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2.3等腰三角形（1）教案
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审核人：
本章课时序号：7
课
题
等腰（边）三角形的性质
课型
新授课
教学目标
1.
理解、掌握等腰三角形的性质定理和等边三角形的性质；2.
能利用等腰（边）三角形的性质解答问题；3.
进一步掌握证明的一般步骤和方法；4.
经历探索、发现、证明的过程，发展逻辑推理能力；5.
感受数学来源于生活，又能解决现实中的问题。
教学重点
探索、推导等腰三角形的性质定理和等边三角形的性质；2.
培养逻辑思维能力和用数学语言推理、解决几何问题的能力。
教学难点
1.
探索、推导等腰三角形的性质定理；2.
在探索问题和解题中进行逻辑思维和推理训练。
教
学
活
动
一、情景导入1、
复习三角形的性质：师：我们已经学习了三角形的哪些性质？学生回答，教师用ppt展示：三角形的任意两边长度的和大于第三边；三角形的内角和等于180°；三角形的外角和等于360°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.2、
复习轴对称图形的概念
师：什么叫作轴对称图形？
学生回答，教师用ppt展示：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形。3、
导入：等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些性质呢？
二、教学新知（一）探究、推导等腰三角形的性质定理1、
探究等腰三角形是轴对称图形师：等腰三角形是轴对称图形吗？（1）
出示问题：如图，任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC.作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，你发现了什么？（2）学生折一折，教师展示折叠（轴反射）动画。生：发现了沿顶角平分线AD所在直线作轴反射，直线AD两侧的部分能够完全重合。所以△ABC是轴对称图形。（3）学生填空，逐步推导出发现的结论，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线AB；线段AB的像是线段AC，射线AC的像是线段AB；点B的像是点C，点C的像是点B；线段BC的像是线段CB.从而等腰三角形ABC关于直线AD对称。2、
探究、推导“三线合一”师：继续探究，我们还会推导出什么？学生思考每一步能推导的结论，完成填空：由于点D的像是点D，因此线段DB的像是线段DC，从而AD是底边BC上的中线。由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线DA，因此∠BDA=∠CDA=90°，从而AD是底边BC上的高。师：等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线和高.3、
探究、推导“等腰三角形的两底角相等”学生继续填空，推导：由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线CB，因此∠B=∠C。师：等腰三角形的两底角相等。4、
归纳出等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)；等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)。（二）探究、推导等边三角形的性质1、
探究、推导等边三角形的内角性质师：等边三角形有什么性质呢？（1）出示问题：探究：如图，△ABC是等边三角形，那么∠A、∠B、∠C的大小之间有什么关系？（2）学生交流讨论，说出推理过程：因为△ABC是等边三角形，所以
AB=BC=AC，从而
∠C=∠A=∠B.由三角形内角和定理可得：
∠A=∠B=∠C=60°.（3）归纳等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°。（ppt展示）2、
探索等边三角形的轴对称性质
师：等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？生：因为等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线。教师展示等边三角形的对称轴图片，加深学生认识。（三）例题讲解例1
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE.求证：BD=CE.分析：分析：AB=AC，AD=AE的意思就是△ABC，△ABC是等腰
三角形。如果作AF⊥BC，那么根据等腰三角形的性质，就可证明
BD=CE。证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.∴
BF=CF，DF=EF，∴
BF－DF=CF－EF,即
BD=CE.（四）体会等腰三角形的性质在生活中的应用1、
议一议：如图所示的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂。调整架身，使点A恰好在铅垂线上。(1)AD与BC是否垂直，试说明理由；(2)这时BC处于水平位置，为什么？2、
学生回答，教师演示：解：(1)垂直.因为AB=AC，点D是BC的中点，当点A恰好在铅垂线上时，则AD是等腰△ABC底边BC上的中线，因此也是底边BC上的高。(2)因为铅垂线AD始终垂直地平面，而AD又垂直BC，垂直于同一直线的两直线平行，所以BC此时处于水平位置。三、巩固练习1、
等腰三角形的两边长分别为5cm，11cm，它的周长是（
）A.
21cm
B.
22cm
C.
27cm
D.
21cm或27cm
【答案】C【解析】如果6cm的边是腰，则5+5＜12，不符合三角形的三边关系，不能构成三角形如果11cm的边是腰，则11+11＞5，可构成三角形。因此，这个等腰三角形的周长为11+11+5=25cm。故选C.2、
（丽水中考）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是
。
【答案】100°【解析】根据三角形的内角和定理，三角形只能有一个钝角，因为等腰三角形的两个底角相等，若底角是100°，则三个内角的和大于180°，展示不可能的，所以只能是顶角100°。3、
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（
）A.
15°
B.
18°
C.
20°
D.
22°
【答案】C【思路】根据三角形的内角和定理、外角定理及等腰三角形的性质求出∠DBC和∠DCE，即可求出△BCD的内角∠D.4、
如图，在等边△ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE=CD，则∠E的度数为（
）A.
15°
B.
20°
C.
30°
D.
40°
【答案】C【思路】根据等边三角形的性质，可得∠ACB=60°，又∠ACB是△DCE的一个外角，CE=CD，所以∠E=30°.四、课堂总结1、
等腰三角形的性质定理是什么？学生回答，教师展示：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).2、
等边三角形有哪些性质？
具有等腰三角形的所有性质。等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.六、作业布置课本第63页第1、2题。（教师实时进行指导，见课件）
板书设计
等腰（边）三角形的性质1、
等腰三角形的性质定理：轴对称图形、“三线合一”、“两底角相等”2、
等边三角形的性质：特殊的等腰三角形、三个内角都等于60°、三条对称轴
课后反思
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精品试卷·第
2
页
（共
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2.3
等腰三角形（1）
湘教版
八年级上
教学目标
1.
