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2.3等腰三角形（2）教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：8
课
题
等腰（边）三角形的判定
课型
新授课
教学目标
1.
理解并记住等腰三角形、等边三角形的判定定理；2.
能运用定理判断一个三角形是等腰（等边）三角形；3.
在探索、证明的过程中锤炼严谨的思维习惯；4.
经历证明的困难，体验成功，增强自信。
教学重点
探索、推导等腰三角形、等边三角形的判定定理；2.
培养逻辑思维能力和用数学语言推理、解决几何问题的能力。
教学难点
1.
探索、推导等腰三角形的判定定理；2.
理清证明思路，培养分析、综合能力和运用数学符号的表达能力。
教
学
活
动
一、情景导入1、
复习等腰三角形的性质等腰三角形的性质定理有哪些？学生回答，教师用ppt展示：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).强调记忆关键词：轴对称图形、三线合一、等边对等角2、
复习等边三角形的性质
师：等边三角形除具有等腰三角形的性质外，还有哪些性质？
学生回答，教师用ppt展示：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.等边三角形有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.强调记忆关键词：三个内角相等，有三条对称轴3、
导入：师：你能说出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题吗？生：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
师：这个逆命题是真命题吗？如何判定一个三角形是等腰三角形？
二、教学新知（一）证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”1、
出示问题：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系？2、
用轴反射的方法进行证明：教师提示思考方法，学生交流回答，然后，教师用ppt演示讲解：如图，在△ABC中，∠B=∠C，沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2，又∠B=∠C，由三角形内角和定理得∠ADB=∠ADC.沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，
∠1=∠
2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而，点B与点C重合，于是AB=AC.3、
归纳出等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
（二）推导等边三角形的判定定理“三个角都是60°的三角形是等边三角形”1、
探究问题：师：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？这个问题就是：在△ABC中，∠B=60°，∠C=60°，△ABC是等边三角形吗？生：∵∠B=60°=∠C，∴AC=AB。∵
∠A+∠B+∠C=180°，∴
∠A=180°－∠B－∠C=60°。∴
∠A=∠B，∴
BC=AC。从而
AB=AC=BC，∴
△ABC是等边三角形，归纳结论：三个角都是60°的三角形是等边三角形。（三）讲解例2例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：
△ADE为等腰三角形。思路：根据条件和图形，由AB=AC推出
∠B=∠C
，由DE∥BC推出
∠ADE=∠B，∠AED=∠C
，进一步可以推出
∠ADE=∠AED
，从而得出△ADE为等腰三角形.证明：∵
AB=AC，∴
∠B=∠C.又∵
DE∥BC，∴
∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴
∠ADE=∠AED.于是
△ADE为等腰三角形.（四）推导等边三角形的判定定理“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”1、
提出问题：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？2、
分析：如图，△ABC是等腰三角形，就是△ABC中有两边相等，如AB=AC。而有一个角是60°，则可以是顶角或底角等于60°，因此需分两种情况证明。要证△ABC是等边三角形，就要先证它的三个内角都是60°.证明：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°如果顶角∠A
=60°，则∠B+∠C=180°－60°=120°又∵
AB=AC，∴
∠
B=∠C.∴
∠
B=∠C=
∠A=60°.∴
△ABC是等边三角形.（一个底角60°的情况学生自己证明）4、
得出结论：等边三角形的另一条判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（五）讲解例3例3
已知：△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE。求证：△ADE是等边三角形。思路：
由△ABC是等边三角形推出∠BAC=60°，进而推出∠DAE=60°。然后结合AD=AE可得出△ADE是等边三角形。证明：∵
△ABC是等边三角形，∴
∠BAC=∠B=∠C=60°.∵
∠EAD=∠BAC=60°,又
AD=AE,∴
△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)。三、巩固练习1、
在△ABC中，∠B=∠C，AB=8，则AC的长（
）A.
4
B.
6
C.
8
D.
10
【答案】C【解析】根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，∠B的对边AC等于∠C的对边AB，即AC=AB=8。故选C。2、
由下列三角形中的两个角的度数，不能推出该三角形是等腰三角形的是（
）
A.
