4.5 相似三角形判定定理的证明 教学设计

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第四章 图形的相似
第五课时 相似三角形判定定理的证明
一、学生知识状况分析
“相似三角形判定定理的证明”是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有一定的认识，并且在前一节课的学习中以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的过程. 本节主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程.
二、教学任务分析
本节共一个课时，本节是从证明相似三角形判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题1的正确性，从而学会证明的方法，为后续证明判定定理2，3打下基础.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾，导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：动手实践，推理证明；第四环节：方法选择，合理应用；第五环节：课堂小结，布置作业.
第一环节：复习回顾，导入课题
内容：在上节课中，我们通过两个三角形相似的定义，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，我们得出的结论是怎样的？您能证明它们一定成立吗？
什么叫相似三角形？
三角形相似的三个判定定理？
目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣.
效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣.
第二环节：动手操作，探求新知
证明策略；
根据已知条件——推理论证——紧扣定义.
预备知识：
平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例.
内容：命题1、两角分别相等的两个三角形相似. 如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流.
目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证.
第一步：引导学生根据文字命题画图.
第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证.
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.
求证：△ABC∽△A'B'C'.
第三步：写出证明过程.（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可. 根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A'B'C全等的三角形.）
教师可以以填空的形式进行引导.
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，
∠AED=∠C，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.
过点D作AC的平行线，交BC于点F，则
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.
.
DE=CF.
.
.
而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，
.
∠A=∠A'，∠ADE=∠B'，AD=A'B'，
△ ≌△ .
△ABC∽△A'B'C'.
通过证明，我们可以得到命题1是一个真命题，从而得出相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 现在，我们已经有两种判定三角形相似的方法.
第三环节：动手实践，推理证明
下面我们可以类比前面的证明方法，来继续证明命题2，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.能自己试试吗？
鼓励学生积极思考，模仿前面的证明过程进行证明. 可让学生板书过程，或老师在学生中寻找资源，通过投影修正过程中存在的问题.
通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明.
从而得到相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似.
第四环节：方法选择，合理应用
相似三角形的判定定理的选择：1.已知有一角相等，可选判定定理1和2；2.已知有两边对应成比例，可选判定定理2和3.
模型总结：
综合运用：
.
如图△ABC与△ADE都是等边三角形，AB=9，BD=3，求：CF.
易错题：
△ABC中，AB=8，BC=16，若经过t秒，△QBP与△ABC相似，则t= .
△ABC 中，D是AC上一点，∠1=∠2，且AE=AB，求证：AE2=ADAC.
第五环节：课堂小结，完善课堂习题.
通过本节课的学习，您学会了哪些知识和方法？哪里还有困惑？
学法指导
本节课为九年级第四章第五节内容，要求学生将已有的全等三角形的判定方法，相似三角形的定义，平行线分线段成比例等知识储备灵活运用，经历从特殊到一般，从猜想—实践—证明的过程，感受图形世界的丰富多彩，体会数学类比的思想方法，并学会选择最优方法进行问题的解决.
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