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2.1三角形（3）教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：3
课
题
三角形的内角和与外角
课型
新授课
教学目标
1.
能用添加辅助线的方法推导出三角形的内角和定理；2.
认识三角形的外角，能用三角形的内角和结论推出三角形的外角结论；3.
能用三角形的内角和结论、外角结论解决有关问题；4.
了解三角形按角度分类，及直角三角形的表示方法；5.
通过自主探索、合作交流，提高逻辑思维能力。
教学重点
1.
理解并记住三角形的内角和结论、外角结论；2.
用三角形的内角和结论、外角结论解决求三角形的角的问题。
教学难点
1.
探索三角形的内角和、外角结论；2.
利用三角形的内角外角和建立方程求三角形的角；3.
识别图形中的三角形的外角与内角的关系，并利用外角结论求角。
教
学
活
动
一、情景导入
1、
回答问题：如图，点P是∠AOB的边OA上一点，过点P作直线CD∥OB，你能得到哪些角与∠AOB相等？为什么？生：∠CP0、∠APD与∠AOB相等。因为两直线平行，内错角相等，同位角相等。2、
导入：根据平行线的性质“两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，我们可以通过作已知直线的平行线，得到与已知角相等的角，来探究一些几何图形的性质或结论。例如，我们可以利用作已知直线的平行线的方法，来说明小学学过“三角形的内角和等于180°”。那么，怎样说明“三角形的内角和等于180°呢？二、教学新知（一）探究“三角形的内角和等于180°”1、
探索原理：教师用ppt展示问题：在小学，我们通过对一个三角形折叠、剪拼等操作(如下图)知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？
折叠三角形纸板，可以把
可以将∠A，∠B剪下并移至它的三个角拼成一个角。
顶点C处拼接成一个角。生：上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角。2、
说明道理：（1）启发：我们能够用作图的方法，把三角形的三个内角拼到一个顶点处吗？（2）ppt展示：我们可以过三角形的一个顶点作它的对边平行线，将与三角形的内角相等的角拼到这个顶点上。（教师出示右图）（3）证明：师：如何说明三角形的三个内角的和等于180°？请学生讲出说理思路后，教师展示说理过程。过点A作直线B′C′∥BC，则∠B′AB=∠BAB，∠C′AC=∠CAC.∵∠B′AB+∠BAC+∠C′AC=180°.∴∠BAB+∠BAC+∠CAC=180°.3、
归纳结论：三角形的内角和等于180°.4、
讲解例题
例3
在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.分析：本题已知∠A，∠C与∠B的关系，从而可设∠B为x°，则∠A，∠C的度数可分别表示为(3x)°，(x+15)°。因为三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C=180°，根据这个关系列出方程，求出x，就可求出∠A，∠B，∠C的度数.解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x+15)°，可得3x+x+
(x+15)
=180.解得
x=33.所以
3x=33，x+15=48.所以
BD=DC。答：∠A，
∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.（二）探究三角形的按角分类1、
讨论问题：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？生：三角形的内角和等于180°，如果有两个直角或两个钝角，则三个内角的和大于180°，显然是不可能的。因此一个三角形最多有一个直角或一个钝角.2、
讲解概念：三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。3、
认识图形（出示图形）：
4、
讲解直角三角形（1）直角三角形用符号“Rt”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“RtABC”.（2）在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.（3）两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。（三）探索三角形的外角1、
认识外角，讲解概念：（1）教师用ppt展示画三角形的外角的过程，学生认识
三角形的外角。（2）出示概念，看图讲解：①如图，我们把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.②像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.③对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A和∠B是与它不相邻的内角.2、
探究三角形的外角与内角的关系。（1）出示问题：如图，外角∠ACD和与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？（2）提示：我们可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论进行探讨。（3）说明道理：因为
∠ACD+
∠ACB=180°，∠A+
∠B+
∠ACB=180°，所以
∠ACD
-∠A
-∠B
=0(等量减等量，差相等).于是
∠ACD
=∠A+
∠B.（4）归纳结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三、巩固练习1、
在△ABC中，∠A=40°，
∠B∶∠C=3∶4，则△ABC中的最大的一个角的度数是（
）
A.
