(共29张PPT)
2.5
全等三角形（6）
湘教版
八年级上
教学目标
1.
理解“两边对角”或“三角”相等不能判定三角形全等；
2.
能恰当地运用全等三角形求较复杂图形的边或角；
3.
能作辅助线构建全等三角形解决实际问题；
4.
培养综合运用能力，发展思维，开拓视野.
情景导入
前面我们学习了哪些判定三角形全等的方法？
边角边(SAS)
角边角(ASA)
角角边(AAS)
边边边(SSS)
在三角形的三条边和三个角中，除上述方法外，还有其他满足了其中的三个相等条件，也能判定两个三角形全等的方法吗？
新知讲解
根据下列条件，分别画出△ABC和△A′B′C′，并思考△ABC和△A′B′C′一定全等吗？由此你能得出什么结论？
(1)AB=A′B′=3cm,AC=A′C′=2.5cm,∠B=∠B′=45°；
(2)∠A=∠A′=80°,∠B=∠B′=
30°,∠C=∠C′=70°.
新知讲解
根据(1)的条件，我们可以画出了两个不同的三角形：
45°
3cm
2.5cm
B′
A′
C′
2.5cm
45°
3cm
B
A
C
新知讲解
为什么会得到两个不同的三角形呢？
这是因为用圆规截取AC时，在∠B的BC边上可能有两个不同的点C和点C′的位置，如下图。
3cm
2.5cm
2.5cm
45°
B
A
C′
C
新知讲解
条件(1)是两边及其中一组等边的对角分别相等，以上画图说明满足条件(1)的两个三角形不一定全等.
由此得出：
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.
新知讲解
根据(2)的条件，我们也可画出不同的三角形：
80°
70°
30°
A
B
C
B′
30°
70°
80°
A′
C′
新知讲解
条件(2)是三角分别相等，以上画图说明满足条件(2)的两个三角形不一定全等.
由此得出：
三角分别相等的两个三角形不一定全等.
新知讲解
在两个三角形的边与角中，包含六种情形的相等关系：
⑴三边相等，⑵两边夹角相等，⑶两边及一组边的对角相等，⑷两角夹边相等，⑸两角及一组角的对边相等，⑹三角相等。一般地，其中⑶，⑹不能判定两个三角形全等。因此，判定三角形全等的方法只有我们前面学过的四种，即：边角边(SAS)，角边角(ASA)，角角边(AAS)，边边边(SSS).
例题讲解
例9
已知：如图，AB=CD，BC=DA.
E，F是AC上的两点，且AE=CF.
求证：BF=DE.
分析：本题要证明BF=DE，而BF，DE分别是△BCF和△DAE的边，而证△BCF≌△DAE只有两个直接条件BC=DA和AE=CF.因此，需先证明△ABC≌△CDA，得出两边的夹角∠BCF=∠DAE.
A
B
D
C
E
F
新知讲解
AB=CD，
BC=DA，
AC=CA(公共边)，
∴
△ABC≌△CDA(SSS).
证明：在△ABC和△CDA中，
A
B
D
C
E
F
∴
∠BCF=∠DAE(全等三角形的对应角相等).
新知讲解
BC=DA，
∠BCF=∠DAE，
CF=AE，
∴
△BCF≌△DAE(SAS)
在△BCF和△DAE中，
A
B
D
C
E
F
∴
BF=DE(全等三角形的对应边相等)
例题讲解
若解决问题需证明两个三角形全等，但又不具备全等的所有条件，则先证明三角形全等的条件。有时要通过证明另一对三角形全等获得所需的条件后，再证结论所需的两个三角形全等。口诀：
先证条件
再证全等
温馨提示：
例题讲解
例10
某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道。为估测这条隧道的长度(如图)，需测出这座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗?
分析：隧道AB在山的内部，不能直接测量。可以构造两个三角形全等，利用全等三角形的性质在山脚测量AB的对应边A′B′的长.
例题讲解
解：选择某一合适地点O，使得从O点能量出AO，BO的长度.连接AO并延长至A′，使OA′=OA；连接BO并延长至B′，使OB′=OB，连接A′B.这样就构造出两个三角形.
例题讲解
在△AOB
和△A′OB′中，
OA=OA′，
∠AOB=∠
A′OB′，
OB=OB′,
∴
△AOB≌△A′OB′(SAS).
∴
AB=A′B′.
因此测量出A′B′的长度就得这座山A，B间的距离.
例题讲解
在解决实际问题中，有时直接测量或计算会遇到困难，例如测量桥梁隧道的长度、零件内径、河面宽度、电视信号塔的高度等，我们往往需要构造全等三角形，利用全等三角形的性质来解决.
一些几何证明题或计算题，有时也需要添加辅助线构造全等三角形来求线段或角度.可以说，作辅助线构造全等三角形是求线段和角的一种重要方法。
温馨提示：
巩固练习
1.
已知：如图，AB=AD，BC=DC，求证：∠B=∠D.
A
B
C
D
解析：连接AC，构造△ABC和△ADC，并证明它们全等，即可证得∠B=∠D.
巩固练习
2.
如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角(见下表)，请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC.
A
B
C
D
E
巩固练习
A
B
C
D
E
已知条件
补充条件
判定方法
AC=DC,
∠A=∠D
SAS
∠A=∠D，AB=DE
ASA
∠A=∠D，AB=DE
AAS
AC=DC，AB=DE
SSS
AB=DE
∠B=∠E
∠ACB=∠DCE
BC=EC
课堂总结
判定两个三角形全等的方法有哪几种？
边角边(SAS)
角边角(ASA)
角角边(AAS)
边边边(SSS)
课堂总结
谈谈利用全等三角形求线段和角有哪些注意事项？
根据问题和条件找准或构建要证明全等的三角形
缺乏全等条件可先证条件，或证其他三角形全等获取条件
注意：利用全等三角形是求线段和角度大小的重要方法。
作业布置
1.
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，请你探索AC+BC与2AD的大小关系，并说明道理。
A
B
C
D
作业布置
点拨：延长AD至点E，使AD=ED.连接BE.证△ADC≌△EDB，得AC=BE.然后通过△ABE的三边关系，即可比较AC+BC与2AD的大小。
A
B
C
D
E
作业布置
2.如图，在△ABC中，∠B=60°，角平分线
AE，CF分别交BC，AB于E，F两点，AE，CF相交于点O.
求证：AC=AF+CE.
A
B
C
E
F
O
作业布置
点拨：在BC上截取AD=AF，连接OD.证△AOF≌△AOD，得∠AOF=∠AOD.再根据∠B=60°及角平分线的定义求出∠OAC+∠DCA=60°,从而得∠AOF=∠COE=∠COD=60°.然后证△COE≌△COD，即可证结论成立。
A
B
C
E
F
O
D
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