2.2 用配方法求解一元二次方程 教学设计

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2.2
用配方法求解一元二次方程
一、目标设计依据
1、课程标准要求
《数学课程标准》中要求：理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程.
2、教材分析
1.本节是北师大版九年级数学上册第二章第二节第一课时的内容，学习配方法的探究过程、步骤和应用.
2.对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，他又是公式法的基础，同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础.
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位.
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过的一元二次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等知识加以巩固.
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升.
我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法.
解一元二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程，这就是降次.
3.学情分析
1.知识掌握上，九年级学生学方根的意义.
即如果x2=a，那么x=；他们还学习了完全平方式x2+2xy+y2=(x+y)2.
这对配方法解一元二次方程奠定了基础.
2.学生学习本节的障碍.
学生对配方法怎样配系数是个难点，老师应该予以简单明白、深入浅出的分析.
3.老师必须从学生的认知结构和心理特征出发，分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲.
当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题.
而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方式、二次根式，这就为我们继续研究用配方法解一元二次方程奠定了基础.
二、学习目标
1、能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n（n≥0）方程；
2、理解配方法，能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的数学思想.
3、能用配方法解决实际问题.
三、教学重难点
重点是用配方法解一元二次方程
难点是理解配方法的探究过程
四、教学方法
引导探究法
五、教学过程
（一）复习引入，展示目标
我们学习了，一元二次方程的定义
1.什么叫一元二次方程？
2.我们前面还学过哪些方程？学习这些方程时的步骤是什么？
和以前学习的方程一样，学习定义后要学习方程的解法，这节课将共同来学习一元二次方程解法——用配方法解一元二次方程.
这节课，我们将通过下面的三个活动来完成今天的学习目标.
（二）活动一
随着我国经济发展，国家越来越富强，人民对生活要求也越来越高，比如我们买房，不但要考虑大小、位置、楼层、教育等，更要求有水有河，有绿地.
1.现在某小区有一块64
m2正方形绿地，如果设正方形绿地的边长为x
m，根据题意列方程得
.
x2=64
你能解这个方程么？你是怎么解的？
2.为了提高居民生活质量，小区决定扩大绿地面积，若把正方形绿地向外增加相同的宽度，使增加后的正方形绿地面积为100
m2，如果设增加的宽度为x
m，根据题意列方程得
.
(x+8)2=100
你能解这个方程么？你是怎么解的？
观察前面两个方程x2=64，(x+8)2=100，这两个方程在结构上什么共同特点？
可见，它们的左边是一个完全平方，右边是一个常数.
可以用(x+m)2=n（n≥0）表示.
当n≥0时，两边同时开方得：x+m=，从而将二次方程转化为一次方程（降次思想）；
当n<0时，方程无解，我们可以把这种方程称为直接开方法.
你能利用直接开方法解方程吗？
1下列方程可以用直接开方法求解吗？你是怎么做的？
（1）x2-5=0；
（2）2x2+3=1；
（3）3(x+1)2=12；
（4）x2+2x+1=4.
都能转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式.
2.它们你能用直接开方法解下面这个方程吗？
x2+6x=-5
x2+6x+9=-5+9
(x+3)2=4
左边配上一个数，使左边转化为完全平方式，从而利用直接开方法
怎样配成完全平方式？看活动二.
（三）活动二
填上适当的数，使下列等式成立：（你是怎么做的？）
（1）x2+12x+
=(x+
)2；
（2）x2-4x+
=(x-
)2；
（3）x2+8x+
=(x+
)2.
观察等式左边，它们的系数有什么特点和关系？
可见，当二次项系数为1时，可以配上一次项系数一半的平方，可以把x2+bx转化为完全平方形式.
例1：x2+8x-9=0（师生共同求解，强调过程格式）
解：移项得x2+8x=9；
方程两边都加42，得x2+8x+42=9+42；
即：(x+4)2=25
两边开平方得：x+4=±5
即：x+4=5或x+4=-5
所以：x=1或x=-9
上面解方程，通过配成完全平方式的方法解一元二次方程，称为配方法.
配方：二次项系数为1时，方程两边都加上一次项系数一半的平方
巩固练习：
解方程1.
x2-14x-8=0
2.
x2+3x=1
配方法的步骤：
1.移项：把常数项移到方程右边
2.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式
3.开方：当n≥0时，两边同时开方得x+m=
4.求解：解得x=-m
（四）活动三
例2.正方形绿地在改造中发现影响交通，根据实际情况，决定将绿地改造成面积为80
m2的矩形，且长比宽多2米，求长方形绿地的宽？
（五）课堂总结：
通过本节课学习，你有何收获？
（六）当堂检测：
1.方程x2-2x-3=0经过配方法化为(
)
A.(x+1)2=4
B.(x+1)2=16
C.(x-1)2=4
D.(x-1)2=16
2.用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0
解：移项，得x2-6x=10.
配方，得x2-6x+9=10，
即(x-3)2=10.
∴x1=+3，x2=-+3.
上面的解题过程正确吗？若不正确，请写出正确的解题过程.
（七）知识迁移（课后提升）
求代数式x2-4x+5的最小值
（八）课堂作业
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精品试卷·第
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