60°
B.
70°
C.
80°
D.
100°【答案】C【点拨】设∠B=3x°，∠C=4x°，利用∠A+∠B+∠C=
180°列方程，先求出x，再求出∠A，∠B，∠C，找出最大的角的度数即可解答。2、
如图，已知CD∥AB，∠BAE=24°，
∠FCD=50°，则∠CAD的度数是（
）
A.
24°
B.
26°
C.
30°
D.
32°【答案】B【点拨】先根据CD∥AB求出∠ADC的度数，再利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”结论，即可求出∠CAD的度数。3、
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=
48°，
则下列结论中，错误的是（
）
A.
∠BCD=48°
B.
∠ACD=∠ABC
C.
AB·CD=AC·BC
D.
∠ABC+∠ACD=90°【答案】D【点拨】利用三角形的内角和等于180°，以及三角形的面积公式可得出A、B、C正确。从而D错误。.五、课堂总结1、
关于三角形的内角和的结论是什么？生：
三角形的内角和等于180°.2、
关于三角形的外角的结论是什么？生：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.3、
按边分，三角形可以分为哪几类？生：三边不相等的三角形，等腰三角形（包含等边三角形）.4、
按角分，三角形可以分为哪几类？生：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。5、
直角三角形ABC表示为RtABC.
六、作业布置1、
课本第45页第1、2题。
2、
开拓视野：用其他作辅助线的方法说明三角形的内角和及外角的结论（见ppt课件）
板书设计
三角形的内角和与外角1、
三角形的内角和等于180°2、
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和3、
三角形按角分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
课后反思
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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2.1
三角形（3）
湘教版
八年级上
教学目标
1.
能用添加辅助线的方法推导出三角形的内角和定理；
2.
能用三角形的内角和结论推出三角形的外角结论；
3.
能用三角形的内角和结论、外角结论解决有关问题；
4.
了解三角形按角度分类，及直角三角形的表示方法；
5.
通过自主探索、合作交流，提高逻辑思维能力。
如图，点P是∠AOB的边OA上一点，过点P作直线CD∥OB，你能得到哪些角与∠AOB相等？为什么？
A
O
B
P
C
D
说一说
情景导入
∠CPO、∠APD与∠AOB相等。因为两直线平行，内错角相等，同位角相等。
根据平行线的性质“两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，我们可以通过作已知直线的平行线，得到与已知角相等的角，来探究一些几何图形的性质或结论。例如，我们可以利用作已知直线的平行线的方法，来说明小学学过“三角形的内角和等于180°”。
情景导入
那么，怎样说明“三角形的内角和等于180°呢？
温故知新
在小学，我们通过对一个三角形折叠、剪拼等操作(如下图)知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？
A
B
C
折叠
剪拼
折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.
将∠A，∠B剪下来移到顶点C处拼接成一个角.
A
B
C
上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角。
温故知新
由此我们受到启发：
我们可以过三角形的一个顶点作它的对边平行线，将与三角形的内角相等的角拼到这个顶点上，证明三角形的三个内角的和等于180°.
温故知新
我们可以这样说明道理：
过点A作直线B′C′∥BC，则
A
B
C
B′
C′
∠B′AB=∠BAB，∠C′AC=∠CAC.
∵∠B′AB+∠BAC+∠C′AC=180°.
∴∠BAB+∠BAC+∠CAC=180°.
由此得到：
三角形的内角和等于180°
新知讲解
例题讲解
例3
在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
分析：本题已知∠A，∠C与∠B的关系，从而可设∠B为x°，则∠A，∠C的度数可分别表示为(3x)°，(x+15)°。因为三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C=180°，根据这个关系列出方程，求出x，就可求出∠A，∠B，∠C的度数.