20°，140°
B.
40°，100°
C.
80°，80°
D.
60°，80°【答案】C【解析】根据等腰三角形判定定理可知C是等腰三角形。由三角形的内角和求出A、B、D的第三个角分别是20°、40°、40°，知A、B有两个角相等，是等腰三角形；D没有相等的角，故不能推出为等腰三角形。故选D.3、
下列条件中，能判定为等边三角形的有（
）
①有两个角为60°；②三个外角相等；③一条边上的高与中线重合；④两边相等，且有一个的60°角A.
①②③
B.
②③④
C.
①②④
D.
①③④【答案】C【思路】由①②均可以推出三个内角都是60°，④满足等边三角形的判定定理的条件，故由①②④均能判定为等边三角形。根据③只能判定为等腰三角形。故选C.4、
如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD为BC上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形（
）A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】B【思路】根据题意，先求出∠BAF和∠ABF，及∠CAD等角的度数，然后根据等腰三角形的判定定理判定.四、课堂总结1、
等腰三角形的判定定理是什么？学生回答，教师用ppt展示：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
2、
等边三角形的判定定理有哪些？学生回答，教师用ppt展示：三个角都是60°的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.强调：等腰（边）三角形可用定义和判定定理进行判定。六、作业布置课本第63页第1、2题。（教师实时进行指导，见课件）
板书设计
等腰（边）三角形的判定等腰三角形、等边三角形可根据定义和判定定理进行判定。2、
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(“等角对等边”)。
3、
等边三角形的判定定理：三个角都是60°的三角形是等边三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
课后反思
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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2.3
等腰三角形（2）
湘教版
八年级上
教学目标
1.
理解并记住等腰三角形、等边三角形的判定定理；
2.
能运用定理判断一个三角形是等腰（等边）三角形；
3.
在探索、证明的过程中锤炼严谨的思维习惯；
4.
经历证明的困难，体验成功，增强自信。
新知导入
等腰三角形的性质定理有哪些？
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
记忆关键词：轴对称图形、三线合一、等边对等角
新知导入
等边三角形除具有等腰三角形的性质外，还有哪些性质？
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
等边三角形有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.
合作探究
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
你能说出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题吗？
这个逆命题是真命题吗？如何判定一个三角形是等腰三角形？
新知讲解
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，
那么AB与AC之间有什么关系？
A
B
C
探究
合作探究
我们仍然用轴反射的方法进行证明：
如图，在△ABC中，∠B=∠C，沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2，又∠B=∠C，由三角形内角和定理得∠ADB=∠ADC.
沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，
∠1=∠
2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而，点B与点C重合，于是AB=AC.
A
B
C
合作探究
由此得到等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形
(简称“等角对等边”).
新知讲解
如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=60°，△ABC
是等边三角形吗？
A
B
C
探究
新知讲解
证明：∵
∠B=60°=∠C，
∴
AC=AB.
∵
∠A+∠B+∠C=180°，
∴
∠A=180°－∠B－∠C=60°。
∴
∠A=∠B，
∴
BC=AC.
从而
AB=AC=BC，∴
△ABC是等边三角形.
A
B
C
合作探究
由此可得到等边三角形的判定定理：
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
例题讲解
例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：
△ADE为等腰三角形.
A
B
C
D
E
思路：根据条件和图形，
由AB=AC推出
，
由DE∥BC推出
，
进一步可以推出
，
从而得出△ADE为等腰三角形.
∠B=∠C
∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∠ADE=∠AED
例题讲解
A
B
C
D
E
证明：∵
AB=AC，
∴
∠B=∠C.
又∵
DE∥BC，
∴
∠ADE=∠AED.
于是
△ADE为等腰三角形.
∴
∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
合作探究
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
A
B
C
分析：如图，△ABC是等腰三角形，就是△ABC中有两边相等，如AB=AC。而有一个角是60°，则可以是顶角或底角等于60°，因此需分两种情况证明。要证△ABC是等边三角形，就要先证它的三个内角都是60°.
