4.7.1 相似三角形性质 教学设计

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第四章
图形的相似
4.7
相似三角形的性质（1）
一、学生知识状况分析
学生在之前已经学习了全等图形判定和性质，对全等三角形的对应边相等已经非常熟悉.
在本章又学习了相似图形的判定条件，对相似图形，特别是相似三角形已有定的认识，对相似三角形的对应边成比例已经非常了解.
通过前面的学习，学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究.
例如，利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题，感受到了数学的实际价值，利用相似三角形的性质的解决问题的活动经验.
本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质，九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，具有了一定的学习经验，学生间相互评价、相互提问的积极性高，因此，参与有关性质的实践探究活动的热情应该是比较高的.
二、教学任务分析
判定和性质是研究几何图形的两个重要方面，如以前学习的
“平行线的判定和性质”，“等腰三角形的判定和性质”，“全等三角形的判定和性质”
等.
前面已经研究了相似三角形的判定，接下来要对性质进行研究，水到渠成.与全等三角形一样，相似三角形的性质就是研究三角形中的几何量之间的关系.
根据相似三角形的定义，相似三角形的对应角相等、对应边成比例，除此之外，对相似三角形中还有其他重要的几何量，如对应高、对应中线、对应角平分线的比进行探究，推广得到对应线段的比等于相似比.基于以上分析，确定本节课的学习目标为：
1、经历探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系的过程，知道相似三角形的性质.
2、能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.
3、在探索过程中体会类比思想、由特殊到一般的数学思想.
学习重点：探究
“相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比”
这个性质及其应用.
学习难点：相似三角形的性质的探索及应用.
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：温故知新，提出问题，引入新课；第二环节：探究相似三角形对应高的比；第三环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比；第四环节：学以致用（相似三角形性质的应用）；第五环节：课堂小结（初步升华所学内容）；第六环节：布置作业.
第一环节：温故知新，提出问题，引入新课，呈现目标
在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，那什么样的两个三角形相似呢？相似三角形的对应角，对应边有何关系？在三角形中，除了三条边长外，还有哪些重要的线段？在全等三角形中，这些对应线段有什么关系呢？我们知道：全等是相似的特殊情形，那相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线之间有何关系呢？这将是本节课我们将要研究的相似三角形的其他性质.
第二环节：探究相似三角形对应高的比
内容：探究活动一：（投影片）
如图，在方格纸中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为1:2.
若AD，A′D′为对应高，AE，A′E′为对应中线，AF，A′F′为对应角平分线，则AD:A′D′=
;
AE:A′E′=
;
AF:A′F′=
.你是怎么知道的？
如图，△ABC∽△A′B′C′，如果相似比是k，其中AD、A'D′分别是BC、B′C′边上的高，AD与A'D′之比等于k吗？请说明理由.
目的：通过学生熟悉的方格纸，可以通过计算，感知对应中线、对应高线之比等于相似比，猜测对应角平分线之比等于相似比，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究.
使学生明确相似比与对应高的比的关系.
效果：通过层层设问，引导学生剥开问题的表面看到了相似三角形的性质：对应高的比等于相似比.
第三环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比
过渡语：
刚才我们利用相似的判定与基本性质得到了相似三角形中对应高的比等于相似比，那么相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比也是k吗？下面让我们一起探究：
内容：探究活动二：（投影片）
如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′;
E、E′分别为BC、B′C′的中点.
试探究AD:A′D′的比值关系，AE:A′E′呢？
要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论，上台展示.
小结：由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
目的：通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力，与归纳总结能力.
效果：学生通过合作探究，可以发现相似三角形中对应角平分线、对应中线的比等于相似比.
内容：探究活动三：（投影片）
过渡语：如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线，对应边的三等分线，那么它们比还是k吗？下面请同学们思考以下问题：
思考：（1）如果BE:BC=1:3，B′E′:B′C′=1:3，还有上述关系吗？
（2）若∠BAE:∠BAC=1:3，∠B′A′E′:∠B′A′C′=1:3呢？
（3）对应角或对应边的三等分线、四等分线、…n等分线呢？你能得到哪些结论？
（3）相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比.
目的：有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成
“变式问题”
的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质.
效果：学生能够很顺利地完成探究活动，并能够通过类比的思想总结出相关结论.
巩固练习：相似三角形的性质的直接应用.
第四环节：学以致用（相似三角形的性质的应用）
内容：课本例题
如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR=BC时，求DE的长.
如果SR=BC呢？
拓展练习：如图，AM是△ABC的高，点E在AC边上，点D在AB边上，点F，G在BC边上，BC=60
cm，AM=40
cm.
若四边形DEFG是正方形，求正方形DEFG的边长.
目的：要求学生能用相似三角形对应高的比等于相似比的性质来解决生活与生产中的实际问题.
增强学生的应用意识.练习也是例题的拓展.
效果：学生能够运用前面所学解决问题，培养学生能发现问题，能够利用相似三角形相关性质解决问题的能力.
第五环节：课堂小结（初步升华所学内容），反馈检测
内容：师生互相交流相似三角形的性质定理及拓展结论，在方法上的收获.
目的：本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
能够总结出运用类比、由特殊到一般的数学思想方法解决问题.
效果：
学生畅所欲言自己切身的感受和实际收获，会利用相似三角形的性质解决实际问题，使学生充分感受：我们周围无处没有数学，数学就在我们身边！
反馈检测：1.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（
）
A.1：2
B.1：4
C.1：8
D.1：16
2.已知两个相似三角形的对应角平分线的比为2：3，其中一个三角形的最大边长为6，那么另一个三角形的最大边长为
.
3.如图，AM是△ABC的高，点E在AC边上，点D在AB边上，点F，G在BC边上，BC=60
cm，AM=40
cm.
如果DE:DG=2:1，求DE的长.
第六环节：布置作业
习题P108，第2、3、4题
课外探究题：一块直角三角形木块的面积为1.5
m2，直角边AB长1.5
m，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示，你能用所学的知识说明谁的加工方法更符合要求吗？（加工损耗忽略不计）
学法指导
相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索相似图形的一些重要性质的过程，不仅可以是学生更好地认识、描述物体的形状，体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用，而且也可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生应用数学的意识和合作交流的能力.
因此教学中注意让学生充分经历从具体到抽象，再由抽象上升到具体的学习过程，逐步综合运用以前所学过的研究图形性质的各种方法，逐步加强逻辑推理能力，在教学中，教师要引导学生充分挖掘和利用相似图形中的共同规律，培养学生从图形的角度分析现实问题、提出相关的数学问题并加以适当解决的自觉意识和能力.
教师要有意识地体现从直觉发现到自觉说理的过渡，逐步提高逻辑推理要求.
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精品试卷·第
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