是0的整数可以被5整除” 全称命题．（填“是”或“不是”）
【解答】末位是0的整数指的是，所有末位是0的整数，即省略全称量词的全称命题．故答案为：是．
17、下列命题：
①有的质数是偶数；
②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；
③有的三角形三个内角成等差数列；
④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
其中是全称命题的为 ，是特称命题的为 ．（填序号）
【解答】根据含有全称特称量词的命题的定义①②③④命题中，
全称命题为②④，特称命题为①③，
故答案为：全称命题的为：②④，是特称命题的为：①③，
18、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
（1）存在x，使得x﹣2≤0；
（2）矩形的对角线互相垂直平分；
（3）三角形的两边之和大于第三边；
（4）有些质数是奇数．
【解答】（1）命题：“存在x，使得x﹣2≤0”是存在量词命题，如x＝2时，x﹣2＝0成立，它是真命题；
（2）命题：“矩形的对角线互相垂直平分”是全称量词命题，
因为邻边不相等的矩形对角线不互相垂直，所以它是假命题；
（3）命题：“三角形的两边之和大于第三边”是全称量词命题，
因为任意三角形中都有两边之和大于第三边，所以它是真命题；
（4）命题：“有些质数是奇数”是存在量词命题，
因为3是质数，是也是奇数，所以它是真命题．
19、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；
（2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
（3）?x∈R，（x+1）2≥0；
（4）?x∈R，x2＜2．
【解答】（1）命题中含有全称量词“任何一个”，故是全称量词命题．
（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题．
（3）命题中含有全称量词“?”，是全称量词命题．
（4）命题中含有存在量词“?”，是存在量词命题．
1、下列命题中，是全称量词命题的有 ，是存在量词命题的有 ．（填序号）
①正方形的四条边相等；
②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数；
⑤所有正数都是实数吗？
【解答】④含有特称量词，至少有一个，为存在量词命题，
①②③含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题，
而⑤不是命题．故答案为：①②③，④．
2、判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，并判断其真假．
（1）存在一个三角形，其内角和不等于180°．
（2）对所有的实数a，b，方程ax+b＝0都有唯一解．
（3）存在实数x，使得＝2．
【解答】对于（1），存在一个三角形，其内角和不等于180°，是存在量词命题，是假命题．
对于（2），当a＝0，b＝0时，方程ax+b＝0有无数解，
当a＝0，b≠0时，方程ax+b＝0无解，所以（2）中命题是全称量词命题，也是假命题；
对于（3），因为＝2，所以2x2﹣2x+1＝0，△＝4﹣4×2×1＝﹣4＜0，
所以不存在实数x，使得＝2，所以（3）中命题是存在量词命题，也是假命题．1.5.1、全称量词与存在量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，...表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：
例题1、（2015秋?三明校级月考）下列命题中，不是全称命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
变式：下列语句不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一（1）班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
例题2、（2020秋?苍南县校级月考）下列命题中，存在量词命题的个数是（ ）
①有些自然数是偶数；
②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有．
A．0
B．1
C．2
D．3
变式：（2017春?历城区校级期末）下列命题中是存在性命题的是（ ）
A．?x∈R，x2＞0
B．?x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行
D．矩形的任一组对边相等
例题3、用符号“?”（“?”表示“任意”）或“?”（“?”表示“存在”）表示下面的命题，并判断真假：
（1）实数的平方大于或等于0；
（2）存在一对实数（x，y），使2x﹣y+1＜0成立；
（3）勾股定理．
变式：用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
（1）所有实数x都能使x2+x+1＞0成立；
（2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解；
（3）一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立；
（4）所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数．
1、（2018春?福清市期中）将a2+b2+2ab＝（a+b）2改写成全称命题是（ ）
A．?a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
B．?a＜0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
C．?a＞0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
D．?a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
2、下列命题不是“?x∈R，x2＞3”的表述方法的是（ ）
A．有一个x∈R，使得x2＞3成立
B．对有些x∈R，x2＞3成立
C．任选一个x∈R，都有x2＞3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3成立
3、（2012秋?泗水县校级期末）将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．?x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
B．?x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
C．?x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy
D．?x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy
4、（2020秋?清江浦区校级月考）以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
5、下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ）
A．至少有一个x∈Z，使得x2＜3成立
B．对任意a，b∈R，都有a2+b2≥2（a+b﹣1）
C．?x∈R，＝x
D．菱形的两条对角线长度相等
6、下列命题，其中全称量词命题的个数是（ ）
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何一个数除以0，都等于0．
A．1
B．2
C．3
D．4
7、下列命题是存在量词命题的是（ ）
A．一次函数都是单调函数
B．对任意x∈R，x2+x+1＜0
C．存在实数大于或者等于3
D．菱形的对角线互相垂直
8、给出下列命题：
①存在实数x0＞1，使x02＞1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2﹣ax+1＝0的根为负数．
其中存在量词命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9、下列命题为特称命题的是（ ）
A．奇函数的图象关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2﹣2x﹣3≥0
10、下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是（ ）
A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，x2＝x
D．一次函数在定义域上是单调函数
11、（2020秋?娄星区校级期中）（多选题）下列命题的否定中，是全称量词且为真命题的有（ ）
A．?x∈R，
B．所有的正方形都是矩形
C．?x∈R，x2+2x+2≤0
D．至少有一个实数x，使x3+1＝0
12、（多选题）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．中国公民都有受教育的权利
B．每一个中学生都要接受爱国主义教育
C．有人既能写小说，也能搞发明创造
D．任何一个数除0，都等于0
13、（多选题）下列命题中是全称量词命题的是（ ）
A．任意一个自然数都是正整数
B．所有的素数都是奇数
C．有的菱形也是正方形
D．三角形的内角和是180°
14、（2017春?颍泉区校级月考）用符号“?”与“?”表示含有量词的命题：
（1）实数的平方大于等于0
（2）存在一对实数，使2x+3y+3＞0成立 ．
15、（2017春?历城区校级月考）命题“存在实数x，y，使得x+y＞1”是 ．（填全称命题或特称命题），用符号表示 ．
16、命题“末位是0的整数可以被5整除” 全称命题．（填“是”或“不是”）
17、下列命题：
①有的质数是偶数；
②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；
③有的三角形三个内角成等差数列；
④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
其中是全称命题的为 ，是特称命题的为 ．（填序号）
18、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
（1）存在x，使得x﹣2≤0；
（2）矩形的对角线互相垂直平分；
（3）三角形的两边之和大于第三边；
（4）有些质数是奇数．
19、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；
（2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
（3）?x∈R，（x+1）2≥0；
（4）?x∈R，x2＜2．
1、下列命题中，是全称量词命题的有 ，是存在量词命题的有 ．（填序号）
①正方形的四条边相等；
②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数；
⑤所有正数都是实数吗？
2、判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，并判断其真假．
（1）存在一个三角形，其内角和不等于180°．
（2）对所有的实数a，b，方程ax+b＝0都有唯一解．
（3）存在实数x，使得＝2．