例题讲解
例3
在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x+15)°，可得
3x+x+
(x+15)
=180.
解得
x=33.
所以
3x=33，x+15=48.
答：∠A，
∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
合作探究
一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
议一议
三角形的内角和等于180°，如果有两个直角或两个钝角，则三个内角的和大于180°，显然是不可能的。因此一个三角形最多有一个直角或一个钝角.
合作探究
三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形，如下图：
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
规定
合作探究
A
B
C
直角边
直角边
斜
边
直角三角形用符号“Rt”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“RtABC”.
在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.
两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。
新知讲解
如图，我们把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.
A
B
C
D
像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
对外角∠ACD来说，
∠ACB是与它相邻的内角，
∠A和∠B是与它不相邻的内角.
合作探究
如图，外角∠ACD和与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？
A
B
C
D
探究
合作探究
我们可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论进行探讨：
A
B
C
D
因为
∠ACD+
∠ACB=180°
∠A+
∠B+
∠ACB=180°
所以
∠ACD
-∠A
-∠B
=0(等量减等量，差相等).
于是
∠ACD
=∠A+
∠B.
由此得到：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
合作探究
巩固练习
1.
在△ABC中，∠A=40°，
∠B∶∠C=3∶4，则△ABC中的最大的一个角的度数是（
）
A.
60°
B.
70°
C.
80°
D.
100°
C
提示：设∠B=3x°，∠C=4x°，利用∠A+∠B+∠C=
180°列方程，先求出x，再求出∠A，∠B，∠C，找出最大的角的度数即可解答。
巩固练习
2.
如图，已知CD∥AB，∠BAE=24°，
∠FCD=50°，则∠CAD的度数是（
）
A.
24°
B.
26°
C.
30°
D.
32°
B
提示：先根据CD∥AB求出∠ADC的度数，再利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”结论，即可求出∠CAD的度数。
A
B
C
D
E
F
能力提升
3.
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，
CD是AB边上的
高，∠A=
48°，
则下列结论中，错误的是（
）
A.
∠BCD=48°
B.
∠ACD=∠ABC
C.
AB·CD=AC·BC
D.
∠ABC+∠ACD=90°
D
提示：利用三角形的内角和等于180°，以及三角形的面积公式可得出A、B、C正确。从而D错误。
A
B
C
D
交流总结
1.
关于三角形的内角和的结论是什么？
三角形的内角和等于180°.
2.
关于三角形的外角的结论是什么？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
交流总结
3.
按边分，三角形可以分为哪几类？
三边不相等的三角形，等腰三角形（包含等边三角形）.
4.
按角分，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
5.
直角三角形ABC表示为
。
RtABC
作业布置
课本第48页第1、2、题：
1.
填空：
(1)
在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，则∠B
=
；
(2)
在△ABC中，∠A﹣∠B=50°，∠C﹣∠B=40°，
则
∠B=
。
60°
30°
提示：(2)设∠B为x°，利用∠A+∠B+∠C=180°列方程进行解答。
作业布置
2.
如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，
求∠DAC度数。
36°
76°
A
B
C
D
解：在△ABC中，
∵
∠BAC+∠B+∠C=180°，
∠B=36°，∠C=76°，
∴
∠BAC=68°.
又∵
AD平分∠BAC，
∴
∠DAC=34°.
作业布置
3.
如图，∠CAD=100°，
∠B=30°，
求∠C的度数。
30°
100°
A
D
B
C
解：∵
∠CAD是△ABC的外角，
∴
∠CAD=∠B+∠C。
∴
∠C=∠CAD﹣∠B
∵
∠CAD=100°，∠B=30°，
∴
∠C=70°.
作业布置
4.
用下面方法探索：如图，将△ABC的一边BC延长至点D，过点C作CE∥AB。
试说明：
（1）∠A+∠B+∠ACB=180°；
（2）∠ACD=∠A+∠B。
开拓视野：
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