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2.2命题与证明（2）教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：6
课
题
命题的证明
课型
新授课
教学目标
1.
理解发现的结论必须通过证明才能判断为真命题；、2.
掌握证明的一般步骤和方法，知道反证法及基本思路；3.
会用数学符号语言、正确的格式证明一些简单几何题；4.
提高逻辑推理能力和数学符号语言的感知、表达能力；5.
体验数学的价值，增强学习数学的欲望和信心。
教学重点
理解证明的一般步骤；2.
学会用数学符号语言一步步地推理，证明命题的结论成立
。
教学难点
1.
理解证明的一般步骤和反证法的基本思路；2.
学习从条件出发推导出结论的推理方法，并把推理过程严谨地表达出来。
教
学
活
动
一、情景导入师：我们已经知道，对一件事情作出判断的句子叫作命题，而命题有真命题、假命题；我们也知道，判断一个命题是真命题的方法是证明，用于证明的依据有概念的定义、基本事实、定理和推论。那么如何通过推理，证明一个命题是真命题呢？二、教学新知（一）理解证明的必要性1、
实例感知做一做：.采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度。（1）如图，在纸上画一个三角形及它的三个外角。度量后，计算∠1+∠2+∠3，你发现了什么？学生通过测量、计算和交流后得出：∠1+∠2+∠3=360°。把这三个外角从纸上剪下来拼到一起，你发现了什么？教师用ppt演示拼图过程，学生回答：∠1，∠2，∠3拼成了一个周角，所以∠1+∠2+∠3=360°。
（3）教师指出：因此，观察、操作、实验是人们认识实物的重要手段，而且从中可以猜测发现一些结论。
2、
深入分析（1）提出问题：根据上面操作，我们猜测出结论：三角形的三个外角的和等于360°。这样得到的结论一定是一个真命题吗？（2）学生讨论：生1：因为度量有误差，三个外角相加的结果可能接近360°，但不能准确地得到360°；生2：剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角。生3：不同形状的三角形有无数个，我们不可能用剪拼或度量的方法一一验证。师：因此，通过观察、操作、实验，猜测出的一个结论，只能算是一个命题，但未必是真命题。要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明。（二）讲解证明的一般方法和步骤1、
讲解证明的方法（1）师：如何证明一个命题是真命题呢？（2）ppt展示：数学上证明一个命题时，通常要从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.证明的每一步都必须要有依据。（3）说明关键词：从条件出发，一步步的推理，每一步都必须要有依据。2、
讲解证明的一般步骤（1）出示问题：证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题。（2）讲解证明过程：第一步，分析命题的条件和结论，画出图形。（1）学生回答：上面这个命题的条件为三个角是三角形的三个外角，结论为这三个外角和等于360°.（2）根据条件和结论画出一个三角形和它的三个外角，并用字母标出来。如图所示：第二步，根据条件和结论，结合图形，写出已知和求证。ppt出示：已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角。求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=180°。第三步，通过分析，找出证明的途径，写出证明过程。（ppt演示）证明:
∵
∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2，∴
∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+
∠3)(等式的性质)。∵
∠1+∠2+
∠3=
180°(三角形内角和定理)，∴
∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°。（3）归纳出证明的一般步骤：
三、例题讲解例1
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC。
求证：AE∥BC。分析：由∠DAC是△ABC的外角，及∠B=∠C得出∠DAC=2∠B；
再由AE平分∠DAC得出∠DAC=2∠DAE。等量代换得∠DAE=
∠B。根据平行线的判定定理即可证AE∥BC.证明：∵
∠DAC=
∠B+∠C(三角形外角定理)，∠B=∠C，∴
∠DAC=2∠B(等式的性质)。
又
∵AE平分∠DAC(已知),∴
∠DAC=2∠DAE(角平分线的定义)。∴
∠DAE=∠B(等量代换)。∴
AE∥BC(同位角相等，两直线平行)。例2
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角。求证：∠A，
∠B，
∠C中至少有一个角大于或等于60°。分析：“至少有一个”就是可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况。如果直接证明，将很繁琐。因此，我们从另一个角度来证明。证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，即
∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜
60°，则
∠A+∠B+∠C＜180°。这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾,所以假设不正确.因此，∠A,
∠B,
∠C中至少有一个角大于或等于60°.抽象：像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明的方法称为反证法.归纳：反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归纳为：“否定结论，导出矛盾，肯定结论”。三、巩固练习1、
如图，在四边形ABCD中，AD平分∠BAC，∠1=∠2.填空完成证明，并在括号中填上推理依据。∵
AD平分∠BAC，∴
∠BAD=∠1.(
角平分线的定义
)又∵
∠1=∠2，∴
∠BAD=∠2，(
等量代换
)∴
AB∥CD
.