理解、掌握等腰（边）三角形的性质；
2.
能利用等腰（边）三角形的性质解答问题；
3.
进一步掌握证明的一般步骤和方法；
4.
经历探索、发现、证明的过程，发展逻辑推理能力；
5.
感受数学来源于生活，又能解决现实中的问题。
新知导入
我们已经学习了
三角形的哪些性质？
1.三角形的任意两边长度的和大于第三边；
2.三角形的内角和等于180°；
3.三角形的外角和等于360°；
4.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些性质呢？
新知导入
什么叫作轴对称图形？
如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形。
那么，等腰三角形是轴对称图形吗？
合作探究
如图，任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC.作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，你发现了什么？
发现了沿顶角平分线AD所在直线作轴反射，直线AD两侧的部分能够完全重合。所以△ABC是轴对称图形。
A
B
C
D
新知讲解
射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线
；
线段AB的像是线段AC，射线AC的像是线段
；
点B的像是点C，点C的像是点
；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰三角形ABC关于直线
对称.
AB
AB
B
AD
A
B
C
D
我们可以这样推理：由于∠1=∠2，AB=AC，因此，
合作探究
由于点D的像是点D，因此线段DB的像是线段
，从而AD是底边BC上的
.
由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线
，因此∠BDA
∠CDA=
°，从而AD是底边BC上的
.
DC
DA
高
=
90
中线
A
B
C
D
继续探究，我们还会推导出什么？
即
等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线和高.
合作探究
由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线
，因此∠B
∠C
.
CB
=
A
B
C
D
即
等腰三角形的两底角相等。
合作探究
归纳起来，得到等腰三角形的性质定理：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
合作探究
探究：如图，△ABC是等边三角形，那么∠A、∠B、∠C的大小之间有什么关系？
A
B
C
等边三角形有什么性质呢？
合作探究
A
B
C
如图，因为△ABC是等边三角形，
所以
AB=BC=AC，
从而
∠C=∠A=∠B.
由三角形内角和定理可得：
∠A=∠B=∠C=60°.
合作探究
由此得到等边三角形的如下性质：
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°
合作探究
等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线(如图).
A
B
C
例题讲解
例1
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE.
求证：BD=CE.
A
B
C
E
D
F
分析：AB=AC，AD=AE的意思就是△ABC，△ABC是等腰三角形。如果作AF⊥BC，那么根据等腰三角形的性质，就可证明BD=CE。
例题讲解
证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.
∴
BF=CF，
∴
BF－DF=CF－EF,
即
BD=CE.
DF=EF，
合作探究
如图所示的三角测平架中，AB=AC，
在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂。
调整架身，使点A恰好在铅垂线上.
(1)AD与BC是否垂直，试说明理由；
(2)这时BC处于水平位置，为什么？
议一议
A
B
C
D
合作探究
解：
(1)垂直.因为AB=AC，点D是BC的中点，当点A恰好在铅垂线上时，则AD是等腰△ABC底边BC上的中线，因此也是底边BC上的高。
(2)因为铅垂线AD始终垂直地平面，而AD又垂直BC，垂直于同一直线的两直线平行，所以BC此时处于水平位置
A
B
C
D
巩固练习
1.
等腰三角形的两边长分别为5cm，11cm，它的周长
是（
）
A.
21cm
B.
22cm
C.
27cm
D.
21cm或27cm
C
解析：如果6cm的边是腰，则5+5＜12，不符合三角形的三边关系，不能构成三角形；如果11cm的边是腰，则11+11＞5，可构成三角形。因此，这个等腰三角形的周长为11+11+5=25cm。故选C.
巩固练习
2.
（丽水中考）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是
。
100°
解析：根据三角形的内角和定理，三角形只能有一个钝角，因为等腰三角形的两个底角相等，若底角是100°，则三个内角的和大于180°，展示不可能的，所以只能是顶角100°。
巩固练习
3.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（
）
A.
15°
B.
18°
C.
20°
D.
22°
思路：根据三角形的内角和定理、外角定理及等腰三角形的性质求出∠DBC和∠DCE，即可求出△BCD的内角∠D.
A
B
C
D
E
B
巩固练习
4.
如图，在等边△ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE=CD，则∠E的度数为（
）
A.
15°
B.
20°
C.
30°
D.
40°
思路：根据等边三角形的性质，可得∠ACB=60°，又∠ACB是△DCE的一个外角，CE=CD，所以∠E=30°.
C
A
B
C
D
E
合作探究
等腰三角形的性质定理是什么？
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
课堂总结
等边三角形有哪些性质？
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.
具有等腰三角形的所有性质.
作业布置
A
B
C
D
解
∵
AB=AC，AD为BC边上的高，
∴
AD也是底边BC上的中线和顶角∠BAC的平分线。
1.
如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.
作业布置
2.
如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD
=80°，AD=AP，求∠DPC的度数.
A
B
C
P
D
解：∵AD=AP，
∴
∠ADP=
∠APD=80°(等边对等角)
又∵
∠ADP是△DPC的一个外角，
∴
∠ADP=∠DPC+∠C
从而
∠DPC
=∠ADP－∠C=80°－60°=20°.
∵
△ABC是等边三角形，∴
∠C=60
°，
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