合作探究
A
B
C
证明：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°.
如果顶角∠A
=60°，则∠B+∠C=180°－60°=120°，
∴
∠
B=∠C.
又∵
AB=AC，
∴
∠
B=∠C=
∠A=60°.
∴
△ABC是等边三角形.
合作探究
如果底角∠B=60°(或∠C=60°)，同样可以证明△ABC是等边三角形。请同学们自己完成证明。
A
B
C
合作探究
根据上面推导，得到等边三角形的另一条判定定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
`
例题讲解
例2
已知：△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：
△ADE是等边三角形
A
B
C
D
E
思路：
由△ABC是等边三角形推出∠BAC=60°，进而推出∠DAE=60°.
然后结合
即可得出△ADE是等边三角形。
AD=AE
例题讲解
证明：∵
△ABC是等边三角形，
A
B
C
D
E
∴
∠BAC=∠B=∠C=60°.
∵
∠EAD=∠BAC=60°,
又
AD=AE,
∴
△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)。
巩固练习
1.
在△ABC中，∠B=∠C，AB=8，则AC的长（
）
A.
4
B.
6
C.
8
D.
10
C
解析：根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，∠B的对边AC等于∠C的对边AB，即AC=AB=8。故选C。
巩固练习
2.
由下列三角形中的两个角的度数，不能推出该三角形
是等腰三角形的是（
）
A.
20°，140°
B.
40°，100°
C.
80°，80°
D.
60°，80°
解析：根据等腰三角形判定定理可知C是等腰三角形。由三角形的内角和求出A、B、D的第三个角分别是20°、40°、40°，知A、B有两个角相等，是等腰三角形；D没有相等的角，故不能推出为等腰三角形。故选D.
C
巩固练习
3.
下列条件中，能判定为等边三角形的有
（
）
①有两个角为60°；②三个外角相等；③一条边上的
高与中线重合；④两边相等，且有一个的60°角
A.
①②③
B.
②③④
C.
①②④
D.
①③④
解析：由①②均可以推出三个内角都是60°，④满足等边三角形的判定定理的条件，故由①②④均能判定为等边三角形。根据③只能判定为等腰三角形。故选C.
C
能力提高
4.
如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD为BC上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
思路：根据题意，先求出∠BAF和∠ABF，及∠CAD等角的度数，然后根据等腰三角形的判定定理判定.
B
A
B
C
E
D
F
课堂总结
1.等腰三角形的判定定理是什么？
有两个角相等的三角形是等腰三角形
(简称“等角对等边”).
合作探究
等边三角形的判定定理有哪些？
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
作业布置
1.
已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分
线相交于点O.
求证：
△OBC为等腰三角形.
思路：如图，先由△ABC是等腰三角形得出∠ABC=∠ACB，再由角平分线的定义得出
，即可证明△OBC为等腰三角形.
A
B
C
O
D
E
∠OBC=∠OCB
作业布置
证明：∵
BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
又
∵
AB=AC，
∴
△OBC为等腰三角形。
∴
∠ABC=∠ACB.
∴
∠OBC=
∠OBC=
A
B
C
O
作业布置
2.
已知：如图，CD平分∠ACB，
AE∥DC，AE交BC的延长线
于点E，且∠ACE=60°.
求证：
△ACE是等边三角形.
A
B
C
D
E
思路：先由CD平分∠ACB，得∠ACD=
，
再由AE∥DC，得∠
=∠ACD，∠
=∠BCD.
从而得∠
=∠
。
于是可得AC=AE，即△ACE是
.
又
，所以△ACE是等边三角形.
∠BCD
CAE
E
等腰三角形
∠ACE=60°
CAE
E
作业布置
证明：∵
CD平分∠ACB，
∴
∠ACD=
∠BCD.
又∵
AE∥DC，
∴
∠ACD=
∠CAE,
∠BCD=
∠E.
∴
∠CAE=
∠E,
∴
△ACE是等腰三角形.
又
∠ACE=60°，
∴
△ACE是等边三角形.
A
B
C
D
E
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