(
内错角相等，两直线平行
）2、
用反证法“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°”的第一步是（
）A.
假设有一个内角大于60°B.
假设有一个内角小于或等于60°C.
假设三个内角都小于60°D.
假设三个内角都小于60°或等于60°【答案】C四、课堂总结1、
证明的一般步骤是什么？教师用ppt再一次展示证明的一般步骤。2、
反证法的基本思路是什么？生：先否定结论，导出矛盾，再肯定结论”。3、
注意：证明的每一步必须要有依据。即根据每一步的条件推出的结论，都是根据定义、基本事实、定理和推论，或者等式的基本性质、等量代换等得到的。六、作业及解题指导课本第58页第1、2、3题。1、
在括号内填上理由：已知：如图，∠A+∠B
=180°.求证：∠C+∠D
=180°证明：∵∠A+∠B
=180°.（
已知
），∴
AD∥BC(
同旁内角互补，两直线平行
).∴
∠C+∠D
=180°(
两直线平行，同旁内角互补
).2、
已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.求证：
∠2=∠3，∠3+∠4=180°.
证明：∵
∠1=∠2(已知)，∴
AB∥CD(同位角相等，两直线平行)。∴
∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)，∠3+∠4=180°
(两直线平行，同旁内角互补)。3、
已知：如图，AB与CD相交于点E.求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明：
∵∠A+∠C+∠AEC=180°，∠B+∠D+∠BED=180°(三角形内角和定理).∴
∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED(等量代换).又∵
∠AEC
=∠BED(对顶角相等)，∴
∠A+∠C=∠B+∠D(等式的性质)
.
板书设计
命题的证明1、
证明的一般步骤：
2、
反证法的基本思路：否定结论，导出矛盾，再肯定结论。
课后反思
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共27张PPT)
2.2
命题与证明（3）
湘教版
八年级上
教学目标
1.
理解发现的结论必须通过证明才能判断为真命题；
2.
掌握证明的一般步骤和方法，知道反证法及基本思路；
3.
会用数学符号语言、正确的格式证明一些简单几何题；
4.
提高逻辑推理能力和数学符号语言的感知、表达能力；
5.
体验数学的价值，增强学习数学的欲望和信心。
新知导入
那么如何通过推理，证明一个命题是真命题呢？
我们已经知道，对一件事情作出判断的句子叫作命题，而命题有真命题、假命题；我们也知道，判断一个命题是真命题的方法是证明，用于证明的依据有概念的定义、基本事实、定理和推论。
新知讲解
采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”
等于多少度。
如图，在纸上画一个三角形及它的三个外角。度量后，计算∠1+∠2+∠3，你发现了什么？
1
3
2
∠1+∠2+∠3=360°.
新知讲解
把这三个外角从纸上剪下来拼到一起，你发现了什么？
1
2
3
1
2
3
∠1，∠2，∠3可拼成一个周角，所以
∠1+∠2+∠3=360°.
因此，观察、操作、实验是人们认识实物的重要手段，而且从中可以猜测发现一些结论。
新知讲解
根据上面操作，我们猜测出结论：三角形的外角和等于360°。这样得到的结论一定是一个真命题吗？
因为度量有误差，三个外角相加的结果可能接近360°，但不能准确地得到360°；而剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角。
而且不同形状的三角形有无数个，我们不可能用剪拼或度量的方法一一验证。
因此，通过观察、操作、实验，猜测出的一个结论，只能算是一个命题，但未必是真命题。要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明。
新知讲解
如何证明一个命题是真命题呢？
数学上证明一个命题时，通常要从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.证明的每一步都必须要有依据.
新知讲解
新知讲解
证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题。
第一步，分析命题的条件和结论，画出图形。
条件：三个角是三角形的三个外角
结论：这三个外角和等于360°
我们可以按以下步骤做：
新知讲解
于是我们画出一个三角形和它的三个外角，并用字母标出来。如图所示：
A
B
C
D
E
F
1
2
3
新知讲解
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
第二步，根据条件和结论，结合图形，写出已知和求证.
