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2.4线段的垂直平分线（1）教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：9
课
题
线段的垂直平分线的性质定理及逆定理
课型
新授课
教学目标
1.
认识线段的垂直平分线，理解其概念；
2.
能推导出线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；
3.
能运用线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；
4.
通过活动，学会交流思维过程和结果，增强合作意识
教学重点
探索、推导线段的垂直平分线的性质定理和逆定理；2.
运用性质定理解决线段和角的问题，运用逆定理判定线段的垂直平分线。
教学难点
1.
理清推导线段的垂直平分线的性质定理及逆定理的思路；2.
线段的垂直平分线的性质和判定的运用。
教
学
活
动
一、情景导入1、
复习填空：等腰三角形是以顶角的平分线所在的直线为对称轴的轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线与底边上的高线、中线重合(简称“三线合一”).2、
问题导入：
如右图，如果直线l是等腰△ABC的对称轴，那么直线l与线段BC有什么关系呢？对于线段来说，直线l这样的直线有什么性质呢？
二、教学新知（一）观察发现，理解概念1、
出示问题：如右图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？生：我发现AD=
A′D，l⊥
AA′.2、
分析讨论：我们可以把人字形屋顶进行简化得到下面右边的图.已知点A与点A′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
3、
得出概念：我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.（二）合作探究，推出定理1、
探究问题：如右图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA,PB之间有什么关系？
学生讨论后，得出：作关于直线l的轴反射(即沿直线l对折)，由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合，从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.2、
归纳定理：线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.（三）合作探究，推出逆定理1、
探究问题：我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？（1）教师提示：因为点P可能在线段AB上，也可能在线段AB外，所以探讨上述问题，要分两种情况讨论当PA=PB时，点P是否都在线段AB的垂直平分线上。（2）学生讨论后，得出：①当点P在线段AB时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB是垂直平分线上。②当点P在线段AB外时(如图)：因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角。过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边上的中线.即PC⊥AB，且AC=CB。因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.2、
归纳定理线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。三、例题讲解：例
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.思路：要证点O在AC的垂直平分线上，只需证明
OA=OC
，而由AB，BC的垂直平分线相交于点O，
可证
OA=OB，OB=OC
，从而得
OA=OC
，于是点O在AC的垂直平分线上.证明：∵
点O在AC的垂直平分线上，∴
OA=OB.同理
OB=OC∴
OA=OC.∴
点O在AC的垂直平分线上.四、巩固练习1、
在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AB于点E，连接CE，则下列结论中不正确的是（
）A.
ED⊥BC
B.
∠B=∠ECB
C.
AE+EC=AB
D.
∠AEC=∠DEC
【答案】D【解析】根据线段的垂直平分线的性质定理和等腰三角形的性质定理可知A，B，C正确。故选D。2、
如图，CA=CB，DA=DB，AB、DC相交于点O.
下列结论:①AB垂直平分CD；②CD垂直平分AB；③CD平分∠ACB；④∠DAC=∠DBC中正确的有（
）A.
①②③
B.
②③④C.
①②④
D.
①③④【答案】C【解析】根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理和等腰三角形的性质，可知①②④正确.故选C.五、课堂总结1、
线段垂直平分线的性质定理是什么？2、
线段垂直平分线的性质定理的逆定理是什么？（也是线段垂直平分线的判定定理）学生回答后，教师用ppt再次展示定理.六、作业布置课本第70页第1、2题。（教师实时进行指导，见课件）
板书设计
线段的垂直平分线1、
线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.2、
线段的垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
课后反思
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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2.4
线段的垂直平分线（1）
湘教版
八年级上
教学目标
1.
认识线段的垂直平分线，理解其概念；
2.
能推导出线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；
3.
能运用线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；
4.
通过活动，学会交流思维过程和结果，增强合作意识.
新知导入
等腰三角形是以
所在的直线为对称轴的轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线与底边上的
、
重合(简称“
”).
高线
中线
顶角平分线
三线合一
新知导入
如右图，如果直线l是等腰△ABC的对称轴，那么直线l与线段BC有什么关系呢？对于线段来说，直线l这样的直线有什么性质呢？
新知讲解
如右图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？
AD=
A′D，l⊥
AA′.
合作探究
A
A′
D
l
1
2
我们可以把人字形屋顶进行简化得到下面右边的图.已知点A与点A′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
合作探究
我们把：
垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
A
A′
D
l
1
2
新知讲解
如右图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA,PB，线段PA,PB之间有什么关系？
P
A
B
l
合作探究
P
A
B
l
作关于直线l的轴反射(即沿直线l对折),由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合，从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.
合作探究
由此得到线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
合作探究
我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？
因为点P可能在线段AB上，也可能在线段AB外，所以探讨上述问题，要分两种情况讨论当PA=PB时，点P是否都在线段AB的垂直平分线上。
合作探究
A
B
P
(1)当点P在线段AB时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB是垂直平分线上。
合作探究
P
A
B
C
(2)当点P在线段AB外时(如图)：
因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边上的中线.即PC⊥AB，且AC=CB。
因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
合作探究
由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
例题讲解
例
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
思路：要证点O在AC的垂直平分线上，
只需证明
，
而由AB，BC的垂直平分线相交于点O，
可证
，
从而得
，于是点O在AC的垂直平分线上.
OA=OC
OA=OB，OB=OC
OA=OC
A
B
C
O
例题讲解
A
B
C
O
证明：∵点O在AC的垂直平分线上，
∴
.
OA=OB
同理
.
OB=OC
∴
.
OA=OC
∴
点O在AC的垂直平分线上.
（三角形三边的垂直垂直平分线相交于一点）
巩固练习
1.
如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AB于点E，连接CE，则下列结论中不正确的是（
）
A.
ED⊥BC
B.
∠B=∠ECB
C.
AE+EC=AB
D.
∠AEC=∠DEC
D
解析：根据线段的垂直平分线的性质定理和等腰三角形的性质定理可知A，B，C正确。故选D。
A
B
C
E
D
巩固练习
2.
如图，CA=CB，DA=DB，AB、DC相交于点O.
下列结论:①AB垂直平分CD；②CD垂直平分AB；③CD平分∠ACB；④∠DAC=∠DBC中正确的有（
）
A.
①②③
B.
②③④
C.
①②④
D.
①③④
解析：根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理和等腰三角形的性质，可知①②④正确.故选C.
C
D
C
A
O
B
课堂总结
1.线段的垂直平分线的性质定理是什么？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
课堂总结
线段垂直平分线的性质定理的逆定理是什么？
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
作业布置
1.
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°,
∠BAC=80°,求∠CAE的度数.
思路：先由DE是AB的垂直平分线得
，从而得∠BAE=∠B
=30°。又∠BAC=80°,所以∠CAE=
∠BAC－∠BAE=50°
A
B
C
D
E
EA=EB
作业布置
解：∵
DE是AB的垂直平分线，
∴
.
∴
∠BAE=
=
.
又∵
∠BAC=80°,
∴
∠CAE=∠BAC
-∠BAE=
80°-
30°=50°.
A
B
C
D
E
∠B
30°
EA=EB
作业布置
2.
已知：如图，点C，D是线段AB外两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
思路：证明CD是AB的垂直平分线，即可得出结论AO=BO.
A
B
C
D
O
作业布置
证明：∵
AC=BC，AD=BD，
∴
点C、点D在AB的垂直平分线上.
∵
经过两点有且只有一条直线，
∴
CD所在的直线是AB的垂直平分线.
∴
AO=BO.
A
B
C
D
O
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