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=180°.
新知讲解
证明:
∵
∠BAF=∠2+∠3，
∠CBD=∠1+∠3，
∠ACE=∠1+∠2，
A
B
C
D
E
F
1
2
3
第三步，通过分析，找出证明的途径，写出证明过程.
∴
∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+
∠3)(等式的性质)
∵
∠1+∠2+
∠3=
180°(三角形内角和定理)，
∴
∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
新知讲解
说一说：证明与图形有关的命题，一般有以下步骤？
第一步
根
据
题
意
画出图形
根据命题的条件和结论
结
合
图
形
第二步
写出已知和求证
通
过
分
析
找出证明的途径
第三步
写出证明过程
例题讲解
例1
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
A
B
C
E
D
分析:
由∠DAC是△ABC的外角，及∠B=∠C得出∠DAC=2∠B；再由AE平分∠DAC得出∠DAC=2∠DAE。等量代换得∠DAE=∠B。根据平行线的判定定理即可证AE∥BC.
例题讲解
证明：∵
∠DAC=
∠B+∠C(三角形外角定理),
∠B=∠C
(已知),
∴
∠DAC=2∠B(等式的性质).
又
∵AE平分∠DAC(已知),
∴
∠DAC=2∠DAE(角平分线的定义).
∴
∠DAE=∠B(等量代换).
∴
AE
∥BC(同位角相等，两直线平行).
A
B
C
E
D
例题讲解
例2
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，
∠B，
∠C中至少有一个角大于或等于60°.
分析：“至少有一个”就是可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况。如果直接证明，将很繁琐。因此，我们从另一个角度来证明。
例题讲解
证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，
即
∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜
60°，
则
∠A+∠B+∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾,所以假设不正确.
因此，∠A,
∠B,
∠C中至少有一个角大于或等于60°.
例题讲解
像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明的方法称为反证法.
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归纳为：
“否定结论，导出矛盾，肯定结论”
巩固练习
1.
如图，在四边形ABCD中，AD平分∠BAC，∠1=∠2.
填空完成证明，并在括号中填上推理依据。
∵
AD平分∠BAC，
∴
∠BAD=∠1.(
)
又∵
∠1=∠2，
∴
∠BAD=∠2，(
)
∴
.
(
)
A
B
D
E
C
1
2
角平分线的定义
等量代换
AB∥CD
内错角相等，两直线平行
巩固练习
2.
用反证法“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°”的第一步是（
）
A.
假设有一个内角大于60°
B.
假设有一个内角小于或等于60°
C.
假设三个内角都小于60°
D.
假设三个内角都小于60°或等于60°
C
课堂总结
1.
证明的一般步骤是什么？
第一步
根
据
题
意
画出图形
根据命题的条件和结论
结
合
图
形
第二步
写出已知和求证
通
过
分
析
找出证明的途径
第三步
写出证明过程
课堂总结
2.
反证法的基本思路是什么？
“否定结论，导出矛盾，肯定结论”
3.
注意：证明的每一步必须要有依据。即根据每一步的条件推出的结论，都是根据定义、基本事实、定理和推论，或者等式的基本性质、等量代换等得到的。
作业布置
课本第85页第1、2、3题：
1.在括号内填上理由：
已知：如图，∠A+∠B
=180°.
求证：∠C+∠D
=180°，
证明：∵∠A+∠B
=180°.（
）
∴
AD∥BC(
).
A
B
C
D
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
∴∠C+∠D
=180°(
).
已知
作业布置
2.已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.
求证：
∠2=∠3，∠3+∠4=180°.
1
2
3
4
A
B
C
D
M
N
证明：∵
∠1=∠2(已知)
∴
AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，
∴
∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)，
∠3+∠4=180°
(两直线平行，同旁内角互补)。
作业布置
3.
已知：如图，AB与CD相交于点E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
A
B
C
D
E
证明：
∵∠A+∠C+∠AEC=180°，
∠B+∠D+∠BED=180°(三角形内角和定理).
∴
∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED(等量代换).
又∵
∠AEC
=∠BED(对顶角相等)，
∴
∠A+∠C=∠B+∠D(等式的性质)
.
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